포클링턴 원시성 검정

수학에서는 포클링턴-레머 영장성 검사는 헨리 카본 포클링턴과^[1] 데릭 헨리 레머가 고안한 영장성 검사다.^[2] $N-1$ 에서는 $N-1$ - 1 $N-1$ 의 부분 인자화를 사용하여 $N-1$ $정수$ N $N$ 이(가) 원시임을 $N$ 입증한다.

$N-1$ primality test보다 적은 노력으로 발견되는 primality certificate를 생산하는데, N - $N-1$ $N-1$ 을 완전 인수해야 한다 $N-1$

포클링턴 기준

테스트의 기본 버전은 다음과 같이 공식화된 Pocklington 정리(또는 Pocklington 기준)에 의존한다.

$N>1$ > $N>1$ ${\displaystyle N>1$ }을 $N>1$ 정수로 하고, 다음과 같은 $N>1$ 숫자 $a$ 와 $p$ 가 있다고 가정한다.

a^{{N-1}\equiv 1{\pmod{N}}

(1)

p

는 prime,

p\vert N-1

p\vert N-1

-

p\vert N-1

p\vert N-1

및

p\vert N-1

p>{\sqrt {N}}-1

>

p>{\sqrt {N}}-1

-

p>{\sqrt {N}}-1

{\displaystyle

p

}{\sqrt{N}-1}

(2)

\gcd {(a^{(N-1)/p}-1,N)=1

(3)

그러면 $N$ 이 프라임이다.^[3]

주: 방정식 (1)은 단순히 페르마 원시성 시험일 뿐이다. $그러한$ 등식 (1)이 거짓이라는 N에 의해 분할되지 않고 $a$ 의 어떤 값도 발견된다면, 우리는 즉시 $N$ 이 원형이 아니라고 결론 내릴 수 있다. (이 구분조건은 등식 (3)에 의해 함축되어 있기 때문에 명시적으로 명시되어 있지 않다.) $N=35$ 를 들어 $N=35$ N $N=35$ = $N=35$ {\ $displaystyle$ N $=35$ $a=2$ a $a=2$ = $a=2$ {\ $displaystyle$ a $=$ $2$ $a^{N-1}\equiv 9{\pmod {N}}$ 을 $a=2$ 를) 사용하여 $a^{N-1}\equiv 9{\pmod {N}}$ - $a^{N-1}\equiv 9{\pmod {N}}$ 9 $a^{N-1}\equiv 9{\pmod {N}}$ (모드 $a^{N-1}\equiv 9{\pmod {N}}$ $){N-1$ }\ $equiv$ 9 ${\pmod{$ N $a^{N-1}\equiv 9{\pmod {N}}$ 이것은 $N$ 이 프라임이 아니라는 것을 증명하기에 충분하다.

증명

$N$ 이 원시적이지 않다고 가정하자. 즉 $q\leq {\sqrt {N}}$ $N$ 을 나누는 $q\leq {\sqrt {N}}$ $q\leq {\sqrt {N}}$ prime $N$ {\ $displaystyle q\leq$ {\ $sqrt{N}}$ 이(가) 있어야 한다.

$p>{\sqrt {N}}-1\geq q-1$ > $p>{\sqrt {N}}-1\geq q-1$ - $p>{\sqrt {N}}-1\geq q-1$ $p>{\sqrt {N}}-1\geq q-1$ $p>{\sqrt {N}}-1\geq q-1$ - 1 ${\displaystyle$ p $>{\sqrt{N$ :1}}- $1\geq q-1$ $},$ $p>q-1$ > $p>q-1$ - 1 ${\displaystyp p$ $\gcd {(p,q-1)}=1$ $q-1$ $p$ 가 prim이기 때문에 $,q-1$ ) $\gcd {(p,q-1)}=1$ = $\gcd {(p,q-1)}=1$ ${\displaystystyle \cd {(p$ , $\gcd {(p,q-1)}=1$ \cd}.

따라서 $p$ modulo $q-1$ 의 곱셈 역인 정수 $u$ 가 있어야 하며, 그 속성은 다음과 같다.

up\equiv 1{\pmod{q-1}

(4)

따라서 페르마의 작은 정리로는

a^{up}\equiv a{\pmod{q}}

(5)

이것은 내포하고 있다.

1\;\;\equiv a^{N-1}{\pmod {q}}

1\;\;\equiv a^{N-1}{\pmod {q}}

1\;\;\equiv a^{N-1}{\pmod {q}}

q\vert N

-

1\;\;\equiv a^{N-1}{\pmod {q}}

1

1\;\;\equiv a^{N-1}{\pmod {q}}

q

1\;\;\equiv a^{N-1}{\pmod {q}}

)

{\

$1\;\;\equiv a^{N-1}{\pmod {q}}$ by (1)

q\vert N

q\vert N

{\

displaysty q\

vert N

}

\equiv (a^{N-1})^{u}\equiv a^{u(N-1)}\equiv a^{up((N-1)/p)}\equiv (a^{up})^{(N-1)/p}{\pmod {q}}

,

\equiv a^{(N-1)/p}{\pmod {q}}

\equiv a^{(N-1)/p}{\pmod {q}}

(

\equiv a^{(N-1)/p}{\pmod {q}}

-

\equiv a^{(N-1)/p}{\pmod {q}}

)

\equiv a^{(N-1)/p}{\pmod {q}}

/

\equiv a^{(N-1)/p}{\pmod {q}}

(

\equiv a^{(N-1)/p}{\pmod {q}}

\equiv a^{(N-1)/p}{\pmod {q}}

)

{\

a

^{(N-1)/p}{\pmod{q}},

by (5)

이는 $q$ 가 $\gcd()$ ( $\gcd()$ ) $\gcd()$ 을 (3)로 $\gcd()$ 나눈다는 것을 보여주며, 따라서 이 $\gcd()\neq 1$ ( $\gcd()\neq 1$ ) $\gcd()\neq 1$ ${\displaystyle \gcd()\neq 1$ 모순임을 보여준다.^[3]

$N$ 을 감안할 때, 정리의 조건을 만족시키는 $p$ 와 $a$ 가 발견될 수 있다면, $N$ 은 프라임이다. 더욱이 쌍( $p$ , $a$ )은 정리의 조건을 만족시키기 위해 신속하게 검증할 수 있는 원시성 증명서를 구성하여 $N$ 을 프라임으로 확정한다.

주된 난관은 (2)를 만족시키는 $p$ 의 값을 찾는 것이다. 첫째, 대개의 경우 대수의 큰 소수인자를 찾기가 어렵다. 둘째, 많은 소수 $N$ 에게는 그러한 $p$ 가 존재하지 않는다. 때문에 N, 및 p)2<N은(2)에서의 불평등은 위반 1{\displaystyle p=2<,{\sqrt{N}}-1}, −입니다; 다른 예 포함한다 1=24{\displaystyle N-1=2^{4}}− 예를 들어, N=17{N=17\displaystyle}적임자가 없p이 N=19일 3741,61,71,73,{\displaystyle N=19,37,41,61,71,73,}97. {\dis $97식$ 놀이를 하다 $97$

$p$ 를 고려하면 $a$ 를 찾는 것은 그리 어렵지 않다.^[4] $N$ 이 primary인 경우, Fermat의 작은 정리에 의해 $1\leq a\leq N-1$ $1\leq a\leq N-1$ N $1\leq a\leq N-1$ - 1 $(\displaystyle 1\leq a-1}$ 의 어떤 $a$ 가 (1)을 $1\leq a\leq N-1$ $1\leq a\leq N-1$ 시킬 $1\leq a\leq N-1$ 이다(단, $a=1$ = 1 $a=1$ {\ $displaystyle$ $a$ $=1}$ $a=N-1$ $a=N-1$ = $a=N-1$ - 1 ${\displaystystyle=N-1}$ 은 사소한 것이며 $a=N-1$ (3)을 만족시키지 못할 것이다. 이 $a$ 는 $서드$ (a)가 나누지 않는 한 (3)을 만족시킬 것이다 $(N-1)/p$ $2\leq a\leq N-2$ $(N-1)/p$ - $(N-1)/p$ ${\displaystyle (N-1)/p}.$ 따라서 $2\leq a\leq N-2$ $2\leq a\leq N-2$ - $2\leq a\leq N-2$ $2\leq a\leq N-2$ 구간에서 무작위로 $선택$ 한 a는 작업할 가능성이 크다 $2\leq a\leq N-2$ . $a$ 가 제너레이터 모드 $N$ 인 경우, $N-1$ 는 $N-1$ N - $N-1$ {\ $displaystyle N-1}$ 이므로 $N-1$ 이 선택에 사용할 수 있는 방법이 보장된다.

일반화 포클링턴 시험

$위$ 버전의 Pocklington $N$ 에서는 N ${\$ $displaystyle$ $N$ $}$ 이 $N$ (가) $N-1$ - $p>{\sqrt {N}}-1$ 을 나누는 $p$ $프라임$ p {\ $displaystyle$ $N-1}이(가$ 없기 때문에 적용이 불가능한 경우도 있다 $p>{\sqrt {N}}-1$ 포클링턴의 정리를 다음과 같이 일반화한 것이 더 널리 적용 가능하다.^[5]^{: Corollary 1}

정리: 요인 $N$ - $1$ 은 N - $1$ = $AB$ , 여기서 $A$ 와 $B$ 는 비교적 프라임, $A>{\sqrt {N}}$ > $A>{\sqrt {N}}$ ${\$ A $>{\sqrt{N$ $A$ 의 프라임 인자를 알 수 있지만, $B$ 의 인자를 반드시 알 수는 없다.

$A$ 의 각 주요 인자 $p$ 에 대해 $a_{p}$ 과 같은 $a_{p}$ 정수가 존재하는 경우 p {\ $displaystyle$ a_ ${p}.$

a_{p}^{N-1}\equiv 1{\pmod {N}}

a_{p}^{N-1}\equiv 1{\pmod {N}}

a_{p}^{N-1}\equiv 1{\pmod {N}}

-

a_{p}^{N-1}\equiv 1{\pmod {N}}

a_{p}^{N-1}\equiv 1{\pmod {N}}

a_{p}^{N-1}\equiv 1{\pmod {N}}

(

a_{p}^{N-1}\equiv 1{\pmod {N}}

N

a_{p}^{N-1}\equiv 1{\pmod {N}}

)

{\

1

{\pmod{N}}}

및

(6)

\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1

\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1

\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1

(

\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1

- 1

\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1

)

\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1

/

\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1

- 1

\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1

,

\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1

) =

\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1

{\

displaystyle \gcd

{(

a_{p}^{{p

}^{(

N-1)/p}-1,N)}=1

(7)

그러면 N이 prime이다.

증명

$p$ 를 $A$ 를 나누는 prime으로 $p^{e}$ p e ${\$ p $^{e}}$ 를 p를 $나누는$ $p$ 의 최대 동력으로 한다 $p^{e}$ . $q$ 를 N의 주요 요인이 되게 하라. For the $a_{p}$ from the corollary set $b\equiv a_{p}^{(N-1)/p^{e}}{\pmod {q}}$ . This means $b^{p^{e}}\equiv a_{p}^{N-1}\equiv 1{\pmod {q}}$ and because of $\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1$ $\gcd {(a_{p}^{(N-1)/p}-1,N)}=1$ also $b^{p^{e-1}}\equiv a_{p}^{(N-1)/p}\not \equiv 1{\pmod {q}}$ .

$b{\pmod {q}}$ 는 b $b{\pmod {q}}$ $){\$ 의 순서가 $p^{e}$ $p^{e}$ ${\$ 임을 $b{\pmod {q}}$ 의미한다.

따라서 $p^{e}\vert (q-1)$ $p^{e}\vert (q-1)$ ( $p^{e}\vert (q-1)$ - $p^{e}\vert (q-1)$ ) ${\displaystyle$ p $^{e}\vert (q-1$ . A의 $p^{e}$ 각 주요 역률 $p^{e}$ ${\$ p $^{e}$ 에 대해 동일한 관측치가 유지되며, 이는 $A\vert (q-1)$ ( $A\vert (q-1)$ - $A\vert (q-1)$ ) $A\vert (q-1)$ {\ $displaystyle A\vert (q-1)$ 를 의미한다 $A\vert (q-1)$

구체적으로 $q>A\geq {\sqrt {N}}.$ > A $q>A\geq {\sqrt {N}}.$ $q>A\geq {\sqrt {N}}.$ . ${\displaystyle q>A\geq {\sqrt$ { $N}$ 을(를) 의미한다. $}$

$N$ 이 복합적인 경우, ${\sqrt {N}}$ N ${\$ {\ $sqrt{N}$ 보다 작거나 같은 주요 요인이 있을 것이다 ${\sqrt {N}}$ 그런 요인이 없는 것으로 나타나 $N$ 이 프라임임을 증명하고 있다.

평.

더 포클링턴-레머 원시성 테스트는 이 골수에서 직접 따른다. 이 코롤리를 사용하려면 $먼저$ N - $1$ 의 충분한 요인을 찾아 해당 요인의 제품이 ${\sqrt {N}}$ ${\$ 을 초과하도록 하십시오 ${\sqrt {N}}$ 이 제품을 A라고 $하십시오$ . 그런 다음 $B =$ ( $N$ - $1)/ A$ 를 $N$ - $1$ 의 나머지 비공장 부분으로 한다. $B$ 가 프라임인지는 중요하지 않다. 우리는 단지 $A$ 를 나누는 어떤 프라임도 $B$ , 즉 $A$ 와 $B$ 를 상대적으로 프라임으로 나눈다는 것을 검증할 필요가 있다. $그런$ 다음, A의 모든 주요 $인자$ p에 대해 (6) 및 (7)의 조건을 충족하는 $a_{p}$ $a_{p}$ ${\$ 를 찾는다. 그러한 ${\$ 를 $a_{p}$ 찾을 수 있다면, Corollary는 $N$ 이 prime임을 암시한다.

코블리츠에 따르면 $a_{p}$ ${\$ 2 = $a_{p}$ 이 작동하는 경우가 많다.^[3]

예

여부를 결정

N=27457

최고다.

$먼저,$ - $N-1$ 의 작은 주요 요소들을 검색해 $보십시오$

N-1=2^{6}\cdot 3\cdot B=192\cdot B

-

N-1=2^{6}\cdot 3\cdot B=192\cdot B

= 2

N-1=2^{6}\cdot 3\cdot B=192\cdot B

N-1=2^{6}\cdot 3\cdot B=192\cdot B

N-1=2^{6}\cdot 3\cdot B=192\cdot B

N-1=2^{6}\cdot 3\cdot B=192\cdot B

B

N-1=2^{6}\cdot 3\cdot B=192\cdot B

=

N-1=2^{6}\cdot 3\cdot B=192\cdot B

N-1=2^{6}\cdot 3\cdot B=192\cdot B

B

{\displaystyle N-1=2^{6}\cdot 3\cdot B=192\cdot

B

}

.

$A=192$ = $A=192$ ${\displaystyle$ A= $192} 및$ B $A=192$ = $B=(N-1)/A=143$ ( $B=(N-1)/A=143$ - $B=(N-1)/A=143$ ) $B=(N-1)/A=143$ / $B=(N-1)/A=143$ A = $B=(N-1)/A=143$ ${\displaystyle B=(N-1$ )/A $=143$ }이 $(가$ ) Corollary의 조건을 충족하는지 여부를 $B=(N-1)/A=143$ 결정해야 한다. $A^{2}=36864>N$ $A^{2}=36864>N$ = $A^{2}=36864>N$ > $A^{2}=36864>N$ ${\displaystyle$ A $^{2}=36864>N$ 따라서 $A>{\sqrt {N}}$ > N ${\$ A $>{\sqrt{N$ $N-1$ N $N-1$ - $N-1$ $N-1$ 을(를) 충분히 고려해서 $N-1$ 코롤라리를 적용했다. 우리는 또한 $\gcd {(A,B)}=1$ ( $\gcd {(A,B)}=1$ , B $\gcd {(A,B)}=1$ ) $\gcd {(A,B)}=1$ = $\gcd {(A,B)}=1$ $\gcd {(A,B)}=1$ 라는 것을 확인해야 한다 $\gcd {(A,B)}=1$

$B$ 가 프라임인지는 중요하지 않다(사실 그렇지 않다).

마지막으로 $A$ 의 각 주요 요인 $p$ 에 대해 시행착오를 사용하여 (6)와 (7)을 만족하는 $a$ 를_p 찾는다.

$p=2$ = $p=2$ $p=2$ 의 경우 $p=2$ $a_{2}=2$ = $a_{2}=2$ {\ $displaystyle a_{2}=$ 2}을(를) 시도해 보십시오 $a_{2}=2$ $a_{2}$ {\ $displaystyle a_{2$ }}을 $a_{2}$ 이 높은 전력으로 높이려면 2진수 지수를 사용하여 효율적으로 수행할 수 있다.

a_{2}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod{27457}}

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

(

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

(

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

- 1

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

)

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

/

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

-

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

,

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

N

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

)

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

=

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

(

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

-

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

,

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

)

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

=

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)}=27457

{\displaystyle \gcd {(a_{2}^{{n-1)}=\gcd {(2^{13728}-1,27457)=27457

따라서 $a_{2}=2$ = $a_{2}=2$ ${\displaystyle a_{2}=2$ }은(는) 충족하지만 $a_{2}=2$ (7)은 만족하지 않는다. 각 $p$ 에 대해 다른 $a$ 가_p 허용되므로 대신 $a_{2}=5$ $a_{2}=5$ = $a_{2}=5$ $a_{2}=5$ 를 시도해 보십시오.

a_{2}^{N-1}\equiv 5^{27456}\equiv 1{\pmod{27457}}

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

( 2 (

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

-

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

)

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

/

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

2 -

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

,

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

)

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

=

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

(

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

5

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

-

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

,

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

)

\gcd {(a_{2}^{(N-1)/2}-1,N)}=\gcd {(5^{13728}-1,27457)}=1

= 1

{\displaystyle \gcd {(a_{2}^{{2}^{{{N-1)}=\gcd {(5^{137}-1,27457)=1

따라서 $a_{2}=5$ = $a_{2}=5$ $a_{2}=5$ 는 (6)와 (7) 모두를 만족시킨다 $a_{2}=5$ .

$p$ $p=3$ = $p=3$ $p=3$ 의 경우 $p=3$ $a_{3}=2$ 의 두 번째 주요 요인인 $a_{3}=2$ = $a_{3}=2$ ${\displaystyle a_{3}=2$

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

-

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

(

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

a_{3}^{N-1}\equiv 2^{27456}\equiv 1{\pmod {27457}}

)

{\

1

{\pmod {27457

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

(

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

( N

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

-

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

)

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

/

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

-

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

,

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

N

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

) =

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

(

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

,

\gcd {(a_{3}^{(N-1)/3}-1,N)}=\gcd {(2^{9152}-1,27457)}=1

) = 1

{\displaystyle \gcd

{(

a_{3}^{{

3}^{{

3}/3}-1

,

N)}=\gcd

{(2^{

9152}-17)=1

$a_{3}=2$ 3 $a_{3}=2$ = $a_{3}=2$ ${\displaystyle a_{3}=2$ }은(는) (6)와 (7) 모두를 만족한다 $a_{3}=2$ .

이로써 $N=27457$ = $N=27457$ $N=27457$ 이 $N=27457$ (가) prime이라는 증거가 완성되었다. $N=27457$ = $N=27457$ $N=27457$ 에 $(p,a_{p})$ 대한 primality 인증서는 p $(p,a_{p})$ , a $(p,a_{p})$ ) ${\displaystyle (p,a_{p}})$ 쌍(2, 5) 및 (3, 2)으로 구성된다 $N=27457$ .

우리는 이 예시를 위해 적은 숫자를 선택했지만, 실제로 $우리$ 가 A를 인수하기 시작할 때, 우리는 그 자체로 너무 큰 요소들의 원시성이 명백하지 않은 요소들을 얻을 수도 있다. $우리$ 는 A의 요소도 역시 최고라는 것을 증명하지 않고는 $N$ 이 최고라는 것을 증명할 수 없다. 그러한 경우, 모든 소수점이 합리적인 임계값 미만일 때까지 $A$ 의 큰 요인에 대해 동일한 시험을 반복적으로 사용한다.

우리의 예에서 우리는 2와 3이 프라임이라고 확실하게 말할 수 있고, 따라서 우리는 우리의 결과를 증명했다. 원시성 인증서는 $(p,a_{p})$ ( $(p,a_{p})$ , $(p,a_{p})$ ) ${\displaystyle (p,a_{p})$ 의 $(p,a_{p})$ 목록으로, 코롤러리에서 빠르게 확인할 수 있다.

만약 우리의 사례가 큰 주요 요소들을 포함했다면, 인증서는 더 복잡할 것이다. 그것은 우선 $A$ 의 '프라임' 요인에 해당하는 $우리$ 의_p 초기 라운드로 구성될 것이다; 다음으로, 원시성이 불확실한 $A$ 의 각 요인에 대해 우리는 원시성이 확실한 요인에 도달할 때까지 더 많은 $a$ 를_p 가질 것이다. 초기 prime이 크면 여러 레이어에 대해 이 작업을 계속할 수 있지만 중요한 점은 각 레벨에서 테스트할 prime과 그에 상응하는 $as$ 를_p 포함하는 인증서를 생성할 수 있다는 것이다.

확장 및 변형

브릴하트, 레머, 셀리지의^[5] 1975년 논문은 623페이지의 정리 4로서 위에 보이는 "일반화된 포클링턴 정리"에 대한 증거를 제시한다. 인수인계를 적게 할 수 있는 추가적인 이론들이 제시되어 있다. 여기에는 그들의 정리 3 (프로스의 1878년 정리 강화)이 포함된다.

어디 p은 N− 1)mp{N-1=mp\displaystyle}이상한 총리가 2p+1>N{2p+1>\displaystyle;자.{\sqrt{N}}}. 만약에 그러한/2≡ − 1(Nmod){\displaystyle a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod{N}}이(N1−)}는 a,지만 m/2≢ − 1(Nmod){\displaystyle a^{m/2}\not \equiv-1존재한다.

{\pmod{N

그러면

N

이 prime이다.

$N$ 이 클 경우, $N-1$ - $N-1$ $N-1$ 을(를) 충분히 고려하여 위의 $N-1$ 코롤러를 적용하기가 어려운 경우가 많다. 브릴하트, 레머, 셀리지지의 정리 5는 팩터링된 $(N/2)^{1/3}$ 이 $(N/2)^{1/3}$ ( $(N/2)^{1/3}$ / 2 $(N/2)^{1/3}$ ) 1 / $(N/2)^{1/3}$ ${\$ 에 도달했을 때 원시성 증명이 허용된다. $N-1$ - $N-1$ 과 ${\displaysty N-1}$ 의 $N-1$ 부분 인자화에 $기초$ 하여 N의 원시성을 증명할 수 있는 추가적인 많은 이론들이 제시되어 있다 $(N/2)^{1/3}$ $N+1$ + 1 ${\displaystyle N+1$ ^[5]^[6]

참조

레오나드 유진 딕슨, "숫자 이론의 역사" 제1, p 370, 첼시 출판 1952
헨리 포클링턴 "수학. 퀘스트, 에듀캣. 타임즈", (2), 25, 1914, p 43-46 ("교육 시간"의 수학적 열의 연속에서 수학적 문제와 해결책).

^ Pocklington, Henry C. (1914–1916). "The determination of the prime or composite nature of large numbers by Fermat's theorem". Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 18: 29–30.
^ D. H. Lehmer (1927). "Tests for primality by the converse of Fermat's theorem". Bull. Amer. Math. Soc. 33 (3): 327–340. doi:10.1090/s0002-9904-1927-04368-3.
^ ^a ^b ^c Koblitz, Neal (1994). A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 144 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-94293-9.
^ Roberto Avanzi, Henri Cohen, Christophe Doche, Gerhard Frey, Tanja Lange, Kim Nguyen, Frederik Vercauteren (2005). Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC.{{cite book}}: CS1 maint: 작성자 매개변수 사용(링크)
^ ^a ^b ^c Brillhart, John; Lehmer, D. H.; Selfridge, J. L. (April 1975). "New Primality Criteria and Factorizations of 2^m ± 1" (PDF). Mathematics of Computation. 29 (130): 620–647. doi:10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1. JSTOR 2005583.
^ 고전적인 시험들

외부 링크

Chris Caldwell, "Primality Reprovalization 3.1: n-1 테스트 및 Pepin의 Fermats 테스트" 프라임 페이지.
크리스 콜드웰은 프라임페이지에서 "Primality Provisioning 3.2:n+1 테스트와 Mercesennes를 위한 Lucas-Lehmer 테스트"라고 말했다.

[Pocklington-1] Pocklington, Henry C. (1914–1916). "The determination of the prime or composite nature of large numbers by Fermat's theorem". Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 18: 29–30.

[Lehmer-2] D. H. Lehmer (1927). "Tests for primality by the converse of Fermat's theorem". Bull. Amer. Math. Soc. 33 (3): 327–340. doi:10.1090/s0002-9904-1927-04368-3.

[koblitz-3] Koblitz, Neal (1994). A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 144 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-94293-9.

[4] Roberto Avanzi, Henri Cohen, Christophe Doche, Gerhard Frey, Tanja Lange, Kim Nguyen, Frederik Vercauteren (2005). Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC.{{cite book}}: CS1 maint: 작성자 매개변수 사용(링크)

[BLS75-5] Brillhart, John; Lehmer, D. H.; Selfridge, J. L. (April 1975). "New Primality Criteria and Factorizations of 2^m ± 1" (PDF). Mathematics of Computation. 29 (130): 620–647. doi:10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1. JSTOR 2005583.

[6] 고전적인 시험들

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v t 수이론적 알고리즘
원시성 검정	AKS APR 바일리-PSW 타원곡선 포클링턴 페르마 루카스 루카스-레머 루카스-레머-리젤 프로트의 정리 페핀스 이차적 프로베니우스 솔로베이-스트라센 밀러-라빈
프라임 생성	앳킨의 체 에라토스테네스의 체 순다람의 체 휠 인자화
정수 인자화	지속분수(CFRAC) 딕슨스 Lenstra 타원 곡선(ECM) 오일러즈 폴라드 호 p − 1 p + 1 2차 체(QS) 일반수 필드 체(GNFS) 특수수 필드 체(SNFS) 이성 체 페르마츠 샨크스의 사각형 재판분할 쇼르스
곱하기	고대 이집트인 긴 카라츠바 툼-쿡 sch나게-스트라센 총통의
유클리드 주 나누기	이진수 청킹 푸리에 골드슈미트 뉴턴-래프슨 긴 짧다 SRT
이산 로그	베이비 스텝 거인 스텝 폴라드 로 폴라드 캥거루 포흘리그-헬먼 지수 미적분학 기능장 체
최대공통점	이진수 유클리드 주 확장유클리드 르메르스
모듈형 제곱근	시폴라 포클링턴스 토넬리-상크스 베를레캄프 쿠네르스
기타 알고리즘	차크라발라 코르나키아 제곱에 의한 지수화 정수 제곱근 정수 관계(LL; KZ) 모듈형 지수 몽고메리 환원 슈프
이탤릭체는 알고리즘이 특수형태의 숫자에 대한 것임을 나타낸다.

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