다항식 혼돈

다항 혼돈(PC)은 다항 혼돈 확장(PCE) 또는 위너 혼돈 확장이라고도 하며, 다른 임의 변수의 다항 함수에 있어 랜덤 변수를 나타내는 방법이다.다항식은 이러한 랜덤 변수의 결합 확률 분포와 관련하여 직교하도록 선택된다.예를 들어 시스템 매개변수에 확률론적 불확실성이 있을 때 동적 시스템에서 불확실성의 진화를 결정하기 위해 PCE를 사용할 수 있다.PCE는 그 이름에도 불구하고 혼돈 이론과 즉각적인 연관성은 없다는 점에 유의한다.^[1]

PCE는 노르베르트 비너(Norbert Wiener)가 1938년 헤르미테 다항식(Hermite Polyomials)을 사용하여 가우스 난수변수로 확률적 공정을 모델링하는 데 처음 도입되었다.^[2]그것은 R에 의해 물리학계와 공학계에 소개되었다.1991년^[3] 가넴과 P. D. Spanos, 2002년 D. Xiu와 G. E. Karniadakis에 의해 다른 직교 다항식 가족에 일반화되었다.^[4]일반화된 PCE의 존재와 융합에 대한 수학적으로 엄격한 증거는 O. G. Ernst와 동료들에 의해 2012년에 제시되었다.^[5]

PCE는 시스템 매개변수의 확률론적 불확실성에 효율적으로 대처할 수 있게 해주기 때문에 공학 및 응용 과학에서 광범위한 사용을 발견했다.확률적 유한요소해석에^[3] 널리 사용되며 불확실성 계량분석을 용이하게 하기 위한 대용모델로^[6] 사용된다.

주요 원리

다항식의 혼란 확대(PCE);\infty})M{M\displaystyle}-dimensional 확률 벡터 X{\displaystyle \mathbf{X}의 함수로}, 다항식. b이다. 사용한 방법으로 한정된 분산(즉, 바르 ⁡(Y)<>를 확률 변수 Y{Y\displaystyle};∞{\displaystyle \operatorname{바르}(Y)&lt을 대표하는 방법을 제공합니다asis지hat는 이 랜덤 벡터의 분포와 직교한다.PCE의 프로토타입은 다음과 같이 작성할 수 있다.

${\displaystyle Y=\sum _{i\in \mathb {N} }c_{i}\PSI _{i}(\mathbf {X}).}$

이 표현식에서 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 계수이고$$ $\psi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 다항식 기준 함수를 나타낸다$$.$X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$}$의 분포에 따라 다른 PCE 유형이 구별된다.

헤르미트 다항식 혼돈

노르베르트 비너가^[2] 사용한 원래의 PCE 공식은 X {\$displaystyle \mathbf {X}}$이$($가우스 분포의 랜덤 벡터)인$$ 경우에 한정되었다.Considering only the one-dimensional case (i.e., ${\displaystyle M=1}$ and ${\displaystyle \mathbf {X} =X}$), the polynomial basis function orthogonal w.r.t. the Gaussian distribution are the set of ${\displaystyle i}$-th degree Hermite polynomials ${\displaystyle H_{i}}$.$Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 PCE는 다음과 같이 기록할 수 있다$$.

${\displaystyle Y=\sum _{i\in \mathb {N} }c_{i}$$H_{i}(X)}$.

일반화된 다항식 혼돈

Xiu(브라운 대학의 카르니아다키스 휘하의 박사학위)는 캐머런-마틴의 결과를 이른바 아스키-스키(Askey-scheme)의 직교 다항식을 이용한 다양한 연속적이고 이산적인 분포로 일반화하고, 해당 힐버트 기능 $공간$에서 ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ 2${\$}}$$컨버전스를$$ 시연했다.이것은 일반적으로 일반화된 다항 혼돈(gPC) 프레임워크로 알려져 있다.gPC 프레임워크는 확률유체역학, 확률유체유체역학, 고체역학, 비선형 추정, 비선형 고정점 디지털 시스템에서 유한한 단어 길이 효과의 평가 및 확률론적 강건한 제어를 포함하는 애플리케이션에 적용되었다.gPC 기반 방법은 여러 애플리케이션에서 몬테카를로 기반 방법보다 연산적으로 우수하다는 것이 입증되었다.^[7]그러나 이 방법에는 현저한 한계가 있다.많은 수의 랜덤 변수의 경우 다항 혼돈은 계산적으로 매우 비싸지고 몬테카를로 방법은 일반적으로 더 실현 가능하다^{[citation needed]}.

임의 다항식 혼돈

최근 혼돈 확장은 PC의 데이터 중심 일반화라고 하는 ^[8]임의의 다항식 혼돈 확장(aPC)을 향한 일반화를 받았다.모든 다항식 혼돈 확장 기법과 마찬가지로, aPC는 직교 다항식 기반 확장에 의해 모델 파라미터에 대한 시뮬레이션 모델 출력의 의존도를 근사화한다.aPC는 임의의 확률 측정으로 임의의 분포에 대한 혼돈 확장 기법을 일반화하는데, 이는 이산형, 연속형 또는 탈증식 연속형일 수 있고 분석적으로 (확률 밀도/누적 분포 함수로), 히스토그램 또는 원시 데이터 집합으로 지정할 수 있다.유한확장순서의 aPC는 유한한 순간수의 존재만을 요구하고 확률밀도함수의 완전한 지식이나 심지어 존재까지도 요구하지 않는다.따라서 제한된 가용 데이터로 충분히 뒷받침되지 않는 모수 확률 분포를 할당할 필요가 없다.대안적으로, 그것은 모델 제작자들이 그들의 통계적 가정의 형태를 기술적 제약조건에서 자유롭게 선택할 수 있도록 한다.조사 결과 aPC는 기하급수적인 수렴률을 보이며 기존의 다항식 혼돈 확대 기법보다 더 빠르게 수렴하는 것으로 나타났다.그러나 이러한 기술들은 현재 진행 중이지만 CFD 모델에 대한 영향은 상당히 인상적이다.

다항 혼돈 및 불완전한 통계 정보

많은 실제 상황에서는 불확실한 입력 매개변수에 대한 불완전하고 부정확한 통계 지식만 이용할 수 있다.다행히도, 유한 순서 확장을 구성하기 위해서는, 한정된 수의 통계적 모멘트로 간단히 나타낼 수 있는 확률 측정에 관한 일부 부분적인 정보만 필요하다.모든 확장 순서는 입력 데이터에 대한 신뢰할 수 있는 통계 정보가 수반되는 경우에만 정당화된다.따라서 불완전한 통계 정보는 고차 다항식 혼돈 확장의 효용을 제한한다.^[9]

다항 혼돈과 비선형 예측

다항식 혼돈은 과거 실현에서 조건화된 가우스 고정 증분 프로세스의 비선형 함수 예측에 활용할 수 있다.^[10]구체적으로, 그러한 예측은 각 기본 원소가 주어진 표본에 대해 측정할 수 있거나 독립적일 수 있는 프로세스에 의해 생성되는 가우스 힐버트 공간에 대한 특수 기반에 관한 기능의 혼돈 확장을 도출함으로써 얻어진다.예를 들어, 이러한 접근방식은 분절 브라운 운동에 대한 쉬운 예측 공식으로 이어진다.

베이지안 다항식 혼돈

비침해적 설정에서 주어진 기본 함수 집합에 ${\displaystyle {대한}_{}}$ 확장 계수$$ $c{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$$displaystyle c_{i}$의 추정은 대리모형을 구성하여 베이시안 회귀 문제를 고려할 수 있다$$.이 접근방식은 확장 계수의 불확실성뿐만 아니라 (베이지안 추론의 관점에서) 데이터 증거에 대한 분석적 표현에서도 이점이 있다.^[11]그런 다음 증빙을 확장 항 선택 및 시리즈 가지치기 측도로 사용할 수 있다(베이지안 모델 비교 참조).팽창 계수의 불확실성은 PCE의 품질과 신뢰도를 평가하는 데 사용될 수 있으며, 나아가 이 평가가 관심의 실제 $양$에 미치는 영향 Y {\$displaystyle Y}$을(를$)$ 평가할 수 있다$.$

${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle X^{}}$( j${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle Y^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle D=\{\mathbf {X} ^{(j)},Y^{(j)}\}\}}}$을(를) $j{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$. ,${\displaystyle N_{}}$의 $집합$으로 한다$$$.$$,N_{s}}$ pairs of input-output data that is used to estimate the expansion coefficients ${\displaystyle c_{i}}$. Let ${\displaystyle M}$ be the data matrix with elements ${\displaystyle [M]_{ij}=\Psi _{i}(\mathbf {X} ^{(j)})}$, let ${\displaystyle \overrightarrow{Y}=(Y^{(1)},...,Y^{(j}}$${\$$T}}$은(는) $벡터{\displaystyle {}_{}}$ 형태로 작성된 N$$s {\$displaystyle N_{s}$ 출력$$ 데이터의 집합이며, $c{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$. . ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$,${\displaystyle }$. . .${\displaystyle }$. . . . ${\displaystyle {}_{{}_{}}{}^{}{p_{}}_{}}$ ) ${\displaystyle T^{}}$ ${\\${1$}, c_{i}, c_{N_{p})^{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{}}}}$$T}}$ 벡터 형태의 팽창 계수 세트$$.PCE의 불확실성이 분산을 알 수 없는 가우스식이고 그 이전의 스케일 인바리어드라고 가정할 때 확장 계수에$$ 대한 기대값${\displaystyle }${ { ${\displaystyle \backslash }$ $\$\$langle \cdot \angle }$은(는) 다음과 같다.

${\displaystyle \langle{\bec}\c}\angle =(M^{T}\;M)^{-1}\;M^{T}\;{\vec {y}}}}$

$H{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ M${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$를 사용하면 계수의 공분산이^[11]

${\displaystyle{\text}{Cov}(c_{m},c_{n})={\frac {\chi_{\text{min}^{2}}{N_{s}-N_{p}-2}}H_{m,n}}$

where ${\displaystyle \chi _{\text{min}}^{2}={\vec {Y}}^{T}(\mathrm {I} -M\;H^{-1}M^{T})\;{\vec {Y}}}$is the minimal misfit and ${\displaystyle \mathrm {I} }$ is the identity matrix.그런 $다음{\displaystyle }$ 계수$$n {\$displaystyle n}$에 대한 추정치의 불확실성은 ${\displaystyle \text{Var}(c_{}}$m ) = ${\displaystyle \text{Cov}({}_{}}$ ${\displaystyle m_{}{}_{}{}_{}}$c ${\displaystyle m_{}}$ )$${\$displaystyle {\text{Var}}(c_{m$})={\$text{Cov}(c_{m},c_{$m})}에 의해 주어진다$$$.$따라서 팽창 계수에 대한 추정치의 불확실성은 단순한 벡터 매트릭스 곱셈으로 얻을 수 있다.$주어진{\displaystyle }$ 입력 p (${\displaystyle X\mathbf{}}$) ${\displaystyle p(\mathbf {X}$)의 경우$,$ 관심 양에 대한 두 번째 모멘트가 표시되었다^[11].

${\displaystyle \langle Y^{2}\rangle =\underbrace {\sum _{m,m'}\int \Psi _{m}(\mathbf {X} )\Psi _{m'}(\mathbf {X} )\langle c_{m}\rangle \langle c_{m'}\rangle p(\mathbf {X} )\;dV_{\mathbf {X} }} _{=I_{1}}+\underbrace {\sum _{m,m'}\int \Psi _{m}(\mathbf {X} )\Psi _{m'}(\mathbf {X} )\;{\text{Cov}}(c_{m},c_{m'})\;p(\mathbf {X} )\;dV_{\mathbf {X} }} _{=I_{2}}}$

이 방정식은 위의 매트릭스 벡터 곱에 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 대한 한계화를 더한 값이다$.$ 첫 번째 용어 I ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 대리용으로 사용되는 PCE를 기반으로 얻은 관심 수량 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyty Y}$의 일차 불확실성을$$ 결정한다$.$두 번째 용어 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}는 PCE의 유한한 불확실성으로 인한$$ 관심 $Y{\displaystyle }${\$displaystyle Y$}의 추가 주불 불확실성(흔히 혼합 알레아토릭-Epistic 유형의)을$$ 구성한다.^[11]충분한 데이터를 이용할 수 있는 경우, 품질과 양 면에서 ${\displaystyle \text{Var}}$(${\displaystyle c_{}}$ m$){\displaystyle {\textVar}}(c_{m})$가 무시해도 될 정도로 작아지고$$ 작아지는 것을 알 수 있다. 이는 두 용어의 비율을 단순히 구성하면 판단할 수 있다. 예: I ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{I\mathrm{}}_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\$1}{$1}$$I_{1}+I_{2$$\}\}\}\}\}.$이 비율은 총 불확도에 대한 PCE 자체의 불확실성의 양을 정량화하며, 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1$ 예: ${\displaystyle \frac{{I\mathrm{}}_{}}{{}_{}}}$ + ${\displaystyle \frac{{I\mathrm{}}_{}}{}}$ 2${\displaystyle 0}$ 0.5${\displaystyle${\$frac {I_{1}:{$1}{0,1}}}{0,1}}{{}}}.$I_{1}+I_{2}}\$약$$0.5$\},$ 그러면 불확실성의 절반은 PCE 자체에서 발생하며, PCE를 개선하기 위한 조치를 취하거나 더 많은 데이터를 수집할 수 있다.${\displaystyle \frac{{I1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {I_{1$}:{1$}{$$I_{1}+I_{2}}\$약$1$ 그러면 PCE의 불확실성이 낮으며 PCE가 신뢰할 수 있는 것으로 간주될 수 있다.

베이시안 대리모형 선택에서 특정 대리모형의 확률, $즉{\displaystyle {}_{}}$ 확장 계수 ${\displaystyle c_{}}$ ${\$와 기본$$ 함수 $functions{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 특정 $세트{\displaystyle }$ S${\displaystyle$S}에 대한 확률은 $데이터{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$ ${\$의 증거에 의해 주어진다$.$

${\displaystyle Z_{S}=\Omega _{N_{p}}\mid H\mid ^{-1/2}(\chi _{\text{min}}^{2})^{-{\frac {N_{s}-N_{p}}{2}}}{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {N_{p}}{2}}{\big )}\Gamma {\big (}{\frac {N_{s}-N_{p}}{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {N_{s}}{2}}{\big )}}}}$

where ${\displaystyle \Gamma }$ is the Gamma-function, ${\displaystyle \mid H\mid }$ is the determinant of ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle N_{s}}$ is the number of data, and ${\displaystyle \Omega _{N_{p}}}$is the solid angle in ${\displaystyle N_{p}}$dimensions, where${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$는 PCE의 항 수입니다.

유사한 연구 결과는 PCE 기반 민감도 지수 연산으로 전달될 수 있다. Kriging에 대해서도 유사한 결과를 얻을 수 있다.^[11]

참고 항목

• 직교 다항식
• 대리모형
• 분산 기반 민감도 분석
• 카루넨-로이브 정리
• 힐베르트 공간
• 적절한 직교 분해
• 베이지안 회귀 분석
• 베이시안 모델 비교

참조