2차 고유값 문제

수학에서 2차 고유값 문제^[1](QEP)는 스칼라 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$ $\},$ 왼쪽 고유 벡터 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$},$ 오른쪽$$ 고유 벡터 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을 찾는 것이다.

${\displaystyle Q(\lambda )x=0{\text{ 및 }y^{\ast }Q(\lambda )=0,}$

여기서 $Q{\displaystyle (\lambda }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$2 + ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$1 + A ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ Q$(\lambda )=\lambda ^{$$2$}$A_{2}+\lambda A_{1}+$$A_{0}}$, with matrix coefficients ${\displaystyle A_{2},\,A_{1},A_{0}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ and we require that ${\displaystyle A_{2}\,\neq 0}$, (so that we have a nonzero leading coefficient).무한하거나 유한할 수 있는 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ ${\displaystyle 2n}$의 고유값이$$ 있으며, 0일 수 있다.이것은 비선형 고유 문제의 특별한 경우다.${\displaystyle Q}$ (${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle Q(\lambda )}$은(는) 2차 다항 행렬이라고도 한다.

적용들

QEP는 유한요소법에 의해 입증된 구조물의 동적해석의 일부를 초래할 수 있다.In this case the quadratic, ${\displaystyle Q(\lambda )}$ has the form ${\displaystyle Q(\lambda )=\lambda ^{2}M+\lambda C+K}$, where ${\displaystyle M}$ is the mass matrix, ${\displaystyle C}$ is the damping matrix and ${\displaystyle K}$ is the stiffness matrix.다른 응용 프로그램으로는 진동음향과 유체 역학 등이 있다.

해결 방법

표준 또는 일반화된 고유값 문제 $해결$을 위한 직접적 방법 ${\displaystyle A}$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle \lambda }$ x ${\displaystyle Ax=\lambda$ x$},$ ${\displaystyle A}$x = ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}${\$displaysty Ax=\lambda Bx}$은 문제를 Schur 또는 일반화된 Schur 형식으로 변환하는 것에 기초한다$$.그러나 2차 행렬 다항식에는 유사한 형태가 없다.한 가지 접근방식은 2차 행렬 다항식을 선형 행렬 연필(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \lambda }$ B ${\displaystyle A-\lambda B})$로 변환하여 일반화된 고유값 문제를 해결하는 것이다.일단 선형 문제의 고유값과 고유 벡터가 결정되면 2차 문제의 고유 벡터와 고유값을 결정할 수 있다.

가장 일반적인 선형화는 첫 번째 동반자 선형화다.

${\displaystyle L(\lambda )=\lambda {\begin{bmatrix}M&0\\0>I_{n}\end{bmatrix}+{\begin{bmatrix}C&K\\-I_{n}&0\end{bmatrix},}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는$)$ $해당{\displaystyle }$ 고유 벡터가 $있는$ n {\displaystyle $n}$ $$ {\$displaystyle$ n$}$ ID$$ 매트릭스임

${\displaystyle z={\displaystyle j={\bmatrix}\data x\x\end{bmatrix}.}$

$예$를 들어 일반화 슈르 형식을 계산하여 L (${\displaystyle \lambda }$) z${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle$ L$(\lambda )z=0}$을(를) $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$ 및$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaysty z}$에 대해 해결한다$.$${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음 z ${\displaystyle z}$의 첫 $번째{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 구성요소를$$ 원래의 2차 $Q{\displaystyle }$($$ )의$$ 고유 벡터 $x{\displaystyle }${\$displaystyle$ $x}$로 가져갈 수 있다$.$

참조