과격축

기하학에서 두 개의 비집중 원의 급진적인 축은 원과 관련된 힘이 같은 점들의 집합이다. 이러한 이유로 급진축을 두 원의 동력선 또는 동력 이등분자라고도 한다. 자세한 내용:

${\displaystyle {}_{}}$ $개$의 ${\displaystyle {원\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle c_$${1$},$c_{2$}}의 경우$$, 중심 M 1, M 2${\displaystyle$ M_{1}, $M_$${2$}} 및$$ 반지i $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $r_{1$},$r_{$2}} 원에 대한$$ 점 $P$의 힘은$$ 다음과 같다$.$

${\displaystyle \Pi _{1}(P)= PM_{1} ^{2}-r_{1}^{2},\qquad \Pi _{2}(P)= PM_{2} ^{2}-r_{2}^{2}}$ .

점 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는) 과격한 축에 속한다$$.

• ${\displaystyle {\mathrm{\pi }}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle P}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( P${\displaystyle }$) ${\$.

원의 공통점이 두 개라면, 급진적인 축은 원의 공통적인 제분선이다.
점 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 원 외부에 있는$$ 경우, $P{\displaystyle }${\$displaystyle$P}은 두 원과 접선 거리가 같다$$.
반지름이 같을 경우, ${\displaystyle {래디컬\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {축}_{}}$은 M$$1,${\displaystyle {}_{}}$M 2 {\$displaystyle$ M_{1$},M_{2$}}의 선 세그먼트 이등분자 입니다$.$
어쨌든 급진축은 M ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{2_{}}}$의 $displaystyle {\\overline$ {$M_{1}M_{$2}}에 수직인 선이다$.$

공지에 관하여

프랑스 수학자 M이 과격축이라는 표기법을 사용했다. 도끼처럼 과격하다. ^[1]
J.V. 폰셀렛은 코드 이데일을 사용했다. ^[2]
J. 플뤼커는 코달레라는 용어를 소개했다.^[3]
J. Steiner는 동력의 과격한 축선(Linie der gleichen Potenzen)을 칭하여 전력선(Potenzgerade)으로 이어졌다.^[4]

특성.

기하학적 형태와 그 위치

$x$${\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ 1${\displaystyle {}_{}}$, m${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$vec $스타일 {\vec {x},{\vec {m}_{1},{\$vec ${{m}$_{1},{\$vec$ {{m}$_{$2}} $포인트$ $P{\displaystyle ,{}_{}{M\mathrm{}}_{}}$ ${\$},$M_{2$ 그러면 그 래디컬 라인의 정의 방정식을 다음과 같이 작성될 수 있다.

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}\quad \leftrightarrow \quad 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0}$

올바른 방정식에서 얻은 것이다.

• 급진축의 점 집합은 실로 선이며 권선 중심을 통과하는 선에 수직이다.

(${\displaystyle m_{\mathrm{}}{\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$- ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ 1 ${\$}는$$ 래디컬 축에 대한 정상적인 벡터!)

방정식을 ${\displaystyle 2m{\stackrel{}{}}_{}}$→${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}}$ $displaystyle$2${\vec{m}_{2}-{\vec{m}_{1}}}$로 나누면 헤시안 정규 형태를 얻게 된다$.$ 중심 위치 벡터를 삽입하면 중심에서 급진 축까지의 거리가 발생한다.

${\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}}$,

$with{\displaystyle d{}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ M${\displaystyle {}_{}}$2 {\$displaystyle$d=$M_{1}M_{$2}$$$}$ .

($d{\displaystyle }$ ${\$ L ${\displaystyle L}$이(가) $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$M ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}} $사이$에 있지 않으면 음수가 될 수 있다$$.)$$

원들이 두 지점에서 교차하는 경우, 급진적인 선은 공통점을 통과한다. 서로 만질 수만 있다면 그 급진적인 선은 흔히 접선하는 선이다.

특수 포지션

• 두 개의 교차하는 원들의 급진적인 축은 그들의 공통적인 제분선이다.

두 개의 만지는 원의 급진적인 축은 그들의 공통 접선이다.

두 개의 비교차 원의 급진적인 축은 두 개의 편리한 장비 원(아래 참조)의 공통점이다.

직교 원

• 원 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 밖에$$ 있는 점 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$과(와) 두 접선 점 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 경우$T_{i}$ 방정식$$ P ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle P}$ T ${\displaystyle {}^{}{}_{}{}^{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i_{}}$( P${\displaystyle }$) ${\displaystyle PS_{i} ^{2}= PT_{i} ^{2}=\Pi _{i}}$^{${\displaystyle i_{}}$}}는 고정되고$$ ${\displaystyle {Si}_{}}$, T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$T_{i}}$은$($는) $중심{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$ 및 반지름$$ radius $i{\displaystyle \sqrt{{\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}P}}$ $){\$ {\sqrt ${\{$$i}($$P$ $원$을 ${\displaystyle c_{}}$ $o$$${\$displaystystyle c_{$i}}}}}}}}}은 직교차한다$$$$. 따라서 다음과 같다.

If ${\displaystyle P}$ is a point of the radical axis, then the four points ${\displaystyle S_{1},T_{1},S_{2},T_{2}}$ lie on circle ${\displaystyle c_{o}}$, which intersects the given circles ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ orthogonally.

• 급진축은 모든 원의 중심들로 구성되며, 이는 주어진 원을 직교적으로 교차한다.

직교 원 계통

직교적으로 두 개의 원과 교차하는 원 연필을 만들기 위해 이전 절에서 설명한 방법은 원과 직교하는 두 개의 원과 교차하는 시스템을 구성하기 위해 확장될 수 있다.^[5][6]

$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개의 누운 원(앞부분과 같이), $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{r\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}개의$$ 중심과 radi 및 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$ 급진적인$$ 축을 두십시오$$. 이제 모든 원은 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $c_{1$$}M_{1}M_{$2}}:$$c 1 {\$displaystyle g_{12}$과(와$)$ 함께 라디컬 축으로$$ 구성된 ${\displaystyle \stackrel{}{{중심}_{}}}$과 ${\displaystyle {\mathrm{함께}}_{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{결정}_{}}}$된다$.$ $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}가 그러한$$ 원인 경우, 중심은 $중심$ M ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$${\$$displaystyle M_{1},$ 반경$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 앞의 결과에서 방정식을 얻는다.

$displaystyle d_{1}={\frac {\frac {\frac ^{2$$$$}^{2}-\rho _{2}^{2$}}:{$2\pair }}}}\{1$ 여기서 > r ${\$}>$r_{1}}$은(는) 고정되어 있다.

$\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle \Delta }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}를 $사용$하여 방정식을 다음과$$ 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\Delta }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$- r ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ 2$${\$displaystyle \cHB_{2}^{2}^{2}=d_{1$}^{$2}-r_{$1}^{$1}^{2$}+\$rho_{2$}^{2}^{2}^{2}^{2}^{$2$

반지름 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2${\$}}이 주어진$$ 경우, 이 방정식에서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} ~ (고정) 새 중심부의 (고정)급극축까지의 거리$$ Δ 2{\displaystysty \delta_{2}}. 도표에서 새 원의 색은 보라색이다. 모든 녹색 원(도표 참조)은 그 중심이 급진 축에 있고 원 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{c\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}회 직교적으로$$ 교차하며, 따라서 모든 새로운 원(보라색)도 교차한다. (빨간색)급수축을 y축으로, 라인 $M{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ M $}{\$1}$M_{2}}:$ x축으로$$ 선택하면 원의 두 연필에는 다음과 같은 방정식이 있다.

보라색:${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ r ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$d ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ $(\$\\$\$ ($x-\cHB _{2})^{2}+y^{2}=\cHB _{2}^{2}+r_{1$$}^{2}-d_{1}^{2}}$

${\displaystyle {녹색\mathrm{}}^{}}$: ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ (${\displaystyle }$y${\displaystyle }$- ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$= y ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$+ d ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}{}_{}^{}}$- r ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}{}_{}^{}}$. ${\displaystyle$\$x^{2}+(y-y_{g})^{2}=y_{g}^{2}+d_{1$$}^{2}-r_{1}^{2}\ .}$

(${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, y ${\displaystyle g_{}}$) ${\displaystyle \;$ ($0,y_{g}})$은 녹색 원의 중심이다.)

속성:
a) 두 ${\displaystyle {개}_{}}$의 녹색 원은 원 직교 시스템의 극인$$$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$/ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle (\pm }$ 1 ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}_{}^{}}}$- r ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$ ${\displaystyle 2\sqrt{{}_{}^{}}}$, 0 $){\$}^{$1}^{1},{0}}}}}}}$에서 X 축에 교차한다. 즉, x축은 그린 서클의 급진적인 선이라는 뜻이다.
b) 보라색 원은 공통점이 없다. But, if one considers the real plane as part of the complex plane, then any two purple circles intersect on the y-axis (their common radical axis) at the points ${\displaystyle Q_{1/2}={\big (}0,\pm i{\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}}{\big )}}$.

특별한 경우:
a) d ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}의 경우 녹색$$ 원은 x축을 공통 접선으로 하여 원점에서 서로 접촉하고 보라색 원은 y축을 공통 접선으로 한다. 이러한 원형의 체계를 동축 포물선(아래 참조)이라고 한다.
b) c ${\$}를 중심$$ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$즉 ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle r_{1}=0}$으로 축소하면$$방정식이 보다 단순한 형태로 변하며 M${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle M_{1}=P_$$1$}.

결론:
a) 모든 실제 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$ 원 연필$$

${\displaystyle \;c(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ :}$

자산 보유: y축은 $c{\displaystyle }$ (${\displaystyle {\xi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle$ c$(\xi _{1}), c(\xi _{2})$의 과격한 축이다$.$

> ${\displaystyle w>0}$의 경우 $원$ c${\displaystyle }$( ${\displaystyle {\xi \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle ({\xi \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ c$(\xi _{1}), c(\xi _{2})$가 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$± $){1/2}}=$ ($0,\pm {\sqrt{w$에서 교차한다$$.

< ${\displaystyle w<0}$의 경우 공통점이 없다.

$w{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w=0}$의 경우${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (0,0)}$에서 터치하고$$$$ y축은 공통 접선이다.

b) 실제 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$ 원 연필 두 자루$$

${\displaystyle c_{1}(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\,}$

${\displaystyle c_{2}(\eta ):\;x^{2}+(y-\eta )^{2}-\eta ^{2}+w=0\}}$

직교 원형을 이루다 즉, 두 원 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\xi }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\eta }$) ${\displaystyle c_{1}(\xi ), c_{2}(\eta )}$이(가) 직교한다$$.

c) b)의 방정식에서 좌표 자유 표현을 얻는다.

주어진 $지점{\displaystyle {}_{}}$ P ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{P\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 중간 지점 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$ 및$$ 라인 세그먼트 이등분 g ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$에 대해 두 방정식

${\displaystyle XM ^{2}= OM ^{2}- OP_{1} ^{2}\ ,}$

${\displaystyle XN ^{2}= ON ^{2}+ OP_{1} ^{2}= NP_{1} ^{2}}$

P ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$에 $M$${\$$displaystyle$ ${\$ 그러나 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$에${\displaystyle {}_{}}$$P{\displaystyle }$$$1, P 2 {\$displaystyle P_$${1},$N ${\displaysty$ N$}$ 사이는 아니다$.$

시스템의 극인$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$P ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에 의해 고유하게 결정되는 원의 직교 시스템을 설명한다.

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle P}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= O ${\displaystyle P_{1}=P_{2}=O}$의 경우 시스템의$$$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개도 처방해야 한다. 이 시스템은 포물선이다.

${\displaystyle XM ^{2}= OM ^{2}\,\quad XN ^{2}= ON ^{2}}$

$1$$${\$displaystyle a_{1$}에 M ${\displaystyle M},$ ${\displaystyle 2_{}}$ ${\$$2$}}에 N ${\displaystyle N}$ 포함.

직선 및 나침반 구조:

직교 원 시스템은 극 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$

1. 축(라디칼 축)은 극의$$ $P{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ P $({\$}}: 라인 세그먼트 이등분자 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\$이다.
2. 원(도표에서 녹색)은${\displaystyle {}_{}}$P ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 중심은 g ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$에 있다$$$.$ 그것들은 쉽게 그려질 수 있다. $점{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$의 경우 반지름은$$ ${\displaystyle r_{}}$ N${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ $displaystyle \;r_{N}= NP_{1} \;}$ 입니다$.$
3. In order to draw a circle of the second pencil (in diagram blue) with center ${\displaystyle M}$ on ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$, one determines the radius ${\displaystyle r_{M}}$ applying the theorem of Pytagoras: ${\d$$isplaystyle \;r_{M}^{2}= OM ^{2}- OP_{1} ^{2}\;}($도표 참조).$$

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개의 경우 축을$$ 추가로 선택해야 한다. 그 시스템은 포물선이고 쉽게 그릴 수 있다.

동축원

정의 및 속성:

$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}를 두 개의$$ 원으로 하고 $\pi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개의$$ 전원 기능을 한다. 그런 다음 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda \neq 1}$의 경우

• ${\displaystyle \Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)=0}$

원 $c{\displaystyle }$ (${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle c(\lambda )}$의 방정식이다($$아래 참조). 그러한 원의 시스템을 원 ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}$$. (${\displaystyle }$= = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \lambda=1$}의$$ 경우 ${\displaystyle {방정식}_{}}$은 c${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle c_{1},c_{2$}} .)의 과격한 축을 설명한다.$$

$c{\displaystyle }$ (${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle c(\lambda )}$의 전원 함수는$$

${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)={\frac {\Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)}{1-\lambda }}}$.

규범 방정식($x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$,${\displaystyle {}^{}{y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ x$^{2},y^{2}}$ 계수는 $c$ (${\displaystyle \lambda )}$의 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$$){\displaystyle c(\lambda )}$은 ${\displaystyle \pi }$(λ, x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$ )${\displaystyle }$= 0 ${\displaystysty \Pi (\lambda,x,y)=0$

간단한 계산은 다음을 나타낸다.

• ${\displaystyle c}$ (${\displaystyle \lambda }$ )${\displaystyle }$, c${\displaystyle }$(${\displaystyle \mu }$) , ${\displaystyle \{\mu \text{,}}$ ${\displaystyle$c(\\$da ),$${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$$(\mu ),\\$\ \$da \neq \mu \,}$은 $c{\displaystyle {}_{}}$ 1, c ${\$c_${$2}}와$같은 급진적$인 축을 가지고 있다$$$.$

$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 무한대로 이동할 수 있도록 허용하면 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\$${\displaystyle 1\},c{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle {}_{}c}$ (${\displaystyle \mathrm{})}$ $){\displaysty c_{1}=c(\fty})$의 동축 원 시스템의 구성원이라는$$ 것을 인식하게 된다$.$

(E): If ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$intersect at two points ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$, any circle ${\displaystyle c(\lambda )}$ contains ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$, too, and line ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ is t공동 급진 축 이런 시스템을 타원체라고 한다.
(P): $c{\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}:$$$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에서 접선된 경우$$$,$ ${\displaystyle {모든\mathrm{}}_{}}$ 원은${\displaystyle {}_{}{C\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle }$,$$c 2 {\$displaystyle c_$$\{$1},$c_{$2}}: P ${\displaystystyle P}$에서도 접선된다. 공통 접선은 그들의 공통적인 급진적 축이다. 그런 시스템을 포물선이라고 한다.
(H): ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$c ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: 공통점이 없는 경우, 시스템 쌍도 동일하다. 어느 한 쌍의 원의 급진적인 축은 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}의 급진적인 축이다$.$ 그 시스템은 쌍곡선이라고 불린다.

자세한 내용:

다음과 같은 좌표 소개

${\displaystyle c_{1}:(x-d_{1})^{2}+y^{2}}=r_{1}^{2}}$

${\$$$$}}=d_{2}^{2}+r_{1$$}^{2}-d_{1}^{2$

그 다음 y축은 그들의 급진적인 축이다(위 참조).

전원 함수 $\pi {\displaystyle \mathrm{}(}$ ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Pi(\lambda ,x,y)}$을 계산하면 다음과 같은 표준 원 방정식이 제공된다$$.

${\displaystyle c(\data ):\x^{2}+y^{2}-{d_{1}-\tfrac {d_{1}-\proda d_{2}}:{1-\}}\;x+d_{1}}^{2}-r_{1}^{2}=0\ .}$

정사각형 및 $치환{\displaystyle {}_{}{\Delta \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2\frac{{}_{}}{}}$ = ${\displaystyle \frac{{d\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}_{}{}_{}}{\mathrm{}}}$ d${\displaystyle \frac{}{}}$2 1 -$$ {\$displaystyle \delta _{$2}={\$tfrac$ {$d_{$1}-\$lambda d_}}}}{1-\lambda }}}}($중앙의 x 좌표)를 완성하면 방정식의 중심 형식이 산출된다.

${\$$$$}^{2}-d_{1}^{2$

> 1 ${\$}의 경우 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$c ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$c (${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$ 원은 두 점을$$ 가진다.

${\displaystyle P_{1}={\big (}0,{\sqrt{r_{1}^{1}^{2}-d_{1}^{1}:{1}2}}:{\big ),\quad P_{2}={n2}={0, {\sqr_{1}^{1}{1}^{big}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

공통적으로 동축 원의 체계는 타원형이다.

r ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 디스플레이 스타일 $r_{1}=d_{1$}{1}의 경우, 원 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}c}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$c (${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle c_{1},c_{2},c$(\lambda $)}$는 점$$ $P{\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$= ( ${\displaystyle 0,}$ 0 $){0}=$ ($0,0)$의 공통점을 가지며$$ 시스템이 포물선이다.

< ${\$}<$d_{$1}{1}의 경우 원 $c$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle {}_{}{c\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$는 공통점이 없고 시스템이$$ 쌍곡성이다.

대체 방정식:
1) 원의 동축계 정의방정식에서는 동력함수의 배수를 사용할 수도 있다.
2) 원 중 하나의 방정식은 원하는 급진축의 방정식으로 대체할 수 있다. 급진축은 반지름이 무한히 큰 원형으로 볼 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}\\\\lambda \;2(x-x_{2})\ =0\\ \좌우타로우 }}$

${\$$$$}^{2}-x_{1}^{2}-2\cHBDA x_{2$

첫 번째 원과 $함께{\displaystyle }$ 선 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}을 래디컬 축으로$$ 하는 모든 원을 설명한다.
3) 두 원의 동등한 지위를 표현하기 위하여, 다음의 형태를 자주 사용한다.

${\displaystyle \mu \Pi _{1}(x,y)+\nu \Pi _{2}(x,y)=0\;}$

그러나 이 경우, $\mu {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ 매개 변수에 의한 원의 표현은 고유하지 않다.

응용 프로그램:
a)순환과 뫼비우스 변환은 각도와 일반화된 원을 보존한다. 따라서 원의 직교 시스템은 이러한 매핑에 대한 조사와 함께 필수적인 역할을 한다. ^[9][10]
b) 전자기학에서는 동축 원이 필드 라인으로 나타난다. ^[11]

의 급적의 급,, 적의의 건 construction의 .

• For three circles ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ , no two are concentric, there are three radical axis ${\displaystyle g_{12},g_{23},g_{31}}$. If the circle centers lie not on a line, the radical axes intersect in a common point ${\displaystyle R}$, the radical cent3개의 원 중에서 두 원의 직교원(방사선원)도 세 번째 원과 직교한다.

교정: rodical 축 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에는 ${\displaystyle {원}_{}}$ c${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$k {\$displaystyle c_{i},c_{$k}}}와 접선 거리가 같은 모든 점이 포함되어$$ 있다$.$ $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$와 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {23}_{}}$ ${\$의 교차점 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 세 원 모두에 대해 접선 거리가 동일하다$$. 따라서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$도 급진축 g ${\displaystyle {31}_{}}$ ${\$의 지점이다$.$

이 속성은 두 개의 비 교차 원 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{c\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}$$: $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{c\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}를 교차하는, 주어진 중심에 중앙이 아닌$$ 세 번째 원 ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 3${\$을 그릴 수 있다$.$ 래디컬 축 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {13}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {23}_{}}$ ${\$을(를) 그릴 수 있다$$. 이들의 교차점은 세 원 중 급진적$$ $중심{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$이며 g ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\$에 놓여 있다$.$ $M{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{1\mathrm{}}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}{}_{}}}$의 ${\$displaystyle {\$displaystyle {\m_{1}M_{2$}}에 수직인 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R$을 통과하는 선은 급진축 g ${\$이다$.$

추가 시공 방법:

주어진 $원{\displaystyle }$ c ${\displaystyle c}$에 동일한 힘을 가진 모든 지점은 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에 동심원으로 있는 원 위에 놓여 있다$.$ 그것을 등전원 원이라고 부르자. 이 속성은 두 개의 원의 급진적인 축의 추가 시공 방법에 사용할 수 있다.

두 개의 비 교차 원 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ c 1 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{},}$ c 2${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ c$'_{1},$${\displaystyle {}_{}}$$'_{2}},$ c 1, 2 {\$displaystystyle c_{1$},$c_{$2$\}\}:$ $c{\displaystyle {}_{}}$ c$,$ c, ${\displaystyle {c1\mathrm{}}_{}}$}를 그릴 수 있다$$($$도 참조). In detail: ${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$. If the power is large enough, the circles ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$ have two points in common, which lie on the radical axis ${\displaystyle g_{12}}$.

양극 좌표와의 관계

일반적으로 두 개의 분리된 비집중 원은 양극 좌표계의 원과 정렬할 수 있다. 이 경우, 급진적인 축은 단순히 이 $좌표계$의 y ${\displaystyle$ y$}$ - 축이다$$. 좌표계의 두 초점을 통과하는 축의 모든 원은 두 원과 직교적으로 교차한다. 원들의 최대 집합은 모두 주어진 선에 중심을 두고 있고 모든 쌍이 같은 급진적인 축을 가지고 있는 것으로, 동축 원의 연필로 알려져 있다.

삼선 좌표에서의 급진적 중심

원들이 일반적인 방법으로 삼선 좌표로 표현된다면, 그들의 급진적인 중심은 어떤 결정요인으로 편리하게 주어진다. 특히 X = x : y : z는 세로 길이 a = BC, b = CA, c = AB , 삼각형 ABC 평면의 변수 점을 나타내며 다음과 같이 원을 나타낸다.

(dx + eye + fz)(ax + by + cz) + g(ayz + bzx + cxy) = 0

(hx + iy + jz)(ax + by + cz) + k(ayz + bzx + cxy) = 0

(lx + my + nz)(ax + by + cz) + p(ayz + bzx + cxy) = 0

그렇다면 급진적인 중심이 요점이다.

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}g&k&p\\e&i&m\\f&j&n\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\f&j&n\\d&h&l\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\d&h&l\\e&i&m\end{bmatrix}}.}$

래디컬 평면 및 하이퍼플레인

3차원의 두 비원성 구의 급진적 평면은 유사하게 정의된다: 그것은 두 구에 대한 접선의 길이가 같은 지점들의 중심이다.^[12] 이 중심점이 평면이라는 사실은 급진적인 축이 직선이라는 사실에서 3차원에서 회전하면서 따라온다.

어떤 차원에서도 유클리드 공간의 하이퍼스피어에도 동일한 정의를 적용할 수 있어 두 개의 비원성 하이퍼페어의 급진적 하이퍼플레인(hyperplane)을 부여한다.

메모들

참조

• R. A. Johnson (1960). Advanced Euclidean Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle (reprint of 1929 edition by Houghton Miflin ed.). New York: Dover Publications. pp. 31–43. ISBN 978-0-486-46237-0.

추가 읽기

• C. Stanley Ogilvy (1990). Excursions in Geometry. Dover. pp. 17–23. ISBN 0-486-26530-7.
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer (1967). Geometry Revisited. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. pp. 31–36, 160–161. ISBN 978-0-88385-619-2.
• 클라크 킴벌링, "트리앵글 센터와 중앙 삼각형", 129 (1998) i–xxv, 1–295.

외부 링크

위키미디어 커먼스는 급진적 도끼와 관련된 미디어를 보유하고 있다.

• Weisstein, Eric W. "Radical line". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Chordal theorem". MathWorld.
• 컷더코트 애니메이션