레일리 수

유체 역학에서 유체에 대한 레일리 번호(Ra)는 자유 대류 또는 자연 대류라고도 하는 부력 구동 흐름과 관련된 치수 없는 숫자다.^[1][2][3] 그것은 유체의 흐름 체계를 특징짓는다:^[4] 특정한 낮은 범위의 값은 층류 흐름을 나타낸다; 높은 범위의, 난류 흐름의 값을 의미한다. 일정한 임계치 이하에서는 유체의 움직임이 없고 열전달은 대류보다는 전도에 의한 것이다.

레일리 번호는 유체 내 부력과 점도의 관계를 기술한 그라쇼프 번호와 모멘텀 확산도와 열 확산성의 관계를 기술한 프란들 번호의 산물로 정의된다.^[3][2] 따라서 부력과 점도의 힘의 비율에 운동량과 열 확산성의 비율을 곱한 것으로도 볼 수 있다. 누셀트 숫자와 밀접한 관련이 있다.^[4]

대부분의 공학적인 목적에서, Rayleigh 번호는 10에서⁶ 10⁸ 정도 되는 큰 것이다. 그것은 레일리 경의 이름을 따서 명명되었는데, 그는 그 재산과 유동적인 행동의 관계를 묘사했다.^[5]

파생

Rayleigh 번호는 유체의 질량 밀도가 균일하지 않을 때 유체(물 또는 공기 등)의 거동을 설명한다. 질량 밀도 차이는 보통 온도 차이에 의해 발생한다. 일반적으로 액체는 가열될수록 팽창하고 밀도가 낮아진다. 중력은 액체의 밀도가 높은 부분을 가라앉게 하는데, 이를 대류라고 한다. 레일리 경은 레일리-베나드 대류의 경우를 연구했다^[1].^[6] Rayleigh 수인 Ra가 유체의 임계치 이하일 때는 유량이 없고 열전달은 순전히 전도에 의한 것이며, 그 값을 초과할 때는 자연대류에 의해 열이 전달된다.^[2]

온도 차이로 인해 질량 밀도 차이가 발생하는 경우, Ra는 정의상 속도 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에서 대류 열 수송 시간 척도에 대한 확산 열 수송 시간 척도의 비율이다$.$^[3]

${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\mbox{time scale for diffusion}{{\mbox{time scale at speed}}.}$

이것은 Rayleigh 번호가 Péclet 번호의 일종이라는^[3] 것을 의미한다. 3차원의 크기$$^{[clarification needed]} $l{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ l$}$과 질량 밀도 차이 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ρ { ${\displaystyle \Delta \rho$ $\^{3$}}의 경우$,$ 중력에 의한 힘은 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ Δ l ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {}^{}}$ 3 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\delta \rho$ l^{3$$$}g$의 순서에 $.$ 스톡스 방정식에서 유체의 부피가 가라앉을 때 점성 드래그는 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \eta lu}$의 순서인데$,$ 여기서 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$은 유체의 동적 점성이다. 이 두 힘을 동일시하면 속도 $u{\displaystyle }$ ~${\displaystyle \Delta }$ l ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ g /${\displaystyle \eta }$ η$$η η ${\displaystyle {}^{}}$ η { { $u \delta$ \delta $\sim \rho} 따라서 흐름$을 통한 수송의 시간 척도는 $l{\displaystyle }$/${\displaystyle u}$ ~ ${\displaystyle ~}$ / Δ ${\displaystyle \rho \mathrm{}}$ l g ${\displaystyle \rho }$ l$/u\sim$ /\$delta \rho}$이다$.$ 거리 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$에 걸친 열 확산에 대한 시간 척도는 l ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle l^{2}/\alpha }$이며$,$ 여기서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은 열 확산성이다. 따라서 Rayleigh 번호 Ra는

${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {l^{2}/\alpha }{\eta /\Delta \rho lg}}={\frac {\Delta \rho l^{3}g}{\eta \alpha }}={\frac {\rho \beta \Delta Tl^{3}g}{\eta \alpha }}}$

where we approximated the density difference ${\displaystyle \Delta \rho =\rho \beta \Delta T}$ for a fluid of average mass density ${\displaystyle \rho }$, thermal expansion coefficient ${\displaystyle \beta }$ and a temperature difference ${\displaystyle \Delta T}$ across distance ${\displaysty$$le}$.

Rayleigh 번호는 Grashof 번호와 Prandtl 번호의 제품으로 기록할 수 있다.^[3][2]

${\displaystyle \mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} .}$

고전적 정의

수직 벽 근처의 자유 대류의 경우, Rayleigh 번호는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}}}}}}(T_{s}-T_{\infort }}}}x^{3}=\mathrmatrm {R}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서:

x는 특징적인 길이다.

Ra는_x 특성 길이의 Rayleigh 번호 x

g는 중력에 의한 가속이다.

β는 열팽창 계수(이상 기체의 경우 1/T와 동일하며, 여기서 T는 절대 온도)이다.

${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu}$은(는) 키네마틱 점도임

α는 열 확산성이다.

T는_s 표면 온도다.

T는_∞ 대기 온도(물체 표면에서 멀리 떨어진 유체 온도)

Gr은_x 특성 길이의 그래쇼프 숫자 x

Pr은 Prandtl 번호임

상기에서 유체 특성 Pr, ν, α 및 β를 필름 온도에서 평가하며, 이를 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\puty }}{2}.}$

균일한 벽면 가열 유량의 경우 수정된 Rayleigh 번호는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}^{*}={\frac {g\beta q"_{o}{\nu \alpha k}x^{4}}}}$

여기서:

q"_o는 균일한 표면 열량이다.

k는 열전도율이다.^[7]

기타 응용 프로그램

고체화합금

레일리 번호는 또한 고체화 합금의 흐릿한 구역에서 A-세그리게이트와 같은 대류 불안정성을 예측하는 기준으로 사용될 수 있다. 습한 구역 Rayleigh 번호는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}L}{\alpha \nu }}={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}}{R\nu }}}$

여기서:

K는 (머쉬의 초기 부분의) 평균 투과성이다.

L은 특징적인 길이 척도다.

α는 열 확산성이다.

ν은 동역학적 점성이다.

R은 고체화 또는 등속 속도다.^[8]

레일리 숫자가 특정 임계값을 초과할 때 A-세그리게이트가 형성될 것으로 예측된다. 이 임계치는 합금의 구성과 무관하며, 이는 스즈키 기준과 같은 대류 불안정성의 예측을 위한 다른 기준보다 레일리 수 기준이 갖는 주된 장점이다.

토라비 래드 외 연구진은 강철 합금의 경우 임계 레일리 수가 17이라는 것을 보여주었다.^[8] 피커링 외 연구진은 토라비 라드의 기준을 탐구하고, 그 효과를 더욱 검증했다. 납-틴 및 니켈 기반 슈퍼 알로이의 임계 Rayleigh 수치도 개발되었다.^[9]

다공성 매체

위의 레일리 번호는 공기나 물과 같은 벌크액에서 대류를 위한 것이지만, 대류는 액체가 내부에 있고 물에 포화된 다공성 암석과 같은 다공성 매체를 채울 때도 발생할 수 있다.^[10] 그러면 레일리-다시 번호라고도 불리는 레일리 번호는 다르다. In a bulk fluid, i.e., not in a porous medium, from the Stokes equation, the falling speed of a domain of size ${\displaystyle l}$ of liquid ${\displaystyle u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta }$. In porous medium, this expression is replaced by that from Darcy's law ${\displaystyle u\sim \Del$$ta \rho kg/\eta$ $\}($$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 포함) 다공성 매체의 투과성$$. 그러면 레일리 또는 레일리-다시 번호는

${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\rho \beta \Delta Tklg}{\eta \alpha }}}}$

이것은 고체화 합금의 흐릿한 구역에 있는 A-세그리게이트에도 적용된다.^[11]

지구물리학적 응용

지구물리학에서, 레일리 숫자는 근본적으로 중요하다: 그것은 지구의 맨틀과 같은 유동체 내에서 대류의 존재와 강도를 나타낸다. 맨틀은 지질학적 시간 척도를 넘는 액체 역할을 하는 고체다. 내부 가열만으로 인한 지구의 맨틀에 대한 Rayleigh 번호는 다음과_H 같다.

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{H}={\frac {g\rho_{0}^{2}\베타 HD^{5}{\eta \alpha k}}}}}$

여기서:

H는 단위 질량당 복사열 생성 비율이다.

η은 동적 점도

k는 열전도율이다.

D는 맨틀의 깊이다.^[12]

중심에서_T 맨틀의 바닥 난방을 위한 Rayleigh 번호도 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{T}={\frac {\rho_{0}g\\{0^}g\\Delta T_{sa}D^{3}C_{P}{\eta k}}}}}}}}}}}}}$

여기서:

ΔT는_sa 기준 맨틀 온도와 노심-망틀 경계 사이의 초방사능 온도 차이다.

C는_P 일정한 압력에서의 특정 열 용량이다.^[12]

지구의 맨틀에 대한 높은 값은 지구 내부의 대류가 활발하고 시간 변동을 일으키며, 대류가 깊은 내부로부터 표면으로 전달되는 거의 모든 열을 담당한다는 것을 나타낸다.

참고 항목

• 숫자의 그라쇼프
• 프랜들 수
• 레이놀즈 수
• 페클레 수
• 누셀트 수
• 레일리-베나르 대류

메모들

참조

• Turcotte, D.; Schubert, G. (2002). Geodynamics (2nd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66186-7.

외부 링크

• 레일리 번호 계산기