분리형 다항식

수학에서 주어진 필드 K에 대한 다항식 P(X)는 K의 대수적 폐쇄에서 그 뿌리가 구별되는 경우, 즉 구별되는 뿌리의 수가 다항식의 정도와 동일하면 분리가 가능하다.^[1]

이 개념은 사각형 없는 다항식과 밀접한 관련이 있다.K가 완벽한 분야라면 두 개념은 일치한다.일반적으로 P(X)는 K를 포함하는 어떤 분야보다 사각형이 없는 경우에만 분리가 가능하며, P(X)가 형식 파생상품 D(X)에 복사될 경우에만 분리가 가능하다.

이전 정의

기존 정의에서 P(X)는 K[X]의 각 수정 불가능한 요소가 현대 정의에서 분리 가능한 경우 분리 가능한 것으로 간주되었다.^[2]이 정의에서 분리 가능성은 필드 K에 따라 달라졌는데, 예를 들어, 완벽한 필드에 대한 모든 다항식은 분리 가능한 것으로 간주되었을 것이다.이 정의는 갈루아 이론에는 편리할 수 있지만 더 이상 사용되지 않는다.

구분 가능한 필드 확장자

분리 가능한 다항식은 분리 가능한 확장을 정의하는데 사용된다: 필드 확장자 K ⊂ L은 K에 대해 대수학인 모든 α l L에 대해 최소 다항식이 분리 가능한 다항식인 경우에만 분리 가능한 확장이다.

분리할 수 없는 확장(즉, 분리할 수 없는 확장)은 특성 p에서만 발생할 수 있다.

위의 기준은 P가 되돌릴 수 없고 분리할 수 없는 경우 D P(X) = 0이라는 빠른 결론으로 이어진다. 따라서 우리는 다음과 같은 결과를 얻어야 한다.

P(X) = Q(X^p)

프라임 번호 p가 특징인 K에 대한 일부 다항식 Q의 경우.

이 단서로 예를 구성할 수 있다.

P(X) = X^p − T

K와 함께 p 원소가 있는 유한장 위에 불확정 T에 있는 합리적 기능의 필드.여기서 P(X)는 수정할 수 없고 분리할 수 없다는 것을 직접 증명할 수 있다.이것은 사실 비분리성이 왜 중요한지를 보여주는 전형적인 예다; 기하학적 용어로 P는 p번째 힘에 대한 좌표를 취하면서 유한한 영역에 걸친 투영 선에 대한 매핑을 나타낸다.그러한 매핑은 유한장의 대수적 기하학적 기하학의 기본이다.다른 방법으로 말하면, 갈루아 이론으로는 '볼 수 없는' 그 배경에는 커버가 있다. (더 높은 수준의 논의를 위해서는 급진적인 형태론을 참조하라.)

L이 필드 확장자인 경우

K(T^1/p),

즉, P의 분할장, 즉 L/K는 순수하게 분리할 수 없는 필드 확장의 예다.정도 p이지만 T가^1/p P의 고유한 뿌리이기 때문에 정체성 외에 K를 고정하는 자동형성은 없다.이것은 갈루아 이론이 여기서 반드시 무너져야 한다는 것을 직접적으로 보여준다.그러한 확장이 없는 분야를 퍼펙트라고 한다.유한한 장이 완벽하다는 것은 그들의 알려진 구조에서 후방을 따른다.

이 예에서 L 필드의 텐서 산물이 K를 넘어섰다는 것은 0이 아닌 영(0)이 아닌 영점 원소를 가지고 있다.이것은 분리불능의 또 다른 표현이다: 즉, 필드에서 텐서 제품 작동은 필드의 산물인 링을 생산할 필요가 없다(따라서, 역행적 반실행 링이 아니다).

P(x)가 분리가 가능하고 그 뿌리가 그룹(K 필드의 하위 그룹)을 형성하는 경우 P(x)는 가법 다항식이다.

갈루아 이론의 적용

분리 가능한 다항식은 갈루아 이론에서 자주 발생한다.

예를 들어, P는 정수 계수를 가진 수정 불가능한 다항식이고 p는 P의 선행 계수를 나누지 않는 소수일 것이다.Q는 P의 계수를 감소시킴으로써 얻은 p 요소를 가진 유한한 장에 대한 다항식이 되도록 한다.그런 다음 Q가 분리될 수 있는 경우(한정수를 제외한 모든 p에 해당) Q의 수정 불가능한 인자의 정도는 P의 갈루아 그룹의 일부 순열의 주기 길이이다.

또 다른 예: P가 위와 같은 경우, 그룹 G에 대한 분해능 R은 P의 계수에 있는 다항식인 다항식으로서 P의 갈루아 그룹에 대한 약간의 정보를 제공한다.보다 정확히 말하면, R이 분리 가능하고 합리적인 근원을 가지고 있다면 P의 갈루아 집단은 G에 포함되어 있다.예를 들어 D가 P의 판별인 경우 X ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X^{2}-D}$는 교대 그룹에 대한 분해물이다.P가 환원 불가능한 경우 이 분해제는 항상 분리할 수 있지만(2가 아닌 것으로 가정) 대부분의 분해제는 항상 분리할 수 있는 것은 아니다.

참고 항목

• 프로베니우스 내형성

참조

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