시에르피에스키 수

$숫자{\displaystyle }$ 이론에서 시에르피에스키 숫자는 k ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {2n}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ $[\displaystyle k\times$ 2$^{n}+1}$가 모든 자연수 n에 대해 복합적인 숫자인$$ 홀수 자연수 k이다. 1960년에 와카와프 시에르피에스키에는 이 속성을 가진 기묘한 정수 k가 무한히 많다는 것을 증명했다.

즉, k가 시에르피에스키 숫자일 때, 다음 세트의 모든 멤버는 합성이다.

$\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}+1:n\in \mathb {N} \,\right\}.}$

형식이 대신 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {2n}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\times 2^{n}-1$인 경우 k는 리젤 번호다.

알려진 시에르피에스키 수

현재 알려진 시에르피에스키 숫자의 순서는 다음과 같이 시작한다.

78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, 1259779, 1290677, 1518781, 1624097, 1639459, 1777613, 2131043, 2131099, 2191531, 2510177, 2541601, 2576089, 2931767, 2931991, ... (sequence A076336 in the OEIS).

78557이라는 숫자는 1962년 존 셀프리지에 의해 시에르피에스키 번호로 증명되었는데, 그는 7855772ⁿ + 1 형식의 모든 숫자가 커버 세트 {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}에 인자가 있음을 보여주었다. 또 다른 알려진 시에르피에스키 번호 271129의 경우 커버링 세트는 {3, 5, 7, 13, 17, 241}이다. 현재 알려진 대부분의 시에르피에스키 번호는 유사한 커버 세트를 가지고 있다.^[1]

그러나 1995년 A. S. 이조토프는 n의 모든 값에 대한 커버 세트를 설정하지 않고도 일부 4강력이 시에르피에스키 숫자로 증명될 수 있다는 것을 보여주었다. 그의 증거는 오리페우유유란 인자화 t⁴ t2^4m+2 + 1 = (tt2^22m+1 + t⋅2^m+1 + 1) 1(t²⋅2^2m+1 - t⋅2^m+1 + 1)⋅에 따라 달라진다. 이로써 모든 n ≡ 2 (mod 4)가 복합체를 발생시키게 되며, 따라서 피복 세트를 사용하여 n 0 0, 1, 3 (mod 4)만 제거해야 한다.^[2]

시에르피에스키 문제

시에르피에스키 문제는 가장 작은 시에르피에스키 숫자의 값을 요구한다. Paul Erdős와의 사적인 서신에서 셀프리지에서는 78,557명이 가장 작은 시에르피에스키 수라고 추측했다.^[3] 더 작은 시어피에스키의 숫자는 발견되지 않았으며, 현재 7만8557명이 가장 적은 숫자로 여겨진다.^[4]

78,557이 정말로 가장 작은 시에르피에스키 수라는 것을 보여주기 위해서는 78,557보다 작은 홀수들이 모두 시에르피에스키 숫자가 아님을 보여줘야 한다. 즉, 78,557 미만의 모든 홀수 k에 대해 k2ⁿ + 1이 prime인 양의 정수 n이 있어야 한다.^[1] 2021년^[update] 12월 현재, 가능한 시에르피에스키 수만큼 탈락하지 않은 후보는 5명뿐이다.^[5]

k = 21181, 22699, 24737, 55459, 67607.

분산된 자원봉사 컴퓨팅 프로젝트 프라임그리드(PrimeGrid)는 k의 나머지 가치를 모두 제거하려고 시도하고 있다. 2021년^[update] 12월 현재, 이러한 k 값에 대한 prime은 발견되지 않았으며, 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 36}$ ${\displaystyle 902}$ $[\displaystyle n\leq 36\,902\,494}$이(가) 제거되었다$$.^[6]

가장 최근에 탈락한 후보는 k = 10223으로 2016년 10월 프라임그리드(PrimeGrid)에 의해 프라임 ${\displaystyle 10223}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {31172165}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10223\times$ 2$^{3172165}+1}$이 발견되었다$$. 이 숫자는 9383,761자리 숫자다.^[5]

프라임 시에르피에스키 문제

1976년, Nathan Mendelson은 두 번째로 증명할 수 있는 시에르피에스키의 숫자가 prime k = 271129라고 결정했다. 원시 시에르피에스키 문제는 가장 작은 시어피에르피에스키 수의 가치를 요구하고 있으며, 271129가 역시 프라임인 시어피에스키의 첫 번째 수라는 것을 증명하려는 "프라임 시에르피에르피에스키 검색"이 진행되고 있다. 2018년^[update] 11월 현재 k2ⁿ + 1 형식의 prime을 알 수 없는 271129 미만의 prime 값 9개는 다음과 같다.^[7]

k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019.

2021년^[update] 12월 현재 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 26}$ ${\displaystyle 736}$ $[\displaystyle n\leq 26\736\,459}$의 k 값에 대한 프라임이 발견되지 않았다$.$^[8]

처음 두 건은 78557건에 못 미치는 것도 위에서 설명한 (비우량) 시에르피에스키 문제의 미해결 사례들이다. 가장 최근에 탈락한 후보는 k = ${\displaystyle 168451}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {19375200}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 168451\times 2^{19375200}+1$}이$($가) 2017년 9월 프라임그리드(PrimeGrid)에 의해 발견되었다$$. 숫자는 5,832,522자리 숫자다.^[9]

확장된 시에르피에스키 문제

78557이 가장 작은 시에르피에스키 수이고 271129가 가장 작은 시에르피에스키 수라는 것을 보여주면서 이전의 두 시에르피에스키 문제가 마침내 해결되었다고 가정해보자. 이것은 두 번째 시에르핀스키 숫자의 문제를 여전히 풀지 못하고 있다; < k< $<\디스플레이$ 스타일 $78557 <271129>$와 같은 복합 시에르피에스키 숫자 k가 존재할 수 있다 현재 진행중인 검색은 78557과 271129 사이의 모든 k 값을 시험함으로써 271129가 두 번째 시에르피에스키 숫자라는 것을 증명하려고 하고 있다.

제시된 세 가지 문제 중 가장 까다로운 문제인 연장된 시에르피에스키 문제를 해결하려면 남은 21명의 후보 < $[\displaystyle k<271129}$를 제거해야 하는데 이 중 9명이 프라임(위 참조), 12명이 복합적이다. 후자에는 원래 시에르피에스키 문제의 k = 21181, 24737, 55459가 포함된다. 2021년^[update] 12월 현재 연장된 시에르피에스키 문제 특유의 다음과 같은 8가지 k 값이 남아 있다.^[10]

k = 91549, 131179, 163187, 200749, 209611, 227723, 229673, 238411.

2021년^[update] 12월 현재 n${\displaystyle }n{\displaystyle }$ ${\displaystyle 21}$ ${\displaystyle 458}$ $[\displaystyle n\leq 21\,458\,090}$의 k 값에 대한 프라임이 발견되지 않았다$.$^[11]

2019년 12월 프라임그리드에서는 ${\displaystyle 99739}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 14019102{}^{}}$+ 1 ${\displaystyle 99739\times 2^{14019102}+1}$가 프라임그리드(PrimeGrid)에 의해 프라임이 확인되어$$ k = 99739가 제거되었다. 숫자는 4,220,176자리 숫자다.^[12]

가장 최근의 제거는 2021년 12월이었는데, 그 때 ${\displaystyle 202705}$ ${\displaystyle \times }$ 2 ${\displaystyle {21320516}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 202705\times$ 2$^{21320516}+1}$가 프라임그리드(PrimeGrid)에 의해 프라임이 확인되어$$ k = 202705가 제거되었다. 숫자는 6,418,121자리 숫자다.

동시 에르피에스키와 리젤

숫자는 시에르피에스키와 리젤일 수 있다. 이것을 브리어 넘버라고 한다. 알려진 가장 작은 다섯 가지 예는 33169235980964713661, 1043967989637276373, 11615103277955704975373, 12607110588851953787, 178550657007596110949, ...(A076335)이다.^[13]

이중 시어핀스키 문제

만약이 되기 위해서 음의 정수, 다음 번호 k2n+1n을 되2n+k2n{\displaystyle{\frac{2^{n}+k}{2^{n}}}}. 줄어든 형태로 분자 2n+ 때 k이상한 이것은 일부 k. 이중 시에르 핀스키 수가 이상한 자연수 k로 정의된다는 2n+k모든 자연에 복합한다.나는 numbers n. 이러한 숫자의 집합이 시에르핀스키 숫자의 집합과 동일하다는 추측이 있다. 예를 들어, 2ⁿ + 78557은 모든 자연수 n에 대해 복합적이다.^{[citation needed]}

k의 홀수 값에 대해 2ⁿ + k가 prime인 최소 n은 다음과 같다.

1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, ... (OEIS의 경우 순서 A067760)

모든 n < k에 대해 2ⁿ + k가 복합적인 k의 홀수 값은

773, 2131, 2491, 4491, 4471, 5101, 7013, 8543, 10711, 14717, 1781, 19249, 20273, 21661, 22193, 26213, 28433, …(OEIS의 후속 A033919)

참고 항목

• 컬렌 수
• 프로트 수
• 리젤 수
• 세븐틴 또는 버스트
• 우달수

참조

추가 읽기

• Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, New York: Springer-Verlag, p. 120, ISBN 0-387-20860-7

외부 링크

• Sierpinski 문제: 정의와 상태
• Weisstein, Eric W. "Sierpinski's composite number theorem". MathWorld.
• Ghostarchive 및 Wayback Machine에 보관: