정사각형 피라미드수

정사각형 피라미드 숫자 1 + 4 + 9 + 16 = 30의 기하학적 표현입니다.

수학에서, 피라미드 수, 즉 정사각형 피라미드 수는 정사각형 밑면을 가진 피라미드 안에 쌓인 구의 수를 세는 자연수이다.이 숫자에 대한 연구는 아르키메데스와 피보나찌로 거슬러 올라간다.그것들은 다양한 모양에서 규칙적인 패턴을 형성하는 점의 수를 나타내는 피규어 숫자의 광범위한 토픽의 일부이다.

피라미드 내의 구를 셀 뿐만 아니라, 이러한 숫자는 대수적으로 $첫$ 번째n개의 \ $displaystyle$ n개의 $n$ 양의 제곱수의 합계 또는 입방 다항식의 값으로 설명할 수 있습니다.정사각형 그리드의 정사각형 수 및 홀수 정다각형의 정점으로 형성된 예각 삼각형 수 등 여러 가지 계수 문제를 해결하기 위해 사용할 수 있습니다.이들은 연속된 사면체 숫자의 합계와 같으며 더 큰 사면체 숫자의 1/4입니다.두 개의 연속된 정사각형 피라미드 숫자의 합은 8면수이다.

역사

피라미드 숫자는 니코마코스, 스미르나의 테온, 그리고 이암블리코스의 ^[1]작품에서 그리스 수학에서 연구된 몇 안 되는 3차원 도형수 중 하나였다.제곱 피라미드 수인 제곱 다항식을 주는 연속 제곱합 공식은 아르키메데스에 의해 주어졌는데, 아르키메데스는 원뿔 ^[2]부피의 연구의 일부로 이 합을 사용했고, 피보나치에 의해 ^[3]제곱 수열의 합을 구하는 문제에 대한 보다 일반적인 해결책의 일부로 제공되었습니다.정사각형 피라미드 숫자는 와산 시대의 일본 수학자들이 연구한 조각수 족 중 하나이며, 그들은 그것들을 "기레이 사이조 스이다"^[4]라고 명명했다.

사각형 피라미드의 대포알을 세는 것과 같은 문제가 월터 롤리에 의해 1500년대 후반에 수학자 토마스 해리오트에게 제기되었고, 둘 다 항해 중이었다.1과 4900 이외의 정사각형 피라미드수가 있는지를 묻는 포탄 문제는 이 교환에서 발전했다고 한다.에두아르 루카스는 4천9백 개의 공 피라미드를 발견했고, 대포알 문제를 더 널리 알려지게 하면서, 그것이 유일하게 중요하지 않은 ^[5]해결책이라고 제안했다.루카스와 클로드-세라핀 모레-블랑의 불완전한 증명 후에,^[6] 그러한 숫자들이 존재하지 않는다는 최초의 완전한 증거는 1918년 G. N. 왓슨에 의해 제시되었다.

공식

n개의 스텝이

있는

정사각형 피라미드의 6개의 복사본이

크기

n

(n +

1)(

2n + 1

)의 큐보이드 안에 들어갈 수 있습니다.

구가 층수가 1, 2, 3인 정사각형 피라미드로 채워진 경우, 각 피라미드의 구 수를 나타내는 정사각형 피라미드 ^[7]^[8]수는 다음과 같습니다.

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, ...

이 숫자들은 다음과 같이 대수적으로 계산할 수 있다.피라미드의 구를 정사각형 층으로 분해하면 각 사각형 내의 구 $P_{n}$ $({$ P_ ${n$ })을 $P_{n}$ 합계로 계산할 수 있다.

P_{n}=\sum _{k=1}^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2

그리고 이 합계를 풀어 입방 다항식을 만들 수 있으며, 이는 여러 가지 동등한 방법으로 쓸 수 있다.

P_{n}=param frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}=snfrac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}=flac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.

제곱합에 대한 이 방정식은 파울하버의 제곱합 공식의 특별한 경우이며, 수학적 ^[9]귀납법에 의해 증명될 수 있습니다.

보다 일반적으로, 피규어 숫자는 특정 모양 내에서 규칙적인 패턴으로 배열된 기하학적 점의 수를 세는 것입니다.피라미드 형태의 구에서 구체의 중심은 이러한 패턴 중 하나를 형성하지만, 많은 다른 형태의 피규어 숫자의 경우 점을 ^[8]구체의 중심이라고 생각하는 것은 이치에 맞지 않습니다.현대 수학에서, 정수 다면체에서 점을 세는 것과 관련된 문제는 에하트 다항식으로 공식화된다.이는 Ehrhart 다항식의 경우, 점들은 항상 문제의 모양에 더 세심하게 맞는 배열이 아닌 정수 격자로 배열되며, 점들이 꼭지점으로 격자 점을 가진 다면체라는 점에서 피규어 숫자와 다릅니다.구체적으로는 정수 $다면체$ P의 Ehrhart $다항식 L (P,$ t)은 모든 좌표에 $숫자$ t를 곱하여 확장되는 $P$ 의 복사본의 정수점 수를 세는 다항식이다.단위 정사각형을 베이스로 하는 정사각형 피라미드의 일반적인 대칭 형태는 정수 다면체가 아니다. 왜냐하면 피라미드의 꼭대기 점인 정점이 정수점이 아니기 때문이다.대신 Ehrhart 다항식은 단위 사각기저를 갖는 비대칭 사각형 $피라미드$ P에 적용할 수 있으며, 단위 사각기저를 갖는 정점은 기준면 위의 정수점 1 단위일 수 있다.P의 이 선택에 대해서는 피라미드의, Ehrhart 다항식은.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-.Parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆮ(t+1)(t+2)(2t+3)/6)Pt+1.[10].

기하학적 열거

4×4 그리드의 30개 정사각형 모두

피라미드의 구를 셀 뿐만 아니라, 이 숫자들은 다른 몇 가지 계수 문제를 푸는 데 사용될 수 있다.예를 들어, 일반적인 수학 퍼즐은 큰 $n$ $x$ n 정사각형 ^[11]격자에서 정사각형의 수를 찾는 것을 포함합니다.이 번호는 다음과 같이 얻을 수 있습니다.

그리드에서 발견된 1 × 1 정사각형의 수는 $n$ 입니다².
그리드에서 발견된 2 × 2 정사각형의 수는( $n$ - $1) 2$ 입니다.이 값은 2 × 2 정사각형의 왼쪽 상단 모서리를 모두 세어 계산할 수 있습니다.
그리드에서 발견된 $k$ × k $제곱$ 의수(1 $µ$ k $k$ $n)$ 는 ( $n$ $- k$ + $1) 2$ 이다.이는 k × $k$ 정사각형의 가능한 $모든$ 왼쪽 상단 모서리를 세어 계산할 수 있다.

$따라서$ n × $n$ 정사각형 그리드의 제곱 수는 다음과 같다.^[12]

{{displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots=subscfrac {n(n+1)(2n+1)}{6}.}

즉, 퍼즐의 해답은 n번째 정사각형 피라미드 수로 ^[7]주어진다.사각 그리드의 직사각형 수는 삼각수 ^[13]제곱으로 표시됩니다.

정사각형 피라미드 $P_{n}$ $P_{n}$ n {\ $style P_{$ n $P_{n}$ }은 $(2n+1)$ ( $(2n+1)$ + $(2n+1)$ ) $\displaystyle (2n$ + 1 $)$ \side $(2n+1)$ 정다각형의 정점으로 형성된 예각 삼각형의 수도 계산합니다.예를 들어, 정삼각형은 하나의 예각 삼각형만을 포함하고, 정삼각형은 그 안에 5개의 예각 황금색 삼각형을 가지고 있고, 정삼각형은 두 개의 모양을 가진 14개의 예각 삼각형을 가지고 있다.^[7]보다 추상적으로 행렬의 행 또는 열의 순열을 동등하다고 간주할 때, n ${\displaystyle$ n}의 홀수 값에 대해 $n$ {\ $displaystyle$ n $n$ 의 비음수 정수 계수를 합한 $2\times 2$ 2 × $2\times 2$ { $displaystyle$ 2 $\times$ 2} 행렬의 $2\times 2$ $2\times 2$ 는 정사각형 피라미드 ^[14]수이다.

다른 수치와의 관계

영국의 Rye Castle에 있는 네모난 대포알 피라미드

4천900개의 공은 변 24개의 정사각형 피라미드와 변 70개의 정사각형으로 배열되어 있다.

대포알 문제는 정사각형 배열 또는 그에 상응하는 정사각형 피라미드 숫자를 형성하기 위해 펼쳐질 수 있는 대포알 피라미드의 크기를 요구합니다.1 외에 이 속성을 가진 숫자는 단 하나뿐입니다: 4900은 70번째 제곱수와 24번째 제곱 피라미드 ^[6]숫자입니다.

정사각형 피라미드 수는 이항 ^[15]^[16]계수의 합으로 표시할 수 있습니다.

P_{n}=binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.

이 표현에서 발생하는 이항계수는 사면체수이며, 이 공식은 정사각형 피라미드수를 정사각형 숫자의 합과 같은 방법으로 정사각형 숫자의 ^[8]^[15]합으로 표현한다.사면체가 면 중 하나에 반사되면 두 복사본이 삼각형 이면체를 형성합니다.정사각형 피라미드 수는 삼각형 2각형의 도형수이기도 하며, 이 공식은 정사각형 피라미드 수와 삼각형 2각형의 ^[7]숫자 사이의 등식으로 해석될 수 있다.이와 유사하게, 정사각형 피라미드를 밑면에 걸쳐 반사하면 팔면체가 생성되고, 그 결과 각 팔면체 수는 연속된 두 정사각형 피라미드 ^[17]숫자의 합이 됩니다.

정사각형 피라미드 수는 또한 다른 방식으로 사면체 숫자와 관련이 있습니다: 같은 정사각형 피라미드의 4개 복사본에서 나온 점들은 각 모서리를 따라 두 배 더 많은 점들이 있는 단일 사면체를 형성하기 위해 재배치될 수 있습니다.즉,^[18]

4P_{n}=Te_{2n}=binom {2n+2}{3}}.

이를 보기 위해 각 층이 이전 층 바로 위에 오도록 각 사각 피라미드를 배열하십시오. 예를 들어 높이가 다음과 같습니다.

4321 3321 2221 1111

그 중 4개를 $높이$ 4개의 필러로 연결하여 $4,16,36,\dots$ 4, $4,16,36,\dots$ $…(\display style$ 4, $16,36,\dots$ 으로 균일한 정사각형 피라미드를 만들 수 있습니다.

각 레이어는 연속된 삼각형 번호의 합계입니다 $(1+3),(6+10),(15+21),\dots$ , $(1+3),(6+10),(15+21),\dots$ + $(1+3),(6+10),(15+21),\dots$ 3 $(1+3),(6+10),(15+21),\dots$ $(1+3),(6+10),(15+21),\dots$ $(1+3),(6+10),(15+21),\dots$ $(1+3),(6+10),(15+21),\dots$ $(1+3),(6+10),(15+21),\dots$ + 21 $(1+3),(6+10),(15+21),\dots$ $...(\displaystyle (1$ + 3 $),$ ( $6$ + $10), (15$ + 21 $),$ \ $dots$ 입니다.합계하면 사면체 번호가 됩니다.

기타 속성

정사각형 피라미드 수를 분모로 하는 단위 분율들의 교대로 배열되는 것은 더 빨리 수렴하지만 $θ$ 에 대한 라이프니츠 공식과 밀접한 관련이 있다.그 이유는 다음과 같습니다.^[19]

{displaystyle} \sum _{i=1}^{i-1} {\frac {P_{i}} \&=1 - {\frac {1} {5} + {\frac {1} {14} - {\frac {1} {30} + {\frac {\frac} {{frac} {{{frac}} {frac}}\\\end {aligned}

근사 이론에서, 홀수 수열, 홀수(제곱수), 제곱수(제곱 피라미드 수) 등은 체비셰프 근사치를 다항식으로 ^[20]변환하는 방법에서 계수를 형성한다.

레퍼런스

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외부 링크

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