심플렉틱 다지관

수학의 주제인 미분 기하학에서, 공감각 다지관은 부드러운 다지관, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이며$,$ 폐쇄된 비감산 미분 2-폼 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$을(를) 갖추고 있는데$,$ 이것은 공감각형이라고 불린다. 공감각 다지관의 연구는 공감각 기하학 또는 공감각 위상이라고 불린다. 복합 다지관은 다지관의 등각 묶음으로서 고전 역학과 분석 역학의 추상적 형태에서 자연적으로 발생한다. 예를 들어, 분야에 대한 주요한 동기 중 하나를 제공하는 고전역학의 해밀턴식 공식에서, 시스템의 가능한 모든 구성의 집합은 다지관으로 모델링되며, 이 다지관의 코탄젠트 번들은 시스템의 위상 공간을 설명한다.

동기

공감각 다지관은 고전적인 역학에서 비롯된다. 특히, 그것들은 폐쇄된 시스템의 위상 공간의 일반화다.^[1] 같은 방법으로 해밀턴 방정식 미분 방정식 집합 중에서 시스템의 시간 진화를 도출하기 위해 허용하면, 그symplectic 하나 계통의 차등 dH에서 해밀턴 함수 H.[2]의 흐름에 대한 벡터장을 얻기 위해 그래서 우리는 TM접선 매니폴드 TMt.까지 T∗M → 선형 사상이 필요할 수 있어야 한다그 TM^∗ element TM의^∗ 한 요소 또는 이와 동등하게, Cotangent 매니폴드^∗ TM. 하면 ω는 ωnon-degenerate을 보장하는 모든 미분 dH에 있T∗M ⊗ T∗M, 요건의 영역을 나타내다 독특한 상응하는 벡터장 브이 에이치가 dH)ω(브이 에이치, ·). 이후 바라는 Hamiltonian가 되기 일정을 따라 흐름 선과야 된다 하dH(가상의 포옹))ω(브이 에이치, 가상의 포옹)=0이며, 이는 의미를 내포하고 그 ω은 교류이므로 a 2-form마지막으로, 흐름 라인에서 Ω이 변경되지 않아야 한다는 요구, 즉 V를_H 따라 Ω의 Lie 파생 모델이 사라져야 한다는 요구 사항을 제시한다. Cartan의 공식을 적용하면 다음과 같다($여기$서 ${\displaystyle X_{}}$ ${\$는 인테리어 제품:

${\displaystyle {\mathcal{L}_{V_{H}(\omega )=0\;\좌우 이동 \\mathrm {d}(\iota _{V_{{{})H}}\omega )+\iota _{V_{{{{}H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d}\,H)+\mathrm {d} \omega(V_{H})=\mathrm {d} \omega(V_{H})=0}$

따라서 인수가 적용되는 각 지점에서 해당 V H ${\$ V_${H}$가 접선 공간에 걸쳐$$ 있도록$$ 다른 부드러운 $함수{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$에 대해 이 인수를 반복하면 V ${\displaystyle H_{}}$ ${\$의 흐름을 따라 사라지는 Lie 파생 모델에 대한 요구사항을 확인할 수 있다.임의의 평활 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H$}에$$ $해당$하는 H$}}$은(는) Ω을 닫아야 한다는 요건에 해당한다.

정의

매끄러운 다양체 M{M\displaystyle}에 관한symplectic 형태는 닫힌non-degenerate는 미분2-formω{\displaystyle \omega}.[3][4]여기,non-degenerate은 모둔 점이 p∈ M{\displaystylep\in M}, 접선 공간 TpM{\displaystyle T_{p}M}ω{에 의해 정의한는 비대칭의 짝 짓기를 의미한다.\displ$aystyle \omega }$은(는) 비염기성이다. That is to say, if there exists an ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ such that ${\displaystyle \omega (X,Y)=0}$ for all ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$, then ${\displaystyle X=0}$. Since in odd dimensions, skew-symmetric matrices are always singular, the requirement that ${$$\displaystyle \omega}$은(는) $비degenerate$로 M ${\displaystyle$ M$}$에 짝수 치수가 있음을$$ 의미한다.^[3][4] 폐쇄 조건은 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$의 외부 파생 모델이 사라짐을$$ 의미한다. 공감각 다지관은 쌍$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (M,\omega )}$이며 여기서$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 부드러운 다지관이고 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은 공감각형이다. $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 공통적인 양식을 할당하는 것을 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에게 공통적인 구조를 부여하는 것을 가리킨다$$.

예

공선 벡터 공간

$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{v_{1},\ldots, v_{2n}\}}}$을(를) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$. ${\displaystyle \mathb {R} ^{2n}$의 기본이 되게$$ 하라.$}$ 이 근거로 우리는 다음과$$ 같이 우리의 공감대 형식 Ω을 정의한다.

${\displaystyle \omega(v_{i},v_{j}}={\case}1&j-i=n{\text{{}, }:{1}, }, }, }, }\leqslant i\leqslant n\\0&},{case{case}}}}}}}}}$

이 경우, 동정적 형태는 단순한 이차적 형태로 감소한다. 내가_n n × n ID 매트릭스를 나타내는 경우, 이 2차 형태의 매트릭스 Ω은 2n × 2n 블록 매트릭스에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Oomega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

코탄젠트 번들

$Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$을(를) $차원{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$의 부드러운 다지관으로 두십시오$$$.$ 그러면 코탄젠트 번들 $T{\displaystyle {}^{}}$ Q ${\displaystyle$ T$^{*}Q}$의 총 공간은 푸앵카레 2형식 또는 표준적인 공통형식이라고 하는 자연적인 공감형 형태를 갖는다$$.

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{ndp_{i}\dq^{i}}}$

Here ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}$ are any local coordinates on ${\displaystyle Q}$ and ${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}$ are fibrewise coordinates with respect to the cotangent vectors ${\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}}$. Cot각도 묶음은 고전 역학의 자연스러운 위상 공간이다. 상·하위 지수를 구분하는 지점은 리만 다지관의 경우와 마찬가지로 미터법 텐서(metric tensor)를 갖는 다지관의 경우에 의해 추진된다. 상한 및 하한 인덱스는 좌표 프레임의 변경에 따라 대칭 및 공변적으로 변환된다. "코탄젠트 벡터에 대한 좌표 이동"이라는 문구는 순간 p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 속도 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle q^{}}$ i ${\$에 "soldered"됨을$$ 전달하기 위한 것이다$.$ 땜납은 속도와 운동량이 모두 같은 방향으로 움직이며, 척도 인자에 의해 다르다는 생각을 표현한 것이다.

칼러 다지관

Kahler 다지관은 호환 가능한 통합형 복합 구조를 갖춘 복합형 다지관이다. 그들은 특정한 종류의 복합 다지관을 형성한다. 많은 종류의 예들은 복잡한 대수 기하학에서 온다. 모든 매끄러운 복잡한 투영 $버라이어티{\displaystyle }$ V ${\displaystyle \subset }$ C ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ V$\subset \mathb {CP}$^n}{$n}}}$은(는) 푸비니의 제한인 공감형 형태를 가지고$$ 있다.—투영 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ C ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대한 연구 양식이 있다.

거의 복합 다지관

Ω ${\displaystyle \omega}$ 호환성이 있는 리만 다지관은 거의 복합 다지관이라고 불린다. 그들은 통합될 필요가 없다는 점에서 Kahler 다지관을 일반화한다. 즉, 다지관의 복잡한 구조에서 반드시 발생하는 것은 아니다.

라그랑비아와 다른 하위마니폴즈

$복합$ 다지관$M$,$Ω$)의 하위매니폴드에는 다음과 같은 몇 가지 자연 기하학적 개념이 있다$.$

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}($잠재적으로 짝수 치수의)의 simplexic submanifolds ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \subset }$ $\$ M {\$displaystyle S\subset$ M$}$이(가) $하위{\displaystyle }$ manifoldS {\\$displaysty S$에$$있는$$ ${\displaystyle {}_{}}$ S ${\\\$displaystystystym.

• 등방성 서브매니폴드는 동일성 형태가 0으로 제한되는 서브매니폴드, 즉 각 접선 공간은 주변 다지관의 접선 공간의 등방성 서브공간이다. 마찬가지로 서브매니폴드에 대한 각 접선 아공간이 등방성(등방성 아공간 이중)인 경우, 서브매니폴드를 공동이방성이라고 한다.

• Lagrangian submanifolds of a symplectic manifold ${\displaystyle (M,\omega )}$ are submanifolds where the restriction of the symplectic form ${\displaystyle \omega }$ to ${\displaystyle L\subset M}$ is vanishing, i.e. ${\displaystyle \omega _{L}=0}$ and ${\$$displaystyle {\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M$ 라그랑지아 서브매니폴드는 최대 등방성 서브매니폴드다. 물리학에서 라그랑지아 서브마니폴드는 흔히 branes라고 불린다.

등방성 서브매니폴드의 가장 중요한 경우는 라그랑지아 서브매니폴드의 경우다. Lagrangian submanifold는 정의에 따라 최대 치수의 등방성 하위 관리, 즉 주변 동위원소 다지관의 절반 치수를 의미한다. 한 가지 주요한 예는 제품 동일체 다지관(M × M, Ω × -Ω)에 있는 동일체형성의 그래프가 라그랑지안이라는 것이다. 그들의 교차로들은 부드러운 다지관이 소유하지 않은 강성 특성을 보여준다; 아놀드 추측은 부드러운 경우에서 오일러 특성이 아닌, 부드러운 라그랑지아 하위 교차로들의 자기 교차로 수에 대한 하한으로 하위 교차로들의 베티 숫자의 합을 제공한다.

예

Let ${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$ have global coordinates labelled ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).$$}}$ 그러면$$ R ${\displaystyle {}_{}^{}}$, y ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}^{}}$ ${\$을(를) 표준적인 공통점 형태로 장착할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {d}x_{1}\mathrm {d} y_{1}+\cdots +\mathrm {d}x_{n}\mathrm {d}\mathrm {d} y_{n}.}$

$R{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$, ${\displaystyle {y\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}^{}}$ ${\$\mathb {}}{}}}}}}}}}}}}}:{$n}}}}}}}}$n$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$ The form ${\displaystyle \omega }$ vanishes on ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}}$ because given any pair of tangent vectors ${\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},$$Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},}$ we have that ${\displaystyle \omega (X,Y)=0.}$ To elucidate, consider the case ${\displaystyle n=1}$. Then, ${\displaystyle X=f(x)\partial _{x},Y=g(x)\partial _{x},}$ and ${\displaystyle \omega =\$$mathrm {d} x\wedge \mathrm {d}$ y$.}$이(가) 확장될 때 주의하십시오$$.

${\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))}$

두 용어 모두 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle y({\mathrm{}}_{}}$∂ ${\displaystyle x_{}}$) ${\dplaystyle \mathrm {d}$ y$(\required _{x})$ 인자가$$ 있으며, 이는 정의상 0이다.

예제: 등고선 번들

다지관의 등각 묶음은 첫 번째 예와 유사한 공간을 기준으로 국소적으로 모델링된다. 이 묶음이 복합적인 다지관을 형성하기 때문에 우리는 이 연골형식을 접착할 수 있다는 것을 보여줄 수 있다. Lagrangian 하위 관리본의 덜 사소한 예는 다지관의 등골다발의 제로 섹션이다. 예를 들어 보자.

${\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathb {R}^{2}:y^{2}-x=0\}$

그러면 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{*}X}$을(를) 로$$ 제시하면 된다.

${\daystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathb {R}^4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrmethrm {d} x=0\}}}}}}}}}}$

여기서 기호 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle d}$ y ${\daystyle \mathrm$ {$d}$ x$,\mathrm {d} y}$을(를) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 4${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$∗ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$. ${\daystyle \mathb {R} ^{4}=$의 좌표로 처리한다$$.$T^{*}\mathb${$R$$} ^{2}.}$ 좌표 ${\displaystyle d}$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ = 0 ${\daystyle \mathrm {d$$}$ x$=0$} $및{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle d}$ =${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathrmatr {d} y=0}$이$($가) 0 섹션을 제공하는 하위 집합을 고려할 수 있다$$. 이 예는 부드러운 함수 ${\displaystyle {f1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$f ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ 그리고$$ 그 차등 ${\displaystyle {d1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$, ${\displaystyle d}$f ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {dk}_{}}$ ${\displaystyle\mathrm$ {$d}$f_${1},\ldots,df_{k}}$의 소멸 위치에 의해 정의된 모든 다지수에 대해 반복될 수 있다$.$

예제: 파라메트릭 하위 관리본

Consider the canonical space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ with coordinates ${\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$. A parametric submanifold ${\displaystyle L}$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ is one that is paramete좌표$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\cdots }$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle(u_{1},\cdots ,u_{n}})$에 의해 rized됨:

${\displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},\cdots ,u_{n})\cdots p_{i}(u_{1},\cdots ,u_{n})}}$

이 다지관은 라그랑주 브래킷${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [u_{i},u_{j}}}$이(가) 모든 ${\displaystyle i}$, j${\displaystyle }$. ${\displaystyle i,j.}$에 대해$$ 소멸되는 경우 라그랑주 하위 관리인이다.$$ 즉, 라그랑지안이다.

${\displaystyle [u_{i},u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}$

모든 $i{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle j.}$ ${\displaystyle i,j.}$에 대해$$ 이것은 확장으로 볼 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}}$

Lagrangian 하위 관리형 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}$의 $조건$ 접선 다지관 ${\displaystyle T}$ $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle TL}$에서 공통형식이 사라져야 함$.$ 즉, 접선 벡터에 대해 모두 사라져야 함:

${\displaystyle \left({\frac {\databe u_{i}},{\frac {\frac }{\frac }{\frak u_}}}\right)=0}$

$모든{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$${\displaystyle }i$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$,$$j {\$displaystyle i,$j$\}.$ R ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}${\$displaystyle \mathb$ {$R} ^{2n}$:

${\displaystyle \left \frac\{\reft q_{k}}},{\frac }{\flict p_{k}}}}\\mega \refac }{\flict p_{k}}}}}}}}{\frac {\preason }}}}}}}}}}=1}}}오른쪽)}}}$

그리고 다른 모든 것들은 사라진다.

동정적 다지관의 국부 차트가 표준적 형식을 취하듯이, 이 예는 라그랑의 하위 매니폴드가 상대적으로 구속력이 없음을 시사한다. 공감각 다지관의 분류는 플로어 호몰로지(Floer homology)를 통해 이루어진다. — 이것은 라그랑지아 서브매니폴즈 사이의 지도에 대한 작용 기능에 모스 이론을 적용한 것이다. 물리학에서, 그 작용은 물리적 시스템의 시간 진화를 묘사한다. 여기서, 그것은 기의 역학관계에 대한 설명으로 받아들여질 수 있다.

예: 모르스 이론

또 다른 유용한 라그랑지아 서브마니폴드의 계급은 모르스 이론에서 발생한다. Morse 함수 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle M\mathbb{}}$→ R ${\$$M\to \mathbb {R} }$ and for a small enough ${\displaystyle \varepsilon }$ one can construct a Lagrangian submanifold given by the vanishing locus ${\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M}$. For a generic Morse function we have a Lagrangian intersection given by ${\displaystyle M\cap }$${\displaystyle \mathbb{V}}$ (${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{Crit}}$(${\displaystyle f}$) ${\displaystyle M$\cap $\mathb {V}(\varepsilon \cdot \mathrm {d}f)={\text{Crit}(f$

특수 라그랑지아 서브매니폴즈

칼러 다지관(또는 칼라비-)의 경우Yau manifolds) we can make a choice ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}}$ on ${\displaystyle M}$ as a holomorphic n-form, where ${\displaystyle \Omega _{1}}$ is the real part and ${\displaystyle \Omega _{2}}$ imaginary. 위의 Lagrangian 조건 외에 $제한{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}} ~ L$$ ${\displaystyle L}$이(가) 사라지는$$ 경우 Lagrangian 하위 manifold $L{\displaystyle }$ ${\displaysty$ L$}$이(가) 특별하다고 불린다. 즉, $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에서 제한되는 실제 부분 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}는 L$${\$displaystyle$L}에서 볼륨 형식을 이끈다$$$.$ 다음의 예는 특수 라그랑지아 서브매니폴즈라고 알려져 있다.

1. 하이퍼 칼러 다지관의 복잡한 라그랑지아 서브매니폴드,
2. 칼라비-의 실제 구조의 고정점Yau 다지관.

SYZ 추측은 거울 대칭에 있는 특수 라그랑지안 하위매니폴드의 연구를 다룬다. 참조(Hitchin 1999)

라그랑지안 진동

복합 다지관 M의 라그랑지안 교정은 모든 섬유들이 라그랑지안 서브매니폴드인 진동이다. M은 고른 차원이기 때문에 국부좌표(p₁,…p_n, q¹, qⁿ)를 취할 수 있고, 다르부스의 정리로는 적어도 국부적으로는 Ω = ∑ dp_k dq로^k 표기할 수 있는데, 여기서 d는 외부 파생물을 나타내고 ∧은 외부 제품을 나타낸다. 이 형식을 푸앵카레 2형식 또는 정식 2형식이라고 한다. 이$$ 설정을 사용하면 우리는 국소적으로 M을 동탄성 $번들{\displaystyle {}^{}}$ T${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ R${\displaystyle {}^{}}$ ,$${\$displaystyle$ T$^{*}\mathb {R}$^{$n}},$ 라그랑지안 진동을 사소한 $진동{\displaystyle }$ :${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ →${\displaystyle {}^{}{}^{}}$. ${\displaysty \pi :$$T^{*}\mathb {R} ^{n}\to \mathb {R} ^{n}.$$}}$ 이것이$$ 정설화다.

라그랑어 지도

L을 몰입 i : L ↪ K (i를 라그랑어 몰입이라고 한다)에 의해 주어지는 공감각 다지관(K,Ω)의 라그랑어 하위매니폴드가 되게 하라. Let π : K ↠ B 는 라그랑지안 교정을 한다. 합성어 (π ∘ i) : L ↪ K ↠ B는 라그랑어 매핑이다. π i i의 임계치 집합은 가성비라고 한다.

두 개의 라그랑지안 지도 (π₁ i₁ i) : L₁₁ ↪ K ↠ B와₁ (π₂ i₂ i) : L₂ ↪ K₂ ↠ B는₂ 오른쪽 통근에 주어진 도표의 양쪽이 모두 다른 diffe, τ, ν가 있을 경우 라그랑지안 등가라고 하며, τ은 공감각형 형태를 보존하고 있다.^[4] 상징적으로:

$\displaystyle \tau \tau \tau i_{1}=i_{2}\no \no \pi _{1}=\pi _{2}\pi \noi \tau _{*}오메가 _{2}=\omega _{1}\1}\1}\mai}$

여기서 Ω은^∗₂ Ω의₂ 당김을 τ만큼 나타낸다.

특수 사례 및 일반화

• 공감각형${\displaystyle \mathrm{다지관}}$(M , Ω ) $displaystyle (M,\omega )}이($가)${\displaystyle }$$\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이(가) 정확한 경우 정확하다. 예를 들어, 매끄러운 다지관의 등골재 다발은 정확한 동시 다지관이다. 표준적인 동정적 형태는 정확하다.

• 동일체 형태와 양립할 수 있는 지표를 부여받은 동정체 다지관은 접선다발(tuntent bundle)이 거의 복잡한 구조를 가지고 있다는 점에서 거의 케흘러 다지관(Kahler 다지관)이지만, 이것은 통합할 필요가 없다.

• 감성 다지관은 포아송 다지관의 특별한 경우다. 동정성 다지관의 정의는 모든 곳에서 동정성 형태는 비감소성이어야 하지만, 이 조건을 위반하더라도 다지관은 여전히 포아송 다지관이 될 수 있다.

• 도 k의 다극성 다지관은 닫힌 비디제네이션 k-폼이 장착된 다지관이다.^[5]

• 다형성 다지관은 다형성 탄젠트 값$({\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle(n+2)}$ -폼과$$ 함께 제공되는 레전드르 번들로 해밀턴 장 이론에 활용된다.^[6]

참고 항목

메모들

참조

• McDuff, Dusa; Salamon, D. (1998). Introduction to Symplectic Topology. Oxford Mathematical Monographs. ISBN 0-19-850451-9.
• Auroux, Denis. "Seminar on Mirror Symmetry".
• Meinrenken, Eckhard. "Symplectic Geometry" (PDF).
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. See Section 3.2. ISBN 0-8053-0102-X.
• de Gosson, Maurice A. (2006). Symplectic Geometry and Quantum Mechanics. Basel: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7574-4.
• Alan Weinstein (1971). "Symplectic manifolds and their lagrangian submanifolds". Advances in Mathematics. 6 (3): 329–46. doi:10.1016/0001-8708(71)90020-X.
• Arnold, V. I. (1990). "Ch.1, Symplectic geometry". Singularities of Caustics and Wave Fronts. Mathematics and Its Applications. Vol. 62. Dordrecht: Springer Netherlands. doi:10.1007/978-94-011-3330-2. ISBN 978-1-4020-0333-2. OCLC 22509804.

외부 링크

• "How to find Lagrangian Submanifolds". Stack Exchange. December 17, 2014.
• Lumist, Ü. (2001) [1994], "Symplectic Structure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Sardanashvily, G. (2009). "Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory". Lectures for Theoreticians. arXiv:0908.1886.
• McDuff, D. (November 1998). "Symplectic Structures—A New Approach to Geometry" (PDF). Notices of the AMS.
• Hitchin, Nigel (1999). "Lectures on Special Lagrangian Submanifolds". arXiv:math/9907034.