초월수

수학에서 초월수는 대수적이지 않은 실수 또는 복소수를 말합니다. 즉, 유리 계수를 가진 유한한 차수의 0이 아닌 다항식의 근이 아닙니다. 가장 잘 알려진 초월수는 π와 e입니다.

주어진 수가 초월적이라는 것을 보여주는 것이 매우 어려울 수 있기 때문에 – 초월적 수는 드문 것이 아닙니다. 실제로, 대수적 수들이 셀 수 있는 집합을 형성하기 때문에 거의 모든 실수와 복소수는 초월적입니다. 실수들의 집합과 복소수들의 집합은 둘 다 셀 수 없는 집합이고, 따라서 셀 수 있는 집합보다 큽니다. 모든 유리수는 대수적이기 때문에 모든 초월적 실수(실제 초월수 또는 초월적 무리수라고도 함)는 무리수입니다.^[3][4][5][6] 그 반대는 참이 아닙니다. 모든 무리수가 초월적인 것은 아닙니다. 따라서 실수의 집합은 유리수, 대수적 비합리적 및 초월적 실수의 겹치지 않는 집합으로 구성됩니다.^[3] 예를 들어 2의 제곱근은 무리수이지만 다항식 x - 2 = 0의 근이므로 초월수는 아닙니다. 황금 비율(표시된$$φ {\displaystyle$$\$}$ 또는 ϕ {\displaystyle \phi})은 다항식 x - x - 1 = 0의 근이므로 초월적이지 않은 또 다른 무리수입니다. 초월적인 수의 성질을 초월이라고 합니다.

역사

"초월적"이라는 이름은 라틴어 트란센데어 '넘어오르다, 넘다, 넘다'^[7]에서 유래했으며, 1682년 라이프니츠의 논문에서 sin x가 x의 대수함수가 아니라는 것을 증명한 수학적 개념에 처음 사용되었습니다.^[8] 18세기에 오일러는 아마도 현대적인 의미에서 초월수를 정의한 최초의 사람일 것입니다.^[9]

요한 하인리히 램버트는 1768년 논문에서 e와 π가 둘 다 초월수라고 추측하고, π가 초월수라는 잠정적인 스케치 증거를 제시했습니다.

조셉 리우빌은 1844년에 처음으로 초월수의 존재를 증명했고,^[11] 1851년에 리우빌 상수와 같은 소수의 첫 번째 예를 제시했습니다.

소수점 다음에 n이 k!(k 계승)와 같다면 소수점 다음에 n번째 숫자는 1이고 그렇지 않으면 0입니다.^[12] 즉, n이 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 등입니다. 리우빌은 이 수가 어떤 무리수 대수적 수보다 유리수에 의해 더 근접하게 근사될 수 있는 초월수 종류에 속한다는 것을 보여주었고, 이 종류의 수는 그를 기리기 위해 리우빌 수라고 불립니다. 리우빌은 모든 리우빌 수가 초월적이라는 것을 보여주었습니다.^[13]

초월수의 존재를 증명하기 위한 목적으로 구체적으로 구성되지 않고 초월수로 증명된 최초의 수는 1873년 찰스 에르미트(Charles Hermite)에 의해 발견되었습니다.

1874년, 게오르크 칸토어는 대수적인 수는 셀 수 있고 실수는 셀 수 없다는 것을 증명했습니다. 그는 또한 초월수를 구성하는 새로운 방법을 제시했습니다.^[14] 비록 이것이 대수적 숫자들의 가산성에 대한 그의 증명에 의해 이미 암시되었지만, 칸토어는 또한 실제 숫자만큼 초월적인 숫자들이 있다는 것을 증명하는 구성을 발표했습니다.^[a] 칸토어의 연구는 초월수의 편재성을 확립했습니다.

1882년 페르디난트 폰 린데만은 π이 초월적이라는 최초의 완전한 증거를 발표했습니다. 그는 a가 0이 아닌 대수적 수이면 e가^a 초월적이라는 것을 처음 증명했습니다. 그렇다면 e = -1은 대수적이므로(오일러 항등식 참조), i π은 초월적이어야 합니다. 하지만 나는 대수적이기 때문에 π은 초월적이어야 합니다. 이 접근법은 카를 바이어슈트라스에 의해 오늘날 린데만으로 알려진 것으로 일반화되었습니다.위어스트라스 정리. π이 초월적이라는 것은 나침반과 직선을 포함하는 기하학적 구성이 예를 들어 원을 제곱하는 것과 같은 특정 결과를 생성할 수 없다는 것을 의미합니다.

1900년에 데이비드 힐버트는 초월수에 대한 질문을 던졌는데, 힐버트의 일곱 번째 문제입니다. a가 0이나 1이 아닌 대수적 수이고, b가 무리수적 수이면 반드시 초월수인가요^b? 그 긍정적인 답은 1934년에 겔폰드-슈나이더 정리에 의해 제공되었습니다. 이 작업은 1960년대 앨런 베이커가 임의의 수의 로그(대수적 수)에서 선형 형태에 대한 하한에 대한 작업에서 확장되었습니다.^[16]

특성.

초월수는 임의의 정수 다항식의 근이 아닌 (복잡한) 수이다. 유리수는 차수 1의 정수 다항식의 루트이기 때문에 모든 실제 초월수 역시 비이성적이어야 합니다.^[17] 초월수들의 집합은 셀 수 없이 무한합니다. 유리 계수를 갖는 다항식은 셀 수 있고, 각 다항식은 유한한 수의 0을 가지므로 대수적 숫자도 셀 수 있어야 합니다. 그러나 칸토어의 대각선 논법은 실수(그리고 따라서 복소수)가 셀 수 없다는 것을 증명합니다. 실수는 대수적인 수와 초월적인 수의 결합이기 때문에, 두 부분집합 모두 셀 수 있는 것은 불가능합니다. 이것은 초월적인 숫자를 셀 수 없게 만듭니다.

유리수는 어떤 것도 초월적이지 않으며 모든 실제 초월수는 비이성적입니다. 무리수는 이차 무리수와 다른 형태의 대수 무리수를 포함하여 모든 실제 초월수와 대수 무리수의 부분 집합을 포함합니다.

어떤 일정하지 않은 단일 변수 대수 함수를 초월론적 논법에 적용하면 초월론적 값을 얻을 수 있습니다. 예를 들어, π가 초월적이라는 것을 아는 것으로부터$,$ $5개$의 π$${\${\displaystyle \frac{\mathrm{displaystyle}}{}}$ $\$pi},$$π - 32${\displaystyle {\$tfrac$${\${\displaystyle pi-3\}\{\backslash {sqrt}^{}}${2}}, (π - 3) 8개의 ${\displaystyle$ $\{\backslash$sqrt {\pi}-{\sqrt {3}}^{8}, 그리고${\displaystyle \text{exception 25:}}$π$5$ + 74 ${\displaystyle {\sqrt$[{$4}]{\pi$^{5}+7}}도 초월적입니다.

그러나 여러 변수의 대수 함수는 이들 수가 대수적으로 독립적이지 않은 경우 초월수에 적용될 때 대수적 수를 산출할 수 있습니다. 예를 들어, π와 (1 - π)는 둘 다 초월적이지만 π + (1 - π) = 1은 분명히 그렇지 않습니다. 예를 들어, e + π가 초월적인지는 알 수 없지만, e + π와 e π 중 적어도 하나는 초월적이어야 합니다. 보다 일반적으로, 임의의 두 초월수 a와 b에 대하여, a + b와 ab 중 적어도 하나는 초월수여야 합니다. 이를 확인하기 위해서 다항식 (x - a) (x - b) = x - (a + b) x + a b를 생각해보세요. 만약 (a + b)와 b가 둘 다 대수적이라면, 이것은 대수적 계수를 가진 다항식일 것입니다. 대수적 숫자는 대수적으로 닫힌 장을 형성하기 때문에, 이것은 다항식의 근 a와 b가 대수적이어야 한다는 것을 의미합니다. 그러나 이는 모순이므로 계수 중 적어도 하나가 초월적인 경우여야 합니다.

계산할 수 없는 숫자는 초월적 숫자의 엄격한 부분 집합입니다.

모든 리우빌 수는 초월적이지만 그 반대는 아닙니다. 모든 리우빌 수는 계속적인 분수 확장에서 무한 부분 몫을 가져야 합니다. 계수 인수를 사용하면 부분 몫이 한정되어 있으므로 리우빌 수가 아닌 초월수가 존재한다는 것을 보여줄 수 있습니다.

e의 명시적인 연속 분수 전개를 사용하면 e가 리우빌 수가 아님을 알 수 있습니다(비록 연속 분수 전개의 부분 몫은 무한히 존재하지만). 커트 말러는 1953년에 π도 리우빌 수가 아니라는 것을 보여주었습니다. "단순한" 구조를 가지며, 결국 주기적이지 않은 유계 항을 갖는 모든 무한 연속 분수는 초월적이라고^[18] 추측됩니다(다시 말해서, 적어도 3차 다항식의 대수적 무리근은 연속 분수 확장에서 명백한 패턴을 갖지 않습니다). 결국 주기적으로 계속되는 분수는 2차 무리수에 해당하므로 에르미트의 문제를 참조하십시오.

초월적인 것으로 판명된 숫자

초월적인 것으로 판명된 숫자:

• a가^a 대수적이고 0이 아닌 경우 (린데만에 의해)Weierstrass 정리).
• π (Lindemann에 의해 –)Weierstrass 정리).
• e, 겔폰드 상수와 e = i (겔폰드-슈나이더 정리에 의해).
• 여기서^b a는 대수적이지만 0이나 1은 아니며, b는 (겔폰드-슈나이더 정리에 의해) 비합리적 대수적인 것으로 특히 다음과 같습니다.

${\displaystyle {22\sqrt{\mathrm{}}}^{}}$ ${\$ 겔폰드-슈나이더 상수(또는 힐베르트 수)

• sina, cosa, tana, csca, seca, cota, 그리고 임의의 0이 아닌 대수적 수 a에 대한 쌍곡선 대응물(Lindemann–)Weierstrass 정리).
• 코사인 함수의 고정점(도티 수 d라고도 함) - 방정식 cos x = x에 대한 고유한 실제 해이며, 여기서 x는 (린데만에 의해) 라디안입니다.Weierstrass 정리).^[19]
• a는 대수적이고 0이나 1이 아닌 경우, (린데만에 의해) 로그 함수의 어떤 분기에 대하여Weierstrass theorem), 특히 보편 포물선 상수(universal parabolic constant).
• a와 b가 같은 정수의 거듭제곱이 아닌 양의 정수이고, a가 1과 같지 않은 경우(겔폰드-슈나이더 정리에 의해) 로그_b a.
• 임의의 대수적 수 a에 대한 아크시나 a, 아르코사, 아크타나, 아크스카, 아크세카, 아크코타 및 쌍곡 대응물의 0이 아닌 결과(린데만에 의한)Weierstrass 정리).
• 첫 번째 종류 J(x)의 베셀 함수, 그것의 첫 번째 도함수, 그리고 $몫$ ${\displaystyle \frac{J}{}}$ν ' (${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{J}{}}$ ν (x)${\displaystyle$ {\tfrac {J'_{\n$u}(x)}{J_{\n$u$}(x)}}}$는 $ν$이 유리수이고 x가 대수적이고 0이 아닐 때 초월수이고, J(x)와 J'(x)의 0이 아닌 모든 근은 $ν$이 유리수일 때 초월수입니다.
• (a) 가 대수적이고 0이 아닌 경우, (린데만에 의해) 램버트 W 함수의 임의의 분기에 대하여, W (a)위어스트라스 정리), 특히: ω 오메가 상수
• $($r,a) 만약 a와 $차수가 모두$ ≠ 0 {\style a\$n을$표시하는 대수적인 경우$일반화 램버트$ W 함수의 임의의 분기에 대하여, eq 0$\}.$^[22]
• √x, 임의의 자연수의 제곱 초근은 (겔폰드-슈네이더 정리에 의해) 정수 또는 초월수입니다.
• ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{3}}\right)\ }$,^[23] ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)\ }$,^[24] and ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{6}}\right)\ }$.^[24] 숫자${\displaystyle }$γ$$⁡$($23), ${\displaystyle \operatorname {\Gamma} \left({\tfrac${$2}{$${\displaystyle 3\}\backslash \frac{\mathrm{right}}{})\backslash ,\}}$γ ⁡(34),${\displaystyle \operatorname${\$Gamma}$ \left({\tfrac {3}{4}\right)\,$}$그리고 $γ$ $⁡$ (56) ${\displaystyle \$ $\operatorname {\Gamma} \left({\tfrac${5}{6}\right)\} 또한 초월적인 것으로 알려져 있습니다. The numbers ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\pi }}\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}\ }$ and ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\pi }}\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{2}\ }$ are also transcendental.^[25]
• 오일러 베타 함수 $B{\displaystyle \mathrm{}(a,}$ b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm {B}(a,$ b$)}($a, b)의 값($$a, b와 $a{\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$는 정수가 아닌 유리수)입니다.^[26]
• 0.64341054629...^[27] 카헨 상수입니다
• ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle 2}$) + 2$ln$⁡ ($3)$ ${\$displaystyle \$pi +\$ln(2)+{\sqrt {2}}\ln(3)}. 일반${\displaystyle 적}$으로 π + β 1${\displaystyle }$ln ⁡(a 1${\displaystyle )}$ + ⋯ + β n${\displaystyle }$ln ⁡(n) {\displaystyle \pi +\beta _{1}\ln(a_{1}) +\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})} 형태의 모든 숫자는 초월적입니다. 여기서 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 모든 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \le }$ n ${\displaystyle 1\leq j\leq$ n$}$에 대해 대수적이고$$, ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 ($베이커{\displaystyle \mathrm{}\mathrm{정리}}$에 의해${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ 1$$≤ j ≤ n {\$displaystyle$ 1$\$leq j\$$$leq n}$에 대해 0이 아닌 대수적입니다$$.

• 참퍼노운 상수, 모든 양의 정수의 표현을 연결하여 형성된 무리수.^[29]
• ω, 차이틴의 상수(계산할 수 없는 숫자이기 때문에).
• 계산할 수 없는 숫자이므로 Specker 시퀀스의 상한입니다.^[31]
• 다음과^[11][32][b] 같은 이른바 프레드홀름 상수들은

  ${\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}10^{-2^{n}}=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}0{\textbf {1}}000{\textbf {1}}0000000{\textbf {1}}\ldots }$

이는 또한 10을 임의의 대수적 숫자 b > 1로 대체함으로써 성립합니다.^[34]

• ${\displaystyle \frac{a}{}}$ $⁡$${\displaystyle \frac{}{}}$(x$)$ x ∉ {\displaystyle {\$arctan$(x)} {\p${\displaystyle \frac{i}{}}$}}, x π {0, ± 1} {\displaystyle x\n$otin \{0,\pm {1}\}}$.^[28]

• Rogers-Ramanujan 연속 분수 $R{\displaystyle (q)}$ ${\displaystyle R(q)}$의 값은 $q$∈ C ${\displaystyle {q$}\$in \mathbb$ {C}에서이고 <$q$ < 1 ${\displaystyle$0< q < 1}입니다. ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{theta}}}$ 함수 ∑ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{n}}}$ = - ∞ ∞ q n 2 {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}(q {\displaystyle {q}}에 대해 동일한 조건에서)의 레미닉 값도 초월적입니다.
• $j$(q)는 q$$∈ C {\$displaystyle${q$}\in \mathbb$ {C}에서 대수적이지만 가상 이차가 아닙니다(즉, 이 함수의 예외적인 집합은 Q ${\displaystyle \mathbb$ {Q}}에$$대한 $확장$ 정도가 2인 숫자 필드입니다).
• Y로 정의된 수렴 속도가 빠른 무한급수의 값입니다. ∑$n$ = ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ∞ ${\displaystyle \frac{{{}^{}}^{}}{}}$ n $23$ n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}와 같은 가오와 J. 가오.
• 프레넬 적분을 포함하는 반데르 코르푸트 상수의 정의에서 실제 상수.^[38]
• 완전한 타원 적분 함수를 포함하는 졸로타레프-슈르 상수의 정의에서 실제 상수.^[39]
• 가우스 상수와 관련된 렘니케이트 상수.^[40]
• 임의의 수의 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{형태}}}$ ∑ n =${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$0 ∞ $En$ (β r$n$ ) F (β r n ) ${\$displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {E_{n}(\beta ^{r^{n}})}{$F_{n}(\beta ^{r^{n}})}}}$ (where ${\displaystyle E_{n}(z)}$, ${\displaystyle F_{n}(z)}$ are polynomials in variables ${\displaystyle n}$ and ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle \beta }$ is algebraic and ${\displaystyle \beta \n$$eq0$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$은(는) 1보다 큰 정수입니다.^[41]

• 인위적으로 구성된 비주기적 숫자입니다.^[42]
• 로빈스는 3차원 선 선택 문제에서 일정합니다.^[43]
• 임의의 대수적 b ∈에 대한 상기 리우빌 상수 (0, 1).
• 지수 계수의 역수의 합입니다.^[28]
• 프루엣-Thue–Morse 상수^[44] 및 관련 토끼 상수.^[45]
• 코모르니크-로레티 상수.^[46]
• 고정된 베이스에 대한 숫자가 스터미안 단어를 형성하는 모든 숫자.^[47]
• 종이접기 상수("Gaussian Liouville number"^[48]라고도 함).
• 어떤 기저에서도 단순히 정규적이지 않은 무리수를 구성했습니다.^[49]
• β > 1인 경우

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty}10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor};}$

여기서 ${\displaystyle \beta }$↦ ⌊$β$ ⌋ ${\displaystyle$ \maps to \lfloor \beta \rfloor}는 바닥 함수입니다.

• 3.300330000000000330033... 그리고 그 역수 0.30300000303... 두 개의 서로 다른 10진수만 있는 두 개의 숫자는 Moser-de Bruijn 수열과 그 두 배에 의해 0이 아닌 자리가 주어집니다.^[51]
• 숫자${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$π ${\displaystyle \frac{2}{}}$Y 0 (${\displaystyle \frac{2{}_{}}{}}$J${\displaystyle \frac{}{}}$0 ($)$ - γ${\displaystyle${\tfrac {\pi}{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}-\gamma } 여기서 Y(x)와 J(x)는 베셀 함수이고 γ는 오일러-마스케로니 상수입니다.

• 네스테렌코는 1996년에$$π, e$$π$${\displaystyle \pi,${\displaystyle \mathrm{e}^\{\backslash pi\}\}}$및 γ γ(1/$4) {\displaystyle$ \Gamma(1/4)}가 대수적으로 독립적이라는 것을 증명했습니다. 그 결과 Weierstrass 상수와 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{숫자}}}$ ∑ ${\displaystyle \frac{n}{}}$ = $2$ ∞ 1 n 4 - 1${\displaystyle$ \sum _{n=2}^{\infty}{\frac {1}{n^{4}-1}}의 초월이 발생합니다.

가능한 초월수

아직 초월적이거나 대수적인 것으로 증명되지 않은 숫자:

• 수 π과 수 e의 대부분의 합, 곱, 거듭제곱 등, 예를 들어, e + π, π - e, π/e, π, e, π, π, e는 유리수, 대수적으로 비합리적이거나 초월적인 것으로 알려져 있지 않습니다. 눈에 띄는 예외는 (어떤 양의 정수 n에 대해서도) 초월적인 것으로 증명된 e입니다^π√n.^[56] e + π와 π/e 모두 $차수$ ≤ 8${\displaystyle$ \leq 8}의${\displaystyle \mathrm{다항식}}$과 평균 크기 10의 정수 계수를 만족하지 않는 것으로 나타났습니다.
• 오일러-마스케로니 상수 γ: 2010 M. Ram Murty와 N. Saradha는 γ/4를 포함하는 무한한 수의 목록을 발견했습니다. 그래서 그들 중 기껏해야 하나를 제외하고는 모두 초월적입니다. 2012년에는 γ와 오일러-곰퍼츠 상수 δ 중 적어도 하나가 초월적이라는 것이 나타났습니다.
• 아페리의 끊임없는 ζ (3) (아페리에 의해 비합리성이 입증됨).
• 역 피보나치 상수와 역 루카스 상수^[61](둘 다 비합리적인 것으로 판명됨).
• 카탈란 상수와 디리클레 베타의 값은 다른 짝수 정수인 β(4), β(6), ...(비이성적인 것으로 입증되지도 않음)에서 함수를 나타냅니다.^[62]
• 킨친 상수, 역시 비합리적인 것으로 입증되지 않았습니다.
• 다른 홀수 양의 정수인 ζ(5), ζ(7), ...(비이성적인 것으로 입증되지 않음)에서 리만 제타 함수.
• Feigenbaum 상수 δ 및 α도 비합리적인 것으로 입증되지 않았습니다.
• Mills의 상수와 쌍둥이 소수 상수(또한 비합리적인 것으로 입증되지 않음).
• 임의의 자연수의 세제곱 초근은 정수이거나 무리수입니다 (겔폰드-슈네이더 정리에 의해). ^[63] 그러나 이후의 경우에 나타난 무리수들이 모두 초월수인지는 여전히 불분명합니다.^{[citation needed]}
• 가우스-쿠즈민-위르싱 연산자의 두 번째와 이후의 고유값도 비합리적인 것으로 입증되지 않았습니다.
• 코플랜드-에르트 ő 상수는 소수의 소수 표현을 연결하여 형성됩니다.
• 정규 소수의 상대적 밀도: 1964년에 시겔은 그 값이 $e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ /${\displaystyle {}^{}}$2 ${\$라고 추측했습니다$.$
• ${\displaystyle \mathrm{}}$($1/$5) {\displaystyle \Gamma(1/5)}이(가) 비합리적인 것으로 입증되지 않았습니다.
• 란다우 상수와 그로텐디크 상수처럼 값이 정확하게 알려지지 않은 다양한 상수.

관련 추측:

• 샤누엘의 추측은
• 네 지수 추측.

e가 초월적이라는 증명의 스케치

자연로그의 밑이 1873년의 초월적인 날이라는 최초의 증거. 이제 우리는 찰스 에르미트의 원래 증명을 단순화한 데이비드 힐버트(David Hilbert, 1862~1943)의 전략을 따를 것입니다. 아이디어는 다음과 같습니다.

모순을 발견하기 위해 e가 대수적이라고 가정하자. 다음 방정식을 만족하는 정수 계수 c₀, c₁, ..., c의_n 유한 집합이 존재합니다.

이제 양의 정수 k에 대하여 다음과 같은 다항식을 정의합니다.

위 식의 양변에 다음을 곱합니다.

방정식에 도달하기 위해:

각각의 적분 도메인을 분할함으로써 이 방정식은 다음과 같은 형태로 작성될 수 있습니다.

어디에

보조 1. 적절한 k를 선택하려면 ${\displaystyle \frac{Pk!}{}}$ $displaystyle$\ ${\tfrac {P}{k!$$}}\ }$은(는) 0이 아닌 정수입니다.

증명. P의 각 항은 인자들의 합의 정수배이며, 이는 다음 관계로부터 기인합니다.

$${\displaystyle \int_{0}^{\infty}x^{j}e^{-x}\\mathrm {d} \ x=j!\}$$

이 값은 임의의 양의 정수 j(감마 함수를 고려)에 대해 유효합니다.

0이 아닌 이유는 만족하는 모든 a < a ≤ n에 대하여, 인 적분

$${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x}$$

적분에서 x를 x + a로 대체한 후 x의 가장 낮은 거듭제곱이 k + 1인 항들의 합입니다^−x. 그러면 이것은 형태의 적분의 합이 됩니다.

$${\displaystyle \ A_{j-k}\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\ }$$

여기서_j−k A는 정수입니다.

k+1 ≤ j이므로 (k+1)로 나눌 수 있는 정수입니다! k!로 나누면 0 mod k + 1을 얻을 수 있습니다. 그러나 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$${\displaystyle \ \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x=\int _{0}^{\infty }\left(\left[m(-1)^{n}(n!)\right]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)\ \mathrm {d} \ x\ }$$

그리하여

$${\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\equiv c_{0}\left[\ (-1)^{n}(n!)\ \right]^{k+1}\ \not \equiv \ 0{\pmod {k+1}}~.}$$

따라서 P의 각 적분을 k!로 나눌 때, 초기 적분은 k + 1로 나뉠 수 없지만, k + 1이 소수이고 n과 c보다₀ 크다면 나머지는 모두 나뉠 수 있습니다. ${\displaystyle \frac{Pk!}{}}$ $displaystyle {\tfrac {P}{k!$$}}\ }$ 자체는$$ 소수 k + 1로 나눌 수 없으므로 0이 될 수 없습니다.

보조 2. < ${\displaystyle \left {\tfrac {Q}{k!}}\right <1}$ 충분히 큰 k입니다.

증명. 참고.

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}\left[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)\right]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}}$$

여기서 u(x), v(x)는 모든 x에 대하여 x의 연속 함수이므로 [0, n] 구간에 경계를 갖습니다. 즉, 다음과 같은 상수 G, H > 0이 있습니다.

$${\displaystyle \ \left f_{k}e^{-x}\right \leq u(x) ^{k}\cdot v(x) <G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n~.}$$

Q를 구성하는 각각의 적분은 유계이며, 최악의 경우는

$${\displaystyle \left \int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\mathrm {d} \x\right \leq \int _{0}^{n}\left f_{k}e^{-x}\right \mathrm {d} \x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\ \mathrm {d} \ x=nG^{k}H~.}$$

이제 합 Q를 묶을 수 있습니다.

$${\displaystyle Q <G^{k}\cdot nH\left( c_{1} e+ c_{2} e^{2}+\cdots + c_{n} e^{n}\right)=G^{k}\cdot M\,}$$

여기서 M은 k에 의존하지 않는 상수입니다. 다음은

$${\displaystyle \left {\frac {Q}{k!}\right <M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\~0\quad {\text{ as}}k\~\infty \ ,}$$

이 보조정리법의 증명을 마쳤습니다.

두 레마를 모두 만족하는 k 값을 선택하면 0이 아닌 정수$({\displaystyle \frac{Pk}{}}$가 나옵니다. ${\$$}}\right)}$이(가) 사라질 정도로 적은${\displaystyle }$양에 ${\displaystyle 추가}$되었습니다${\displaystyle \frac{(}{}}$Q ${\displaystyle \frac{k}{}}$ ${\$이(가) 0이 되는 것은 불가능합니다. 따라서 e가 정수 계수를 갖는 다항식을 만족할 수 있다는 원래의 가정도 불가능합니다. 즉, e는 초월적입니다.

of의 초월성

Lindemann의 원래 접근법과는 다른 유사한 방법을 사용하여 수 π가 초월적이라는 것을 증명할 수 있습니다. 증명에서와 같이 감마 함수와 일부 추정치 외에도 대칭 다항식에 대한 사실이 증명에 중요한 역할을 합니다.

π과 e의 초월성의 증명에 관한 자세한 내용은 참고문헌과 외부 링크를 참조하십시오.

참고 항목

• 초월수론, 초월수와 관련된 질문 연구
• 초월론적 요소, 추상대수학에서 초월수의 일반화
• 겔폰드-슈나이더 정리
• 디오판토스 근사
• 적분 방정식으로 정의될 수 있는 수의 집합(초월수 및 대수수 모두 포함)인 마침표.

수계 복잡한 ${\displaystyle :\;\mathbb {C} }$ 진짜 ${\displaystyle :\;\mathbb {R} }$ 합리적인 ${\displaystyle :\;\mathbb {Q} }$ 정수 ${\displaystyle :\;\mathbb {Z} }$ 자연의 ${\displaystyle :\;\mathbb {N} }$ 0 : 0 1: 1 소수 합성수 음의 정수 분수 유한 십진법 다이아딕 (무한쌍성) 반복 십진법 무리수 대수 무리수 초월적 허수

메모들

참고문헌

원천

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Transcendental Number". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Liouville Number". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant". MathWorld.
• "Proof that e is transcendental". planetmath.org.
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