가변 몬테카를로

계산물리학에서 변이 몬테카를로(VMC)는 변이법을 적용하여 양자계의 지반 상태를 근사하게 하는 양자 몬테카를로 방식이다.^[1]

기본 빌딩 블록은 일부 $|\Psi (a)\rangle$ $a$ $a$ 에 따라 일반적인 $|\Psi (a)\rangle$ 파형 함수 $|\Psi (a)\rangle$ ( ) $|\Psi (a)\rangle$ ${\displaystyle \Psi$ ( $a)\rangele }$ 이다 $a$ 그런 $a$ 다음 시스템의 총 에너지를 최소화할 때 파라미터 $a$ $a$ 의 최적 값을 찾는다.

특히 해밀턴 ${\mathcal {H}}$ ${\$ 및 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 을 $X$ (를) 다체 구성으로 나타내는 경우, 에너지의 기대값은 다음과 같이 기록할 수 있다.^[2]

$E(a)={\frac {\langle \Psi (a) {\mathcal {H}} \Psi (a)\rangle }{\langle \Psi (a) \Psi (a)\rangle }}={\frac {\int \Psi (X,a) ^{2}{\frac {{\mathcal {H}}\Psi (X,a)}{\Psi (X,a)}}\,dX}{\int \Psi (X,a) ^{2}\,dX}}.$

Following the Monte Carlo method for evaluating integrals, we can interpret ${\frac { \Psi (X,a) ^{2}}{\int \Psi (X,a) ^{2}\,dX}}$ as a probability distribution function, sample it, and evaluate the energy expectation value $E(a)$ as the average of the so-called local energy $E_{\textrm {loc}}(X)={\frac {{\mathcal {H}}\Psi (X,a)}{\Psi (X,a)}}$ . Once $E(a)$ is known for a given set of variational parameters $a$ , then optimization is performed에너지를 최소화하고 가능한 최상의 지상 상태 파동 기능을 얻기 위해.

VMC는 다차원 통합이 수치적으로 평가된다는 점을 제외하면 다른 변동 방법과 다르지 않다.Monte Carlo 통합은 특히 이 문제에서 중요한데, 구성 $X의 가능$ 한 모든 값을 구성하는 다체 Hilbert 공간의 치수가 일반적으로 물리적 시스템의 크기에 따라 기하급수적으로 증가하기 때문이다 $X$ 따라서 일반적으로 에너지 기대값의 수치 평가에 대한 다른 접근방식은 몬테카를로 접근방식으로 인해 분석 가능한 시스템보다 훨씬 작은 시스템으로 적용을 제한할 수 있다.

그 방법의 정확성은 크게 변동 상태의 선택에 달려 있다.가장 간단한 선택은 일반적으로 평균 필드 형식에 해당하며, 여기서 $\Psi$ over ${\displaystyle \PSI$ }는 힐버트 공간에 대한 인수로서 작성된다 $\Psi$ .이 특히 단순한 형태는 많은 신체 효과를 무시하기 때문에 일반적으로 매우 정확하지 않다.파동함수를 분리해서 쓰는 것보다 정확도가 가장 큰 것 중 하나는 이른바 자스트로 인자의 도입에서 비롯된다.In this case the wave function is written as $\Psi (X)=\exp(\sum {u(r_{ij})})$ , where $r_{ij}$ is the distance between a pair of quantum particles and $u(r)$ is a variational function to be determined.이 인자로 우리는 입자-입자 상관관계를 명시적으로 설명할 수 있지만, 다체 적분은 볼 수 없는 것이 되기 때문에 이를 효율적으로 평가할 수 있는 방법은 몬테카를로밖에 없다.화학 시스템에서 이 인자의 약간 더 정교한 버전은 30개 미만의 매개변수를 가진 상관 에너지의 80~90%를 얻을 수 있다(전자 상관 참조).이에 비해 구성 상호작용 계산은 고려 중인 특정 사례에 크게 의존하지만 정확도에 도달하기 위해 약 50,000개의 매개변수가 필요할 수 있다.또한 VMC는 일반적으로 시뮬레이션에서 입자 수의 작은 힘으로 스케일링되며, 일반적으로 파동 함수의 형태에 따라 에너지 기대값 계산을 위한²⁻⁴ N과 같은 것이다.

VMC에서 파동 함수 최적화

QMC 계산은 시험 기능의 품질에 따라 결정적으로 달라지기 때문에 지반 상태에 최대한 근접하게 최적화된 파동 기능을 갖는 것이 필수적이다.함수 최적화 문제는 수치 시뮬레이션에서 매우 중요한 연구 주제다.QMC에서, 최소 다차원 파라메트릭 함수를 찾기 위한 일반적인 어려움에 더하여, 효율적인 최적화에 필요한 비용함수(일반적으로 에너지)와 그 파생상품의 추정치에 통계적 잡음이 존재한다.

다체 시험 기능을 최적화하기 위해 서로 다른 비용 기능과 다른 전략을 사용했다.일반적으로 세 가지 비용 함수가 QMC 최적화 에너지, 분산 또는 이들의 선형 조합에 사용되었다.분산 최적화 방법은 정확한 파동함수의 분산이 알려져 있다는 장점이 있다.(정확한 파동함수는 해밀턴식 고유함수이기 때문에 국부 에너지의 분산이 0이다.)이는 분산 최적화가 아래에 의해 제한되고, 양적으로 정의되며, 최소값이 알려져 있다는 점에서 이상적이라는 것을 의미한다.그러나 최근에 서로 다른 저자들이 에너지 최적화가 분산보다 더 효과적이라는 것을 보여주었기 때문에 에너지 최소화가 궁극적으로 더 효과적이라는 것을 증명할 수 있다.

여기에는 여러 가지 동기가 있다: 첫째, 일반적으로 사람들은 변동과 확산 양쪽의 가장 낮은 분산보다는 가장 낮은 에너지에 관심이 있다; 둘째, 분산 최적화는 결정적인 매개변수를 최적화하기 위해 많은 반복을 필요로 하며 종종 최적화가 복수의 국부적 최소치에서 고착될 수 있고 그것은 다음과 같은 문제를 겪는다."허위 수렴" 문제; 평균적으로 세 번째 에너지 절약 파동 함수는 분산 최소화 파동 함수보다 다른 기대값의 정확한 값을 산출한다.

최적화 전략은 세 가지 범주로 나눌 수 있다.첫 번째 전략은 결정론적 최적화 방법과 함께 상관관계가 있는 표본 추출에 기초한다.이 아이디어가 1열 원자에 대해 매우 정확한 결과를 도출했더라도, 이 절차는 파라미터가 노드에 영향을 미치고, 더욱이 시스템의 크기에 따라 현재와 초기 시험 기능의 밀도비가 기하급수적으로 증가하면 문제를 일으킬 수 있다.두 번째 전략에서는 큰 빈을 사용하여 소음을 무시하고 결정론적 방법을 사용할 수 있도록 비용 함수와 그 파생상품을 평가한다.

세 번째 접근방식은 소음 기능으로 직접 처리하는 반복적 기법에 기초한다.이러한 방법의 첫 번째 예는 구조 최적화를 위해 사용된 소위 확률적 그라데이션 근사치(SGA)이다.최근 이러한 종류의 개선되고 빠른 접근법이 소위 SR(Stochastic Reconstruction) 방식으로 제안되었다.

VMC 및 딥 러닝

2017년 주세페 칼레오와 마티아스 트로이어는^[3] VMC 객관적 함수를 이용해 인공신경망을 양성해 양자역학 시스템의 지상 상태를 찾아냈다.보다 일반적으로, 인공신경망은 양자역학 시스템의 접지 상태를 찾기 위한 VMC 프레임워크에서 파동함수 앤사츠(신경망 양자상태로 알려져 있음)로 사용되고 있다.VMC용 신경망 안사스 사용이 페르미온으로 확대돼 신경망을 사용하지 않는 VMC 계산보다 훨씬 정확한 전자구조 계산이 가능해졌다.^[4]^[5]^[6]

참고 항목

추가 읽기

일반

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Ceperley, D.; Chester, G. V.; Kalos, M. H. (1 September 1977). "Monte Carlo simulation of a many-fermion study". Physical Review B. American Physical Society (APS). 16 (7): 3081–3099. Bibcode:1977PhRvB..16.3081C. doi:10.1103/physrevb.16.3081. ISSN 0556-2805.

VMC에서 파동 기능 최적화

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Casula, Michele; Attaccalite, Claudio; Sorella, Sandro (15 October 2004). "Correlated geminal wave function for molecules: An efficient resonating valence bond approach". The Journal of Chemical Physics. 121 (15): 7110–7126. arXiv:cond-mat/0409644. Bibcode:2004JChPh.121.7110C. doi:10.1063/1.1794632. ISSN 0021-9606. PMID 15473777. S2CID 43446194.
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참조

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[1] Scherer, Philipp O.J. (2017). Computational Physics. Graduate Texts in Physics. Cham: Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-61088-7. ISBN 978-3-319-61087-0.

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[4] Pfau, David; Spencer, James; Matthews, Alexander G. de G.; Foulkes, W. M. C. (2020). "Ab-initio Solution of the Many-Electron Schrödinger Equation with Deep Neural Networks". Physical Review Research. 2 (3). arXiv:1909.02487. doi:10.1103/PhysRevResearch.2.033429.

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[6] Choo, Kenny; Mezzacapo, Antonio; Carleo, Giuseppe (2020). "Fermionic Neural-Network States for Ab-initio Electronic Structure". Nature Communications. 11. arXiv:1909.12852. doi:10.1038/s41467-020-15724-9. PMC 7217823.

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