웨일 거리 함수

결합 기하학에서 Weyl 거리 함수는 미터 공간의 거리 함수처럼 어떤 방식으로 동작하는 함수지만 양의 실수에서 값을 취하는 대신 Weyl 그룹(Hermann Weyl의 이름을 따서 명명)이라고 하는 반사 그룹의 값을 취한다.이 거리 함수는 건물이라고 알려진 수학적 구조에서 챔버의 집합에 정의되며, 한 챔버의 값은 한 챔버에서 다른 챔버로 이동하는 최소 반사 순서(Weyl 그룹 내)에 정의된다.건물 내 챔버의 인접 순서는 갤러리라고 알려져 있으므로 Weyl 거리 함수는 두 챔버 사이의 최소 갤러리 정보를 인코딩하는 방식이다.특히 한 방에서 다른 방으로 갈 반사의 수는 두 방 사이의 최소 갤러리의 길이와 일치하므로 건물에 자연 미터법(갤러리 미터법)을 부여한다.아브라멘코 & 브라운(2008)에 따르면, 웨일 거리 함수는 기하학적 벡터 같은 것으로, 건물의 두 방 사이의 크기(거리)는 물론 그 사이의 방향도 모두 인코딩한다.

정의들

우리는 아브라멘코 & 브라운(2008)의 정의를 여기에 기록한다.σ(W,S)을 반사 S의 집합에 의해 생성된 W 그룹과 연관된 Coxeter 콤플렉스로 한다.σ(W,S)의 정점은 W의 원소, 단지의 챔버는 W의 S의 코제트다.각 챔버의 정점은 S의 요소에 의해 일대일 방식으로 색칠하여 단지의 인접 정점이 동일한 색상을 받지 않도록 할 수 있다.이 색깔은 본질적으로 표준적이긴 하지만, 꽤 독특하지는 않다.주어진 챔버의 색상은 S의 코제트로서의 실현에 의해 독특하게 결정되지 않는다.그러나 일단 단일 챔버의 색상이 고정되고 나면, 콕시터 콤플렉스의 나머지 부분은 독특하게 색칠이 가능하다.콤플렉스의 그런 색채를 고쳐라.

갤러리(Gallery)는 인접한 챔버의 배열이다.

${\displaystyle C_{0},C_{1},\dots,C_{n}.}$

이러한 챔버가 인접하기 때문에 챔버의$$ $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 모든 연속 쌍이 하나의 꼭지점을 공유한다.$이{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {꼭지점}_{}}$의$색상$을 s i {\$displaystyle$ s_${i}$로 표시하십시오$.$$C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$과(와) $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 사이의 Weyl 거리 함수는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \delta(C_{0},C_{n})=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}.}$

$이$는 C ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$과(와) ${\displaystyle C_{}}$ n ${\$을 연결하는 갤러리 선택에 따라 달라지지 않음을 알 수 있다$.$

이제 건물은 아파트로 정리되는 단순화 단지로서, 각각은 콕시터 단지(일부 일관성 공리를 만족하는 것)이다.건물들은 색칠이 가능하다. 왜냐하면 그것들을 구성하는 콕시터 단지들은 색칠이 가능하기 때문이다.건물의 색상은 그것을 구성하는 Coxeter 단지에 대한 Weyl 집단의 획일적인 선택과 연관되어 있어, 그것은 관계와의 색깔 집합에 대한 단어 모음으로 간주될 수 있다.이제 C ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle C_{}}$ n ${\$이(가) 건물의$$ 갤러리인 경우, 다음에$$$$ ${\displaystyle {의해}_{}}$ C$$0 {\$displaystyle$C_${0$}와 C ${\$ 사이의 Weil 거리를 정의하십시오.

${\displaystyle \delta(C_{0},C_{n})=s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}}$

$여기$서 s ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 위와$$ 같다.Coxeter 단지의 경우와 마찬가지로, 이는 챔버 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$과 ${\displaystyle {Cn}_{}}$ ${\$을 연결하는 갤러리 선택에 따라 달라지지 않는다$.$

갤러리 거리 $d{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle d(C_{0},C_{$${\displaystyle n_{}}$$}})$는 Weyl 그룹에서$$ $\Delta {\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaysty \delta(C_{0},C_{n})$를 표현하는 데 필요한 최소 단어 길이로 정의된다$$.상징적으로 $d{\displaystyle }$( C ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Delta }$(${\displaystyle }$C ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) =${\displaystyle \Delta }$ ( C ${\displaystyle n_{}}$ ) ${\displaystyle d(C_{0},C_{n}}}=\ell (\delta (C_{0},C_{n$

특성.

Weyl 거리 함수는 미터법 공간의 거리 함수와 평행하는 몇 가지 특성을 만족한다.

• ${\displaystyle \Delta (C}$, ${\displaystyle D}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \delta(C,D)=1}$ $C$ =${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C=D}$인 경우에만(그룹 요소 1은 S의 빈 단어에 해당한다).$$이는 갤러리 메트릭(Abramenko & Brown 2008, 페이지 199)의 C${\displaystyle }$= D ${\displaystyle C=D}$인 경우에만$$ 속성 $d{\displaystyle (\mathrm{C}}$, ${\displaystyle D}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle d(C,D)=0}$에 해당한다.
• ${\displaystyle \Delta }$(${\displaystyle C}$, D${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{}}$(${\displaystyle D}$, ${\displaystyle C{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$ $$(반복은 알파벳 S에서 단어의 역전에 해당한다.이는 갤러리 메트릭의$$ 대칭 $d{\displaystyle (C}$, D${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle d(D}$, ${\displaystyle C}$) ${\디스플레이$ 스타일 $d(C,D)=d(D,C)}$에 해당한다.
• If ${\displaystyle \delta (C',C)=s\in S}$ and ${\displaystyle \delta (C,D)=w}$, then ${\displaystyle \delta (C',D)}$ is either w or sw.더욱이 $\ell {\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \ell }$( w${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \ell (sw)=\ell$(${\displaystyle w}$$)+1}$이면$$$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ,${\displaystyle }$D${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \delta (C',D)=sw}$.이것은 삼각형 불평등에 해당한다.

건물의 추상적 특성화

위와 같은 속성 외에 Weyl 거리 함수는 다음과 같은 속성을 만족시킨다.

• If ${\displaystyle \delta (C,D)=w}$, then for any ${\displaystyle s\in S}$ there is a chamber ${\displaystyle C'}$, such that ${\displaystyle \delta (C',C)=s}$ and ${\displaystyle \delta (C',D)=sw}$.

실제로 이 재산은 "속성" 섹션에 나열된 두 재산과 함께 다음과 같은 추상적인 "계량적" 특성을 제공한다.(W,S)가 부분 집합 S에 속하는 반사에 의해 생성되는 Weyl 그룹 W로 구성된 Coxeter 시스템이라고 가정한다. 유형(W,S)의 건물은 챔버의 세트 C와 함수로 구성된 쌍이다.

$\displaystyle \displaystyle \delta :C\time C\to W}$

위에 열거한 세 가지 속성을 만족시키는 것.그 다음 C는 건물의 표준 구조를 운반하는데, 여기서 Δ는 Weyl 거리 함수다.

참조

• Abramenko, P.; Brown, K. (2008), Buildings: Theory and applications, Springer

외부 링크

• Mike Davis, Coxeter 그룹과 건물의 Cohomology, MSRI 2007.