벌레 같은 쇠사슬

폴리머 물리학의 웜 유사 체인(WLC) 모델은 반 유연성이 있는 폴리머의 동작을 설명하는데 사용된다. 즉, 연속적인 세그먼트가 거의 같은 방향을 가리키고 있고, 폴리머 길이의 크기에서 몇 순서 이내에서 지속성 길이가 있는 경우 상당히 딱딱하다. WLC 모델은 Kratky-Porod 모델의 연속 버전이다.

모델 요소

WLC 모델은 연속적으로 유연한 등방성 로드를 구상한다.^[1][2][3] 이는 자유접합형 체인 모델과는 대조적인 것으로, 자유접합형 부분들 사이에서만 유연하다. 모델은 특히 보다 견고한 폴리머를 설명하는데 적합하며, 연속적인 세그먼트는 일종의 협조성을 나타낸다. 즉, 근처 세그먼트는 대략 정렬되어 있다. 상온에서 폴리머는 완만한 곡선 준수를 채택하고, $T{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T=0}$K에서는$$ 폴리머가 강체 로드 준수를 채택한다.^[1]

For a polymer of maximum length ${\displaystyle L_{0}}$, parametrize the path of the polymer as ${\displaystyle s\in (0,L_{0})}$. Allow ${\displaystyle {\hat {t}}(s)}$ to be the unit tangent vector to the chain at point ${\displaystyle s}$, and ${\displaystyl$$e$ ${\vec{r}}}$은(는$)$ 오른쪽에 표시된 것처럼 체인을 따라 위치 벡터가 된다. 다음:

${\displaystyle {\hat {t}}(s)\equiv {\frac {\partial {\vec {r}}(s)}{\partial s}}}$ and the end-to-end distance ${\displaystyle {\vec {R}}=\int _{0}^{$$L_{0}}{\hat{t}}s}.$^[1]

폴리머의 휨과 관련된 에너지는 다음과 같이 기록할 수 있다.

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}k_{B}T\int _{0}^{L_{0}}P\cdot \left({\frac {\partial ^{2}{\vec{r}}{\partial s^{2}}}\오른쪽)^{2}ds}$

여기서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는) 폴리머의 특성 지속성 길이, $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$은 볼츠만 상수, $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle T}$은 절대 온도다. 유한한 온도에서 폴리머의 단대단 거리는 최대 길이 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\$보다 현저히 짧을 것이다$.$ 이는 열변동에 의해 발생하며, 이로 인해 방해받지 않는 폴리머가 코일화되고 무작위적으로 구성된다.

그런 다음 폴리머의 방향 상관 함수는 다음에 대해 해결할 수 있으며 붕괴 상수 1/P를 갖는 지수 붕괴를 따른다.^[1][3]

${\displaystyle \langle {\hat {t}(s)\cdot {\hat {t}(0)\angle =\langle \cos \\\\\\te^{-s/P}\,},}$

유용한 값은 폴리머의 평균 제곱 단대단 거리:^[1][3]

${\displaystyle \langle R^{2}\angle =\langle {\vec {R}\cdot {\vec}\langle \int_{0}^}L_{0}}{\hat{t}}ds\cdot\int _{0}^{L_{0}}{\hat{t}}}ds의\right\rangele =\int_{0}^{L_{0}ds\int_{0}^{L_{0}}\langle {\hat {t}\cdot {\hat {t}}\rangele ds'=\int _{0}^{{0}}}L_{0}ds\int_{0}^{L_{0}}e^{-\왼쪽 s-s'\오른쪽 /P}ds'}$

${\displaystyle \langle R^{2}\angle =2PL_{0}\왼쪽[1-{\frac {P}}{L_{0}}\왼쪽(1-e^{-L_{0}/P}\오른쪽)}}$

$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L_{0}\g P}$의 제한에서$$then ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= 2 ${\displaystyle P}$ L ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 유의하십시오$.$ 이것은 쿤 세그먼트가 웜 같은 체인의 지속 길이의 두 배와 같다는 것을 보여주는 데 사용될 수 있다. $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L_{0}\ll P}$의 제한에서$$$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$ R$^{2}\rangele =L_{0}^{2}},$중합체는 강성 로드 동작을 나타낸다.^[2] 오른쪽 그림은 지속 길이가 증가함에 따라 유연한 동작에서 뻣뻣한 동작으로의 교차점을 보여준다.

생물학적 관련성

람다 페이지 DNA의 스트레칭에 따른 실험 데이터는 오른쪽에 표시되며, DNA에 부착된 비드의 브라운 변동 분석에 의해 결정되는 힘 측정값이다. 모델에는 51.35nm의 지속성 길이와 1318nm의 등고선 길이가 사용되었으며, 이는 솔리드 라인으로 표현된다.^[4]

벌레와 같은 사슬로 효과적으로 모델링할 수 있는 기타 생물학적으로 중요한 고분자:

• 이중 가닥 DNA(지속 길이 40-50nm) 및 RNA(지속 길이 64nm)^[3][5]
• 단일 가닥 DNA(지속 길이 4nm)
• 비정형 RNA(지속 길이 2nm)
• 비정형 단백질(길이 0.6-0.7nm)^[8]
• 미세관(길이 0.52cm)
• 필라멘트성 박테리오파지^[10]

스트레칭 웜처럼 생긴 체인 폴리머

스트레칭 시 열변동의 접근 가능한 스펙트럼이 감소하여 외부 연장에 대해 작용하는 진입력이 발생한다. 이 내향성 힘은 폴리머의 총 에너지를 고려하여 추정할 수 있다.

${\displaystyle H=H_{\rm {elastic}}+$$H_{\rm {외부}={\frac {1}{2}}k_{B}$$T\int _{0}^{$$L_{0}}P\cdot \left({\frac {\partial ^{2}{\vec{r}}{\partial$ s$^{2}}}\오른쪽)^{2}ds-xF}$.

여기서 등고선 길이는 ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 지속성 $길이$는 P ${\displaystyle P},$확장은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x$ 외력은 F ${\displaystyle F}$로 $나타낸다.$

원자력 현미경(AFM)이나 광학 핀셋과 같은 실험실 도구는 생물학적 중합체의 힘에 의존하는 스트레칭 동작의 특성을 나타내기 위해 사용되어 왔다. 상대 오차가 약 15%인 힘 연장 거동에 근접한 보간 공식은 다음과 같다.^[11]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac{1}{4}}\왼쪽(1-{\frac {x}{L_{0}}}\오른쪽)^{-2}-{\frac {1}{4}+{\frac {x}{{}{L_{0}}}}$

상대 오차가 약 0.01%인 힘 연장 거동에 대한 보다 정확한 근사치는 다음과 같다.^[4]

${\$$T}}={\frac{1}{4}}\왼쪽(1-{\frac {x}{$$L_{0}}}\오른쪽)^{-2}-{\frac {1}{4}+{\frac {x}{{}{$$L_{0}}}+\sum _{i=2}^{i=7}\알파_{i}\왼쪽({\frac {x}}{$$L_{0}}\오른쪽)$$^{i$

with ${\displaystyle \alpha _{2}=-0.5164228}$, ${\displaystyle \alpha _{3}=-2.737418}$, ${\displaystyle \alpha _{4}=16.07497}$, ${\displaystyle \alpha _{5}=-38.87607}$, ${\displaystyle \alpha _{6}=39.49944}$, ${\displaystyle {\alpha }_7}$${\displaystyle {}_{}=}$- ${\displaystyle 14.168}$ ${\displaystyle \property_{7}=-14.$14.$18}$.

상대 오차가 약 1%인 단순하고 정확한 힘 연장 거동의 근사치는 다음과 같다.^[12]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac{1}{4}}\왼쪽(1-{\frac {x}{L_{0}}}\오른쪽)^{-2}-{\frac {1}{4}+{\frac {x}{{}{L_{0}}}-0.8\왼쪽({\frac {x}{L_{0}}\오른쪽)^{2.15}$

상대 오차가 약 1%인 연장력 동작에 대한 근사값도 보고되었다.^[12]

${\displaystyle {\frac {x}{L_{0}}={\frac {4}{3}-{\frac {4}{3}{3{\sqrt {{\frac {FP}{k_{B}}T2}}+1}-{\frac {10e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B}T}{FP}}}}{{\sqrt {\frac {FP}{k_{B}T}}}\왼쪽(e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B})T}{FP}}}-1\오른쪽)^{2}}+{\frac {\좌측({\frac {FP}{k_{B})T}}\오른쪽)^{1.62}{3.55+3.8\좌({\frac {FP}{k_{B})T}}\오른쪽)^{2.2}}}}$

확장 가능한 웜 유사 체인 모델

외력으로 인해 폴리머가 길어지는 등 연장에 따른 탄력적 대응을 소홀히 할 수 없다. 이 엔탈피크 컴플라이언스는 재료 $매개변수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}}$ 0${\$에 대해 설명되며, 시스템은 상당히 확장된 폴리머에 대해 다음과 같은 해밀턴을 산출한다.

${\displaystyle H=H_{\rm {elastic}}+$$H_{\rm {enthalpic}+$$H_{\rm {외부}={\frac {1}{2}}k_{B}$$T\int _{0}^{$$L_{0}}P\cdot \left({\frac {\partial ^{2}}{\vec{r}}{\partial s^{2}}}\오른쪽)^{2}ds+{\frac {1}{1}{\frac {K_{$$0}}}}{{\precd}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{$$L_{0}}}x^{2}-xF$

이 표현에는 고분자 순응의 변화를 설명하는 등방성 용어와 외부 힘에 의한 중합체의 스트레칭을 설명하는 엔탈피크 용어가 모두 포함되어 있다. 적용된 외부 힘에 따라 힘 확장 거동에 대한 몇 가지 근사치가 제시되었다. 이러한 근사치는 생리적 조건(중립 pH, 이온 강도 약 100 mM, 실온)에서 DNA를 스트레칭하기 위해 만들어졌으며 스트레치 계수는 약 1000 pN이다.^[13][14]

저력체제(F < 약 10 pN)의 경우, 다음과 같은 보간식을 도출하였다.^[15]

${\$$T}}={\frac{1}{4}}\왼쪽(1-{\frac {x}{$$L_{0}}}+{\frac {F}{K_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}+{\frac {x}{{}}{-2}}{-2}-{\frac {1}{4}}}}{\frac {x}{}}}}}}{-}}}}}$$L_{0}}-{\frac {F}{K_{0$

중합체가 상당히 확장된 고력체제의 경우 다음과 같은 근사치가 유효하다.^[16]

${\$$T}{FP}}\오른쪽)^{1/2}+{\frac {F}{K_{0}}\오른쪽$ .

연장 없는 사례에 대해서는 보다 정확한 공식을 도출했다.^[4]

${\$$T}}={\frac {1}{4}\왼쪽(1-l\오른쪽)^{-2}-{\frac {1}{1}{4}+l+\sum _{i=2}^{i=7}\alpha _{i}\왼쪽(l\오른쪽)$$^{i$

$l{\displaystyle }$= ${\displaystyle x\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{0\mathrm{}}_{}}{}}$- ${\displaystyle F\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{{K\mathrm{}}_{}}{}}$ 0 ${\$ l$={\frac {x}{$$L_{0}}-{\frac {F}{K_{0$ $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 계수는$$ 탄성이 없는 WLC 모델에 대해 위에서 설명한 공식 중 하나와 동일하다.

확장 가능한 웜 유사 체인 모델의 힘 확장 및 힘 확장 행동에 대한 정확하고 간단한 보간 공식은 다음과 같다.^[12]

${\displaystyle {\frac {FP}{k_{B}T}}={\frac{1}{4}}\왼쪽(1-{\frac {x}{L_{0}}}+{\frac {F}{K_{0}}}\right)^{-2}-{\frac {1}{4}+{\frac {x}{{}}{-2}}{-2}-{\frac {1}{4}}}}{\frac {x}{}}}}}}{-}}}}}L_{0}}-{\frac {F}{K_{0}}-0.8\왼쪽({\frac {x}){L_{0}}-{\frac {F}{K_{0}}\오른쪽)^{2.15}$

${\displaystyle {\frac {x}{L_{0}}={\frac {4}{3}-{\frac {4}{3}{3{\sqrt {{\frac {FP}{k_{B}}T2}}+1}-{\frac {10e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B}T}{FP}}}}{{\sqrt {\frac {FP}{k_{B}T}}}\왼쪽(e^{\sqrt[{4}]{900{\frac {k_{B})T}{FP}}}-1\오른쪽)^{2}}+{\frac {\좌측({\frac {FP}{k_{B})T}}\오른쪽)^{1.62}{3.55+3.8\좌({\frac {FP}{k_{B})T}}\오른쪽)^{2.{{}}}+{\frac {F}{K_{0}}}}}}}$

참고 항목

• 이상 체인
• 고분자
• 고분자물리학

참조

추가 읽기

• Kratky, O.; Porod, G. (1949). "Röntgenuntersuchung gelöster Fadenmoleküle". Recueil des Travaux Chimiques des Pays-Bas. 68 (12): 1106–1123. doi:10.1002/recl.19490681203.
• Marko, J. F.; Siggia, E. D. (1995). "Stretching DNA". Macromolecules. 28 (26): 8759–8770. Bibcode:1995MaMol..28.8759M. doi:10.1021/ma00130a008.
• Bustamante, C.; Marko, J. F.; Siggia, E. D.; Smith, S. (1994). "Entropic elasticity of lambda-phage DNA". Science. 265 (5178): 1599–1600. Bibcode:1994Sci...265.1599B. doi:10.1126/science.8079175. PMID 8079175.
• Wang, M. D.; Yin, H.; Landick, R.; Gelles, J.; Block, S. M. (1997). "Stretching DNA with optical tweezers". Biophysical Journal. 72 (3): 1335–1346. Bibcode:1997BpJ....72.1335W. doi:10.1016/S0006-3495(97)78780-0. PMC 1184516. PMID 9138579.
• C. Bouchia 등, 1999년 1월 생물물리학 저널, 409-413, 제76권, 제1호, "힘-확장 측정에서 벌레와 유사한 체인 분자의 지속성 길이 추정"