영분할 그래프

수학에서, 그리고 좀 더 구체적으로 말하자면, 0분위수 그래프는 0분위수인 반지의 0분위수를 나타내는 비방향 그래프다.그것은 그것의 꼭지점으로서 고리의 요소들을 가지고 있고, 그것의 가장자리로 0인 원소들의 쌍을 가지고 있다.^[1]

정의

일반적으로 사용되는 0분위 그래프에는 두 가지 변형이 있다.벡(1988)의 원래 정의에서 정점은 반지의 모든 요소를 나타낸다.^[2]앤더슨 & 리빙스턴(1999년)이 연구한 후기 변종에서 정점들은 주어진 고리의 0점수만을 나타낸다.^[3]

예

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 반미숫자(두 개의 소수 산출물)인 경우 정수 $modulo{\displaystyle }$ n$${\$displaystyn}$의 링에 대한 영분위 그래프($$영분위수만 정점으로 표시)는 전체 그래프 또는 완전 쌍분위 그래프 중 하나이다.$일부$ 소수 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $p$$}$에 $대해$ n${\displaystyle }$= ${\displaystyle {p\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$이 경우 정점은 $모두{\displaystyle }$ p ${\displaystyle$ p$}$의 0이 아닌 배수이며$,$ 이 두 숫자의 곱 중 어느 것이든 0 modulo ${\displaystyle {p\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle {}_{}}$$2{\displaystyle {}^{}}$ ${\$}이다$.$$ystyle$ p$^{2$^[3]

It is a complete bipartite graph ${\displaystyle K_{p-1,q-1}}$ in the case that ${\displaystyle n=pq}$ for two distinct prime numbers ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle q}$. The two sides of the bipartition are the ${\displaystyle p-1}$ nonzero multiples of ${\displayst$$yle q}$과(와) ${\displaystyle \mathrm{q}}$- 1 ${\displaystyle q-1}$ 각각 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 0이$$ 아닌 배수$.$$한{\displaystyle }$ 숫자가 p ${\displaystyle p}$의 배수이고 $다른$ $하나가 q$${\displaystyle q}$의 배수인 경우에만$$ 두 $숫자(자체가$0 modulo $n{\displaystyle }$ ${\$displaystyn$\})$로 곱하므로 이 그래프는 양분 반대편의 각 정점 쌍 사이에 에지가 있다$.$다른 가장자리는 없다.보다 일반적으로, 0분할 그래프는 두 개의 통합 도메인의 제품인 모든 링에 대한 완전한 초당적 그래프다.^[3]

0-제품 그래프(점수 0을 정점으로 함)로 실현할 수 있는 유일한 사이클 그래프는 길이 3 또는 4의 사이클이다.^[3]0분위수 그래프로 실현될 수 있는 나무는 별(나무인 완전 양분 그래프)과 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$의 0분위수 그래프로 형성된 5분위수 트리뿐이다$.$^[1][3]

특성.

모든 원소를 포함하는 그래프 버전에서 0은 범용 정점이며, 0이 아닌 이웃이 있는 정점으로 구분할 수 있다.만능정점을 가지기 때문에 모든 고리 원소의 그래프는 항상 연결되어 있고 지름이 최대 2개까지 있다.모든 0분위기의 그래프는 통합 영역이 아닌 모든 링에 대해 비어 있지 않다.연결 상태를 유지하고, 직경이 최대 3개,^[3] (순환이 포함된 경우) 둘레가 최대 4개다.^[4][5]

일체형 영역이 아닌 링의 영분할 그래프는 링이 유한한 경우에만 유한하다.^[3]구체적으로는 그래프의 최대 도 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$이$($가) 있는 경우 링은 최대${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}\mathrm{2d}}$+ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$개 요소를$$ 갖는다.만약 반지와 그래프가 무한하다면, 모든 가장자리에는 무한히 많은 이웃이 있는 끝점이 있다.^[1]

벡(1988)은 (완벽한 그래프처럼) 영분할 그래프는 항상 같은 클라이크 수와 색수를 가지고 있다고 추측했다.그러나 이것은 사실이 아니다; 앤더슨 & 나세르(1993)에 의해 백범 샘플이 발견되었다.^[6]

참조