순환평균

수학 및 통계에서 원형 평균 또는 각도 평균은 주간 및 실제 숫자의 부분과 같은 유사한 주기적 양과 각도를 위해 설계된 평균이다.이것은 대부분의 통상적인 수단이 각도 같은 수량에 적절하지 않을 수 있기 때문에 필요하다.예를 들어 산술 평균 0°와 360°는 180°이므로 360°는 전체 사이클의 0°와 같기 때문에 오해의 소지가 있다.^[1]또 다른 예로, 오후 11시에서 새벽 1시 사이의 "평균 시간"은 두 시간이 하룻밤의 일부인지 아니면 달력의 일부인지에 따라 자정 또는 정오 중 하나이다.원형 평균은 원형 통계와 비유클리드 공간의 통계 중 가장 간단한 예 중 하나이다.

정의

산술 평균이 각도에 항상 적절한 것은 아니기 때문에, 다음 방법을 사용하여 각도의 분산에 대한 평균값과 측정을 모두 얻을 수 있다.

모든$$ 각도를 단위 원의 해당 점(예: $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha })$으로 변환하십시오$({\displaystyle \cos }$α${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \sin \alpha }$) ${\displaystyle(\cos \alpha,\sin \alpha$ $)\}).$즉 극좌표를 데카르트 좌표로 변환한다.그런 다음 이 점들의 산술 평균을 계산하십시오.결과 지점은 유닛 디스크 내에 위치한다.그 점을 극좌표로 다시 변환한다.각도는 입력 각도의 합리적인 평균이다.모든 각도가 같을 경우 결과 반경은 1이 된다.각도가 원에 균일하게 분포되어 있으면 결과 반경은 0이 되며, 원 평균은 없다.(사실 원상에서의 연속 평균 연산을 정의할 수 없다.)즉, 반지름은 각도의 농도를 측정한다.

각도가 $\alpha {\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, … , ${\displaystyle {\alpha n}_{}}${\$displaystyle \alpha _{1},\dots,\alpha$_{$n}$인 경우 아크탄젠트 함수의 atan2 변형을 사용하는 평균의 공통 공식은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)}$

또는 복잡한 숫자 사용:

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\arg \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)=\arg \left(\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)}$.

점의 산술적 수단을 사용하여 위의 파생을 일치시키려면 $합계$를 n ${\displaystyle n}($으)로 나누어야 하지만,$$$atan2}(으)$와 $($으$)$ {\$displaystyle \arg }$에 대해서는 스케일링이 중요하지 않으므로 생략할 수 있다$.$

이 계산은 산술 평균과 다른 결과를 산출하는데, 각도가 넓게 분포되어 있을 때 차이가 더 크다.예를 들어, 3각 0도, 0도, 90도의 산술 평균은 (0+0+90)/3 = 30도인데 벡터 평균은 26.565°이다.더욱이 산술 평균을 사용하는 경우 원형의 분산은 ±180°만 정의된다.

특성.

원형 평균 $\alpha {\displaystyle \stackrel{"}{}}$ ${\$

• 폰 미제스 분포의 평균 모수의 가능성을 최대화한다.
• 원의 특정 거리의 합을 더 정확하게 최소화한다.

${\displaystyle {\bar{\bar}}={\pairname {argmin}}}}}\sum _{j=1}^{nd(\fair_{j}),{\text{{{}여기서 }d(\varphi ,\cos)(\varphi -res).}$

$d{\displaystyle }$ (${\displaystyle \phi }$ ,${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle d(\varphi ,\beta )}$은 $\phi$ ${\displaystyle \varphi }$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$과(})와 연관된 단위 원의 두 점 사이의 제곱 유클리드 거리 절반과 같다$.$

예

일련의 각도의 평균을 계산하는 간단한 방법(구간[0°, 360°])은 각 각도의 코사인 및 씨인의 평균을 계산하고 역 탄젠트를 계산하여 각도를 구하는 것이다.다음의 세 각도를 예로 들어 보자: 10도, 20도, 30도.직관적으로, 평균을 계산하는 것은 이 세 각도를 함께 추가하고 3으로 나누는 것을 포함하는데, 이 경우 실제로 20도의 정확한 평균 각도가 된다.이 시스템을 반시계방향으로 15도 회전시키면 3각은 355도, 5도, 15도가 된다.산술 평균은 이제 125도인데, 이는 오답인 5도가 되어야 하기 때문이다.벡터 평균 ${\$${\$$theta}$은(는) 평균 $사인\stackrel{}{}$ s${\$ 및 평균$$ 코사인 $c\stackrel{}{}\text{'}$ $0$ 0 ${\textstyle {\c}\not =0}$을(를) 사용하여 다음과 같은 방법으로 계산할 수 있다$$$.$

${\displaystyle {\s}={\frac {1}{{\1}{3}(\sin(355^{\flict }})+++(5^{\sin(15^{\flict }}})={\frac {1}{1}{3}}(-0.087+087+0.87+0.259)\flici5)\pi5}\c)\frc)\c)\frac {1}개 정도의 약 0.08}$

${\displaystyle {\c}={\frac {1}{{\1}{{\1}}}}(\cos(355^{\flict })++++(5^{\cos(15^{\flict }}})={\frac {1}{3}(0.996+0).996+0.966)\ 약 0.986}$

${\displaystyle {\bar {\theta}=\왼쪽.{\begin{경우}\arctan \left({\frac{\bar{s}}{\bar{c}}}\right)&,{\bar{s}}>0,\{\bar{c}}>0\\\arctan \left({\frac{\bar{s}}{\bar{c}}}\right)+180^{\circ}&,{\bar{c}}<>0\\\arctan \left({\frac{\bar{s}}{\bar{c}}}\right)+360^{\circ}&,{\bar{s}}<>0,\{\bar{c}}>0\end{경우}}\right\}=\arctan \left({\frac{0.086}{0.986}}\right.)=\arctan(0.087)=5^{\circ}.}$

이것은 방향 데이터가 사실상 단위 길이의 벡터라는 것을 깨달음으로써 더 간결하게 진술될 수 있다.1차원 데이터의 경우, 이러한 ${\displaystyle \mathrm{데이터}}$ 포인트는 측정각인 $where$ ${\$$displaystyle z=\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )=e^{i\ta$ $}}$의 단위 규모 $z{\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$(\$displaysty$${\displaystyle }$$\ta$${\displaystyle )}$의 복잡한 숫자로 편리하게 나타낼 수 있다$.$표본의 평균 결과 벡터는 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathbf {\rho }}}}}}}}={\frac {1}{{N}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.}$

표본 평균 각도는 평균 결과물의 인수가 된다.

${\displaystyle {\theta }=\operatorname {Arg}({\overline {\mathbf{\rho}}}})}$

표본 평균 결과 벡터의 길이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\overline{R}}= {\overline {\mathbf {\rho}}}}}$

0과 1 사이의 값을 가질 것이다.따라서 표본 평균 결과 벡터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\mathbf {\rho}}}}}}}={\overline {R}\, e^{i{\overline {\theta}}}}.}$

유사한 계산이 원형 분산을 정의하는 데도 사용된다.

참고 항목

• 순환배분
• 원형표준편차
• 방향통계
• 중심
• 질량의 중심

참조

추가 읽기

잠말라마다카, S. 라오, 센굽타, A. (2001)싱가포르의 세계 과학 출판부 1.3의 순환 통계 항목.ISBN 981-02-3778-2

외부 링크

• C++11, C++11 기반수학 및 통계수학을 이용한 순환값 수학 및 통계