베르티니의 정리

수학에서 베르티니의 정리는 유제니오 베르티니가 도입한 대수학적으로 폐쇄된 분야보다 부드러운 투영적 다양성을 위해 매끄럽게 연결된 하이퍼플레인 단면을 위한 존재와 제네릭 정리다.이것은 구분자의 선형 시스템에 적용되는 "베르티니 이론" 중에서 가장 단순하고 넓은 것이다. 기초 영역의 특성에 제한이 없는 반면 확장은 특성 0을 요구하기 때문에 가장 간단하다.^[1][2]

매끄러운 품종의 하이퍼플레인 섹션에 대한 문장

X는 대수적으로 닫힌 분야에 걸쳐 매끄러운 준프로젝트 품종으로, 투사 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 내장되어 있다$.$ Let ${\displaystyle H}$ $displaystyle H}$는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$}}{n$\}\}\}.$ 이중 공간임을 상기한다$.{\displaystyle }$${\displaystyle {\mathbf{P}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$)$$\{\$displaystyle (\mathbf {P}^{n}^{$n$}}$의 P n ${\$ {P$}$$^{$$n$$}}}}}}}{$$n}}}}$에 대해 이형성이 있다$$$.$

베르티니의 정리는 X를 포함하지 않고 X와 매끄러운 교차점이 있는 하이퍼플레인의 집합이 디비저 $H$의 전체 시스템 중 개방된 밀도 부분집합을 포함하고 있다고 기술하고 있다$.$ X가 $투영적$이라면 세트 자체는 개방적이다.${\displaystyle 딤}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle \dim(X)\geq$ 2$\}$인 경우 이 교차점(X의 하이퍼플레인 섹션이라고 함)이 연결되므로 수정할 수 없다.

따라서 이 정리는 X와 같지 않은 일반 하이퍼플레인 섹션이 부드럽다고 주장한다. 즉, 평활성의 속성은 일반적이다.

임의 필드 k를 통해 이중 공간$({\displaystyle {}^{}{}^{}}$)$⋆{\$}^{n$}}^{\star }}})$의 밀도 높은 오픈 서브셋이 존재하며, 합리적인 지점이 X의 하이퍼플레인 평활면 섹션을 정의한다.k가 무한할 때, 이 오픈 서브셋은 무한히 많은 합리적 포인트를 가지고 있고 X에는 무한히 많은 매끄러운 하이퍼플레인 섹션이 있다.

유한한 분야에 걸쳐 위의 개방된 부분집합은 합리적인 포인트를 포함하지 않을 수 있으며 일반적으로 X와 매끄러운 교차점을 갖는 하이퍼플레인은 없다.그러나 우리가 충분히 큰 정도의 초급자세를 취한다면, 베르티니의 정리는 그대로 유지된다.^[3]

증빙 개요

x × × H {\$displaystyle$ X$\\time$H$}$ 제품 품종의 하위 교정을 x ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ x$\in X}$ 위에$$ 있는 섬유$$ X ${\displaystyle \times }$ X {\displaystyle x\in X} x에서 X를 비역행적으로 교차하는 하이퍼플레인의 선형 시스템을 ${\displaystyle 고려}$한다.

제품의 진동 등급은 $X{\displaystyle }$⊂ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$ X$\subset$ {$p} ^{n$의 코디미션보다 1이 작으므로 전체 공간은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $n$$}$보다 작은 치수를 가지며$$, 따라서 투영법은 전체 ${\displaystyle 시스템}$ H $displaystyle$ H$}$의 디비저에 포함된다$.$

일반명세서

특성 0의$$ 무한 필드 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 걸쳐, X가 부드러운 준 $투영{\displaystyle }$ k$${\$displaystyle$k} -변수인$$ 경우, X에 있는 다이비저의 선형 시스템의 일반 구성원은 시스템의 기저 위치로부터 매끄럽게 떨어져 있다.For clarification, this means that given a linear system ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbf {P} ^{n}}$, the preimage ${\displaystyle f^{-1}(H)}$ of a hyperplane H is smooth -- outside the base locus of f -- for all hyperplanes H in some dense open subset of the dual projective space ${\displaystyle ({\mathbf{P}}^n}$$){\$ $\}\}\}\}.$ 이 정리는 선형 시스템 f가 비문형화되었을 때 특성 p>0에도 유지된다.^[4]

일반화

베르티니의 정리는 다양한 방법으로 일반화되었다.예를 들어 스티븐 클레이먼에 의한 결과는 다음과 같이 주장한다(cf).클레이만의 정리: 연결된 대수군 G와 모든 동질 G-변수 X, 그리고 X에 대한 두 가지 변종 Y와 Z 매핑에 대해서는, Y를^σ Y에 작용하게 하여 얻은 품종이 되게 한다.그 다음, g dense H, Y ${\displaystyle {\sigma }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle Y^{\sigma }\time _{X}Z}$이(가) 비어 있거나 (예상) 치수 딤 Y + 딤 Z - 딤 X의 순전히 비어 있는$$ G의 밀도가 있다.또한 Y와 Z가 매끄럽고 베이스 필드의 특성이 0이라면, Y $\sigma {\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle$Y^{\$sigma }\time _{X}Z}$가 모든$$ σ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma \in H$에도 매끄러워지도록 H를 취할 수 있다.위의 베르티니의 정리는 $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$ X$=\mathb {P}^{n}}}$이(가) 상위 삼각형 행렬의 포물선 부분군에 의해 SL의_n 몫으로 표현되는$$ 특수한 경우, Z는 하위변수, Y는 하이퍼플레인이다.^[5]

베르티니의 정리도 이산 평가 영역이나 유한 분야, 또는 X의 에테일 커버에 대해 일반화되었다.

그 정리는 종종 유도 단계에 사용된다.

참고 항목

• 그로텐디크의 연결성 정리

메모들

참조

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• 베르티니와 그의 두 가지 근본적인 이론은 에우제니오 베르티니의 삶과 작품에 관한 스티븐 L. 클레이먼이다.