세포근사정리

대수적 위상, 세포 근사치 정리에서는 CW 복합체 사이의 지도를 항상 특정 유형으로 취할 수 있다.Concretely, if X and Y are CW-complexes, and f : X → Y is a continuous map, then f is said to be cellular, if f takes the n-skeleton of X to the n-skeleton of Y for all n, i.e. if ${\displaystyle f(X^{n})\subseteq Y^{n}}$ for all n.세포 근사치 정리의 내용은 CW 콤플렉스 X와 Y 사이의 모든 연속 지도 f : X → Y가 세포 지도와 동일시된다는 것이며, 만약 f가 이미 X의 하위 콤플렉스 A에 세포가 있다면, 우리는 나아가 호모토피를 A에 정지하도록 선택할 수 있다.대수학적 위상학적 관점에서 CW 복합체 사이의 지도는 따라서 세포로 간주될 수 있다.

증거 아이디어

그 증거는 f가 골격 X에ⁿ 세포라는 문구와 함께 n 다음에 유도를 통해 주어질 수 있다.base case n=0의 경우 Y의 모든 경로 구성요소는 0 셀을 포함해야 한다는 점에 유의하십시오.따라서 X의 0셀 아래의 이미지는 경로에 의해 Y의 0셀에 연결될 수 있지만, 이것은 X의 0-골격에 있는 셀룰러 지도에 f의 호모토피를 제공한다.

f는 X의 (n - 1)-골격에 셀룰러라고 귀납적으로ⁿ 가정하고 e는 X의 n-셀이 되게 한다.e의ⁿ 폐쇄는 X에서 콤팩트하며, 셀의 특성 맵의 이미지가 되며, 따라서 eⁿ under f에서도 콤팩트하다.그런 다음, CW 복합체의 어떤 소형 하위공간이 단지 단지의 많은 셀과 만나는 것(즉, 비지속적으로 교차하는 것)은 CW 복합체의 일반적인 결과물이다.따라서 f(eⁿ)는 Y의 가장 미세하게 많은 셀을 만나므로, 우리는 e ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ Y ${\displaystyle e^{k}\subseteq Y}$를 f(eⁿ)를 만나는 가장 높은 차원의 셀로 받아들일$$ 수 있다.$만약{\displaystyle }$ k ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle k\leq$ n$}$이$($$가$) 있다면, 지도 f는 이미 e에ⁿ 셀룰러로 되어 있는데, 이 경우 Y의 n-골격의 세포만이 f(eⁿ)를 만나므로, 우리는 k > n을 가정할 수 있다.그런 다음 f to $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ X$^{n-1}\컵 e^{n}}$의 제한이 포인트 p e^k e가 누락된 지도에 대해^n-1 X에 비례하여 균일하게 적용될 수 있는$$ 것은 기술적, 비경쟁적 결과(Hatcher 참조)이다.Y^k - {p} 변형이 하위 공간 Y-e로^kk 수축되기 때문에 g(eⁿ)가 여전히 X에^n-1 상대적인 Y의 셀 e를^k 놓치는 속성으로 지도에 대한$$ f - X ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\$ e$^{n}$의 제한을 더욱 강화할 수 있다.f(eⁿ)는 Y의 미세하게 많은 세포만을 만나 시작했기 때문에, 우리는 이 과정을 세밀하게 여러 번 반복하여 $f{\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$) ${\displaystyle f(e^{n}})$가 n보다 큰 차원의 Y의 모든 세포를 놓치게$$ 할 수 있다.

우리는 이 과정을 X의 모든 n-세포에 대해 반복해서 반복해서 f가 이미 세포가 있는 하위 복합 A의 세포들을 고정시키고, 따라서 우리는 X의ⁿ (n - 1)-골격 X와 A의 n-세포에 상대적인) 호모토피 (X의 (n - 1)-골격과 관계되는)를 얻는다.그러면 호모토피 확장 특성을 사용하여 이를 모든 X의 호모토피로 확장하고 이 호모토피들을 함께 패치하면 그 증거가 완성된다.자세한 내용은 해처에게 문의하십시오.

적용들

일부 호모토피 그룹

세포 근사치 정리는 일부 호모토피 그룹을 즉시 계산하는 데 사용될 수 있다.특히, 만약 n<>k,{\displaystyle n<, k,}그때π n(Skm그리고 4.9초 만))0.{\displaystyle \pi_{n}(S^{k})=0.}에게 안부 전해 줘Sn{\displaystyle S^{n}}과 Sk{\displaystyle S^{km그리고 4.9초 만}}그들의 정준 CW-structure, 한 0-cell, Sn{\displaystyle S^{n}한 n-cell}과k-cell까지 항의라도 함께 한다.r${\displaystyle S^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$. ${\displaystyle S^{k}}$ $지도{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle S^{}}$ ${\displaystyle n^{}{}^{}}$→ S ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ S$^{n}\to S^{k}}}}}$을(를) 보존하는 모든$$ 베이스 포인트는 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$, ${\displaysty$ S$^{k}$의 n-sk}에 이미지가 있는 맵에 균일하게 된다$$$$.즉, 그러한 지도는 모두 무효다.

쌍에 대한 셀룰러 근사치

렛 f:(X,A)→(Y,B) CW-pares의 지도, 즉 f는 X에서 Y까지의 지도로, f 아래의 $A{\displaystyle }$ under ${\$의 이미지가 B 내부에 위치한다.그러면 f는 세포 지도(X,A)→(Y,B)로 동일시된다.이를 확인하려면 f를 A로 제한하고 셀룰러 근사치를 사용하여 A의 셀룰러 지도에 f의 호모토피를 얻으십시오.호모토피 확장 특성을 사용하여 이 호모토피를 X 전체로 확장하고, 셀룰러 근사치를 다시 적용하여 X에서는 지도 셀룰러를 얻지만 A에서는 셀룰러 특성을 위반하지 마십시오.

As a consequence, we have that a CW-pair (X,A) is n-connected, if all cells of ${\displaystyle X-A}$ have dimension strictly greater than n: If ${\displaystyle i\leq n\,}$, then any map ${\displaystyle (D^{i},\partial D^{i})\,}$→(X,A) is homotopic to a cellular map of pairs, and since the n-skX의 일렉톤은 A 안에 위치하며, 그러한 지도는 이미지가 A에 있는 지도와 동일시적이므로 상대 호모토피 그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle A}$) ${\$에서 0이다$.$
We have in particular that ${\displaystyle (X,X^{n})\,}$ is n-connected, so it follows from the long exact sequence of homotopy groups for the pair ${\displaystyle (X,X^{n})\,}$ that we have isomorphisms ${\displaystyle \pi _{i}(X^{n})\,}$→${\displaystyle$$\pi _{i}(X)\,}$ < ${\$ 및 surjection ${\displaystyle {\pi n}_{}}$(${\displaystyle {Xn}^{}}$) ${\$${\displaystyle X}$$^{n$ →${\displaystyle {}_{}}$\$pi _{n($X$)\backslash ,\}.$

CW 근사치

모든 공간에 대해 X는 CW 복합 Z와 X에 대한 CW 근사치라고 불리는$$ 약한 호모토피 동등성 $f{\displaystyle }$:${\displaystyle Z}$ → ${\displaystyle X}$ $[\displaystyle f\colon$ Z$\to$ X$]$를 구성할 수 있으며, 이는 약한 호모토피 동등성이기 때문에 X의 동종학 및 동일성 그룹에 이형성을 유도한다.따라서 흔히 CW 근사치를 사용하여 일반 문구를 CW 복합체에만 관련된 단순한 버전으로 줄일 수 있다.

도록 지도(fi)CW근사skeleta Z나는}Z{Z\displaystyle}의{\displaystyle Z_{나는}에 유도, 생성된다 ∗:π k(Z나는)→π k(X){\displaystyle(f_{나는})_{*}\colon \pi _ᆱ(Z_{나는})\to \pi _ᆲ(X)}은 동형에 k<나는{\displaystyle k<, 나는}고 위로에 k)나는$[\displaystyle k=i}($모든 기준점에 대해).${\displaystyle {그런}_{}}$ 다음 Zi${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$를 Zi ${\$에서 (모든 기준점에 대해) 셀을 부착하여 제작한다$$.

• $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$(${\displaystyle {Zi}_{}}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}_{}}$ i ( ${\displaystyle X}$)의 커널을 생성하는$$ 매핑 ${\displaystyle {Si}^{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${\displaystyle {displaystyle}_{}}$ S$^{i}\i$$}\\displaystyle \pi _{i}\pi _${i}\pi $$_${i}(X)$에 첨부되며 해당 스피어이드의 수축에 의해 X에 매핑된다.
• are attached by constant mappings and are mapped to X to generate ${\displaystyle \pi _{i+1}(X)}$ (or ${\displaystyle \pi _{i+1}(X)/(f_{i})_{*}(\pi _{i+1}(Z_{i}))}$ ).

휴대 근삼을 보장하는 것(i+1)-cells을 추가하는π k에 영향을 미치지 않는다고(Z나는)→≅ π k({\displaystyle \pi_{k}(Z_{나는}){\stackrel{\cong}{\to}}\pi _ᆲ(X)}에 k<나는{\displaystyle k<, 나는}는 동안π 나는(Z나는){\displaystyle \pi_{나는}(Z_{나는})}을 가져오수치로 학급을 수 있다.attachment mappings ${\displaystyle S^{i}\to Z_{i}}$ of these cells giving ${\displaystyle \pi _{i}(Z_{i+1}){\stackrel {\cong }{\to }}\pi _{i}(X)}$. Surjectivity of ${\displaystyle \pi _{i+1}(Z_{i+1})\to \pi _{i+1}(X)}$건설의 두 번째 단계에서부터 명백하다.

참조

• Hatcher, Allen (2005), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1