다중 아파트 모델

다중 컴파트먼트 모델은 시스템의 컴파트먼트들 사이에서 물질이나 에너지가 전달되는 방식을 설명하는데 사용되는 수학 모델의 한 유형이다. 각 구획은 모델링 대상 실체가 동등한 균일한 실체로 가정한다. 예를 들어, 약동학 모델에서 구획은 약물의 농도가 균일하게 동일하다고 가정되는 신체 내의 다른 부분을 나타낼 수 있다.

따라서 다중 구획 모형은 집합 모수 모형이다.

다중 아파트 모델은 약동학, 역학, 바이오의학, 시스템 이론, 복잡성 이론, 공학, 물리학, 정보과학, 사회과학을 포함한 많은 분야에서 사용된다. 회로 시스템은 다중 아파트 모델로도 볼 수 있다.

시스템 이론에서, 그것은 컴파트먼트에 대한 입력 신호를 처리하는 방식과 관련하여 동등한 요소 집단을 나타내는 컴파트먼트의 네트워크 설명을 포함한다.

• "아파트" 내에서 재료 또는 에너지의 즉각적인 균질 분포.
• 컴파트먼트 사이의 재료나 에너지의 교환율은 이 컴파트먼트의 밀도와 관련이 있다.
• 보통 자재들은 구획간에서 전달하면서 화학반응을 일으키지 않는 것이 바람직하다.
• 세포의 농도가 관심의 대상인 경우, 일반적으로 부피는 시간이 지남에 따라 일정하다고 가정하지만, 실제로는 완전히 사실이 아닐 수 있다.

가장 일반적으로 다중 구획 모형의 수학은 한 구획 내에서 집중도와 같은 단일 매개변수만 제공하도록 단순화된다.

단일 아파트 모델

다중 컴파트먼트 모델의 가장 단순한 적용은 단일 셀 농도 모니터링에 있다(위 그림 참조). 셀의 부피가 V이고, 솔루트의 질량이 q이고, 입력이 u(t)이고, 용액의 분비가 셀 내의 밀도에 비례하는 경우, 셀의 C의 시간 경과에 따른 셀 내 용액의 농도는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}q}{\mathrm {d} t}=u(t)-kq}$

${\displaystyle C={\frac {q}{V}}}$

여기서 k는 비례성이다.

다중 아파트 모델

구획의 수가 증가함에 따라 모델은 매우 복잡할 수 있고 해결책은 보통 계산을 초월한다.

n-셀 다중 컴파트먼트 모델의 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{1}=q_{1}k_{11}+q_{2}k_{12}+\cdots +q_{n}k_{1n}+u_{1}(t)\\{\dot {q}}_{2}=q_{1}k_{21}+q_{2}k_{22}+\cdots +q_{n}k_{2n}+u_{2}(t)\\\vdots \\{\dot {q}}_{n}=q_{1}k_{n1}+q_{2}k_{n2}+\cdots +q_{n}k_{nn}+u_{n}(t)\end{aligned}}}$

어디에

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{0}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$ 0$=\sum _{i=1}^{n}{k_{ij}}:$ $j{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j=1$,2$,\ij}$에 $$대한 (모든 칸의 총 'contents'이 닫힌 시스템에서 일정하므로)

또는 행렬 형식:

${\displaystyle \mathbf {\dot {q} =\mathbf {Kq} +\mathbf {u}}$

어디에

K)[k11k12⋯ k1nk21k22⋯ k2n⋮ ⋮⋱ ⋮ kn1kn2⋯ knn]q)[q1q2⋮ qn]ux[u1(t)u2(t=⋮ 너 n(t)]{\displaystyle \mathbf{K}={\begin{bmatrix}k_{11}&, k_{.12}&\cdots &, k_{1n}\\k_{21}&, k_{22}&, \cdots, k_{2n}\\\vdots, \vdots & &, \ddots &, \vdots \\k_{n1}& &, k_{n2}&, \cdots &, k_{nn}\\\end{bmatrix}}}{q}={\begin{bmatrix}q_{1}\\q_{2}\\\vdots \\q_{n}\end{bmatrix}\mathbf}}과 11⋯ -LSB-{u}=ᆺu_ᆻ(t)\\u_ᆼ(t)\\\vdots \\u_ᆽ(t)\end{bmatrix}\mathbf.1]K)[00⋯ 0].${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\cdots &1\\\end{bmatrix}\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}($모든 컴파트먼트의 총 '내용'이 닫힌 시스템에 일정하므로)

$폐쇄형{\displaystyle \mathbf{}}$ 시스템${\displaystyle (\mathrm{아래}}$ 참조)의 특수한 $경우$, 즉 u $=$0 {\displaystyle \$mathbf {u} =0})$에는 일반적인 솔루션이 있다.

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

Where ${\displaystyle \lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}}$, ... and ${\displaystyle \lambda _{n}}$ are the eigenvalues of ${\displaystyle \mathbf {K} }$; ${\displaystyle \mathbf {v_{1}} }$, ${\displaystyle \mathbf {v_{2}} }$, ... and ${\disp$$레이스타일 \mathbf{v_{n}}}}}}$은(는) $K{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ ;의 각각의 고유 벡터로서$$, $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $c_$${1$ $c{\displaystyle {}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$${n$$\},$ ...., c${$은 $상수$이다.

하지만 그 중 λ=0{\displaystyle \lambda =0}또는[11⋯ 1]v=0{\displaystyle{\begin{bmatrix}1&, 1&, \cdots &, 1\\\end{bmatrix}}\mathbf{v}=0} 요건의 닫힌 계의 'contents의 끊임 없는, 고유 값과 eigenvector의 모든 한쌍을 충족하도록 표시할 수 있다.그리고 또한 $1개$의 고유값이 0이라고 가정할 때, ${\displaystyle {1개}_{}}$의 $고유값은 0이다.$

그렇게

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}\mathbf {v_{1}{1}{2}e^{\c_{2}\mathbf {v_{2}} +\c_{n}e^{n}}}}+\c_{n}e^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

= 0 ${\displaystyle {\displaystyle {\bmatrix}1&\cdots$ &$1\\\$$end${bmatrix}\mathbf {$v_{i}}}$ = $0$$}$ = ${\displaystyle 2}$,$$, n${\displaystyle }$… ${\displaystylease \mathbf {i}$

이 솔루션은 다음과 같이 재배열할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf{q}={\Bigg[}\mathbf{v_{1}}{\begin{bmatrix}c_{1}&0&, \cdots &, 0\\\end{bmatrix}}+\mathbf{v_{2}}{\begin{bmatrix}0&, c_{2}&\cdots &, 0\\\end{bmatrix}}+\dots +\mathbf{v_{n}}{\begin{bmatrix}0&, 0&, \cdots &, c_{n}\\\end{bmatrix}}{\Bigg]}{\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda_{2}t}\\e^{\lambda_{n}t}\\\vdots.\\\end{bmatrix}}}$

이 다소 비우량 방정식은 입력이 일정하거나 없는 n-셀 다중 컴파트먼트 모델의 모든 솔루션이 다음과 같은 형태임을 보여준다.

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}1\\e^{2}t}\\\vdots \\\\\e^{n}t}\end{bmatrix}}}}}}$

여기서 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$displaystyle$ $\mathbf {A}}$은(는) nxn 매트릭스이고$$ $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\lambda _{$n}는 ${\displaystyle {상수}_{}}$이다. 여기서[ =[ {\$displaystyle {\begin{bmatrix}1&#1$&\$cdots &1\\\end{bmatrix}\mathbf {A}$ = ${\begin{bmatrix}a&#0&\end{bmats}}}}}}}}}}}}}}.$

모형 위상

일반적으로 말해서, 구획의 수가 증가함에 따라, 모델의 대수적 해법과 수치적 해법 모두를 찾는 것은 어려운 일이다. 그러나, 토폴로지가 해결책을 찾기 쉬워지는 특정한 규칙성을 보여줄 때, 자연에서는 거의 존재하지 않는 특별한 모델 사례가 있다. 모델은 셀의 상호연결 및 입출력 특성에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

1. 닫힌 모델: 싱크나 선원이 없음, 점등됨. 모든_oi k = 0 및_i u = 0;
2. 개방형 모델: 세포 사이에는 싱크대나/및 공급원이 있다.
3. Catrene 모델: 모든 칸은 체인으로 배열되어 있고, 각 칸은 이웃과만 연결되어 있다. 이 모델은 두 개 이상의 셀을 가지고 있다.
4. 순환 모형: 1차 세포와 마지막 세포가 연결된 세포가 3개 이상 있는 특수한 경우, 즉 k_1n≠ 0 또는/k_n1/ 0이다.
5. 유방 모형: 중앙 구획에 연결된 주변 구획이 있는 중심 구획으로 구성된다. 다른 구획들 사이에는 상호연결이 없다.
6. 축소 가능한 모형: 그것은 연결되지 않은 모델들의 집합이다. 그것은 나무를 배경으로 한 숲의 컴퓨터 개념과 매우 유사하다.

참고 항목

• 수학적 모형
• 바이오메디컬 엔지니어링
• 생물학적 뉴런 모델
• 역학에서 구획 모형
• 생리학적 기반 약동학적 모델링

참조

• Godfrey, K, Cassival Models and The Applications, Academic Press, 1983년 ( ISBN0-12-286970-2).
• 앤더슨, D. H., 컴파트먼트 모델링 및 트레이서 키네틱스, 생체역학 #50, 1983(ISBN 0-387-12303-2)의 스프링거-버락 강의 노트.
• Jacquez, J. A. 생물학 및 의학 부문 분석, 제2편, 1985년 미시건 대학 출판부.
• Evans, W. C, 선형 시스템, 구획 모델링 및 IAQ 연구의 추정성 문제, Tichenor, B, ASTM STP 1287, 페이지 239–262, 1996(ISBN 0-8031-20303)의 실내 공기 오염 및 관련 싱크 효과 특성화 소스.