단조함수에 대한 번스타인의 정리

수학의 한 분야인 실제 분석에서 번스타인의 정리는 완전히 단조로운 반선[0, ∞]의 모든 실제 가치 함수는 지수 함수의 혼합이라고 말한다.하나의 중요한 특별한 경우 혼합물은 가중 평균 또는 기대값이다.

함수 f의 총단조성(때로는 완전한 단조함수)은 f가 [0, continuous]에 연속되고, (0, on)에 무한히 차이가 있으며, 만족함을 의미한다.

${\displaystyle(-1)^{n}{\frac {d^{n}{dt^{n}f(t)\geq 0}$

모든 음이 아닌 정수 n 및 모든 t > 0에 대해.또 다른 관습은 위의 정의에 반대되는 불평등을 둔다.

"가중평균" 문장은 다음과 같이 특징 지을 수 있다: [0, ∞]에 다음과 같은 누적분포함수 g를 갖는 비 음의 유한 보렐 측정치가 있다.

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infit }e^{-tx}\,dg(x),}$

리만-스티엘트제스 일체형.

좀 더 추상적인 언어로, 정리는 [0, on]에 대한 양성 보렐 측정의 라플라스 변환의 특징을 나타낸다.이 형식에서는 번스타인-위더 정리 또는 하우스도르프-번스타인-위더 정리라고 알려져 있다.Felix Hausdorff는 일찍이 완전히 단조로운 시퀀스를 특징지었다.이것들은 하우스도르프 순간 문제에서 발생하는 순서들이다.

번스타인 함수

파생상품이 완전히 단조로워진 비부정함수를 번스타인함수라고 부른다.모든 번스타인 함수는 레비-킨친치네 표현을 가지고 있다.

${\displaystyle f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infit }(1-e^{-tx})\,\mu(dx),}$

$여기$서${\displaystyle ,}$ a , ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a,b\geq$ 0$}$ 및 $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은 다음과 같은 양의 실제 반선에 대한 측정값이다$$.

${\displaystyle \int _{0}^{\inflt }(1\buffer x)\,\mu(dx)\inflt.}$

참조

• S. N. Bernstein (1928). "Sur les fonctions absolument monotones". Acta Mathematica. 52: 1–66. doi:10.1007/BF02592679.
• D. Widder (1941). The Laplace Transform. Princeton University Press.
• Rene Schilling, Renming Song and Zoran Vondracek (2010). Bernstein functions. De Gruyter.

외부 링크

• 완전한 단일 함수에 대한 MathWorld 페이지