결합점

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미분 기하학에서 결합점 또는 초점은^[1] 대략 1-모수 지질학 계열에 의해 결합될 수 있는 지점이다.예를 들어 구체에서는 북극과 남극이 어떤 자오선으로도 연결되어 있다.또 다른 관점은 결합 지점이 지오데이션이 길이 최소화에 실패하는 때를 말해준다는 것이다.모든 지오디컬은 국소적으로 길이를 최소화하지만, 전 세계적으로는 그렇지 않다.예를 들어 구체에서 북극을 통과하는 지오디컬은 남극에 도달할 수 있도록 확장될 수 있으며, 따라서 극을 연결하는 지오디컬 세그먼트는 전지구적으로 길이를 최소화하지 않는다(특이하게).이것은 표준 2-sphere에 있는 모든 항정신병 포인트 쌍이 결합 포인트라는 것을 말해준다.^[2]

정의

p와 q가 리만 다지관의 점이고, $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$이(가) p와 q를 연결하는 지오데틱이라고 가정하자.$그런{\displaystyle }$ 다음 p와 q에서 사라지는$$ ${\displaystyle \gamma}$을(를) 따라 0이 아닌 자코비 필드가 있는 경우$$ p와 q는 $conju$을 따라 결합 포인트다$.$

Jacobi 필드는 지오데틱 변동의 파생물로 기록될 수 있다는 점을 기억하십시오(Jacobi 필드에 대한 기사 참조).따라서 p와 q가 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$을 따라 결합되어 있다면 p에서 시작하여 q에서 거의 끝나는 지질학 계열을 구성할 수 있다$.$In particular, if ${\displaystyle \gamma _{s}(t)}$ is the family of geodesics whose derivative in s at ${\displaystyle s=0}$ generates the Jacobi field J, then the end point of the variation, namely ${\displaystyle \gamma _{s}(1)}$, is the point q only up to first order in s.따라서 두 점이 결합되어 있다면, 두 개의 뚜렷한 지오데믹이 결합되어 있을 필요는 없다.

예

• 구체 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 반향점들은 결합점이다.
• $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에는 결합점이 없다$.$
• 비양성 단면 곡률을 가진 리만 다지관에는 결합점이 없다.

참고 항목

• 절단 로커스
• 자코비 필드

참조