*-일반 카테고리

수학에서 *-자율("별-자율" 읽기) 범주 C는 이원화 객체 $⊥{\displaystyle \bot }$가 장착된 대칭 단노이드 폐쇄 범주로서$,$ 베르디에 이중성의 개념과 관련성이 있다는 관점에서 Grotendieck—Verdier 범주라고도 한다.

정의

C를 대칭 단면체 폐쇄 범주로 한다.모든 객체 A 및${\displaystyle \mathrm{}}$and ${\displaystyle \bot }$에 대해$,$ 형태론이 존재한다.

${\displaystyle \partial _{A,\bot }:A\to(A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot }$

단면 폐쇄를 정의하는 바이어싱에 의해 이미지로 정의됨

${\displaystyle \mathrm {Hom}(A\Rightarrow \bot )\otimes A,\bot )\cong \mathrm {Hom}(A, (Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot )}$

형태주의의

${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,A\Rightarrow \bot \circular \chosts A\to \bot }$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은 텐서 제품의 대칭이다.${\displaystyle {연관}_{}}$된 형태론 $\partial {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ A ,${\displaystyle {\mathrm{\perp }}_{}}$ ${\$이(가) 범주 C의 모든 개체 A에 대한 이형성일 때 범주 C의 개체 $\perp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \bot$ }을$($를) 이원화라고 한다.

Equivalently, a *-autonomous category is a symmetric monoidal category C together with a functor ${\displaystyle (-)^{*}:C^{\mathrm {op} }\to C}$ such that for every object A there is a natural isomorphism ${\displaystyle A\cong {A^{**}}}$, and for every three objects A, B and C there is a n무농축 바이어스

${\displaystyle \mathrm{H}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle B}$, C ${\displaystyle {\ast }^{}}$ )${\displaystyle {}^{}\cong }$ ${\displaystyle H\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$(${\displaystyle A}$, ${\displaystyle (B}$ ${\displaystyle \otimes }$ C${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle \mathrm {Hom}(A\otimes B,C^{*})\congmatrmatr {Hom}(A,$ ($B\otimes C$

그런 다음 C의 이원화 객체는 $\perp {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$로 정의된다$.$ 두 정의의 동등성은 A${\displaystyle {}^{}}$∗${\displaystyle {}^{}}$= A ⇒ = ${\displaystyle A}$ ⊥$\$ {\$displaystyle$ A$^{*}=A$\Rightarrow $\bot }}$을 확인하여 나타난다$.$

특성.

컴팩트하게 닫힌 범주는 *자율적이며, 단면체 단위를 이중화 객체로 한다.반대로, *자율 범주의 단위가 이원화 객체인 경우, 표준적인 지도 계열이 있다.

${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}(}$ → (${\displaystyle B{}^{}}$ A ) ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ A$^{*}\otimes$ B$^{*}\to$ ($B\otimes$ A$)^{*}}}}}}.$

*자율 범주가 콤팩트하게 닫힌 경우에만 이 모든 것이 이형성이다.

예

익숙한 예는 벡터 공간의 일반적인 텐서 곱으로 단면체로 만들어진 어떤 필드 k에 걸친 유한차원 벡터 공간의 범주다.이원화 물체는 k, 1차원 벡터 공간이며, 이원화는 전치(轉治)에 해당한다.k에 걸친 모든 벡터 공간의 범주는 *자율적이지 않지만, 위상학적 벡터 공간의 범주에 대한 적절한 확장은 *자율적으로 만들어질 수 있다.

한편 위상 벡터 공간의 범주에는 극히 넓은 전체 하위 범주인 고정관념 공간의 범주 Ste가 포함되어 있는데, 이는 이원화 객체 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$와 텐서 제품${\displaystyle }${ ${\displaystyle \circircleast }$이(가)가 있는 *자율 범주다$.$

선형 논리학의 다양한 모델은 *자율적 범주를 형성하고 있으며, 그 중 가장 초기 모델은 장-이브 지라드의 일관성 공간 범주였다.

모든 조인을 보존하지만 반드시 충족되지는 않는 형태론을 가진 완전한 반자동의 범주는 두 요소의 체인을 이원화기로 *자율적이다.변질된 예(대부분의 카디널리티의 모든 호몰세트)는 텐서 제품을 위한 접속사를 사용하여 0을 이원화하는 개체로 하여 만들어진 부울 대수(부분 순서 집합으로)에 의해 주어진다.

베르디에 이중성의 형식주의는 *자율적 범주의 더 많은 예를 제공한다.예를 들어, 보야첸코 & 드린펠트(2013)는 대수적 다양성에 대한 구성 가능한 l-adic sheaves의 경계 파생 범주가 이러한 속성을 가지고 있다고 언급한다.추가 예로는 다양한 종류의 위상학적 공간에 건설 가능한 피복의 파생 범주를 포함한다.

*자율적이지 않은 자기 이중 범주의 예로는 유한 선형 순서와 연속 함수를 들 수 있으며 *는 있지만 자율적이지 않다: 그것의 이원화 객체는 2요소 체인이지만 텐서 제품은 없다.

세트와 부분주사의 범주는 후자의 역이 다시 부분주사이기 때문에 자가주사다.

*자율 범주의 개념은 1979년 마이클 바에 의해 그 제목의 모노그래프에서 소개되었다.Bar는 V-카테고리, 대칭 단면체 또는 자율 범주 V로 강화된 범주의 보다 일반적인 상황에 대한 개념을 정의했다.위의 정의는 사례 V = 일반 범주의 집합에 대한 바의 정의를 전문으로 하며, 호몰 객체가 (모형성의) 형태를 이루는 범주의 집합이다.Barr의 모노그래프에는 그의 제자 Po-Hsiang Chu의 부록이 포함되어 있는데, Barr이 풀백으로 모든 대칭 단면체 범주 V에 대해 비독점 *자율 V 범주의 존재를 보여주었기 때문에, 그의 사물은 10년 후에 Chu 스페이스로 알려지게 되었다.

비대칭 케이스

반드시 대칭이 아닌 쌍끌이 모노이드 범주 C에서는 쌍끌이 객체를 정의한 다음 *자율 범주를 쌍끌이 객체를 가진 쌍끌이 모노이드 범주로 정의할 수 있다.그것들은 대칭 사례에서와 같이 동등한 정의들이다.

참조

• Michael Barr (1979). *-autonomous Categories. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 752. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0064579. ISBN 978-3-540-09563-7.
• Michael Barr (1995). "Non-symmetric *-autonomous Categories". Theoretical Computer Science. 139: 115–130. doi:10.1016/0304-3975(94)00089-2. S2CID 14721961.
• Michael Barr (1999). "*-autonomous categories: once more around the track" (PDF). Theory and Applications of Categories. 6: 5–24.
• Boyarchenko, Mitya; Drinfeld, Vladimir (2013), "A duality formalism in the spirit of Grothendieck and Verdier", Quantum Topology, 4 (4): 447–489, arXiv:1108.6020, doi:10.4171/QT/45, MR 3134025

• nLab의 항성-자율+카테고리