가치 없는 게임

수학적 게임 이론, 특히 제로섬 연속 게임에 대한 연구에서는 모든 게임이 미니맥스 값을 갖는 것은 아니다.이는 둘 다 완벽한 전략(특정 PDF 중에서 선택하는 것)을 구사할 때 한 선수에게 기대되는 값이다.

이 글은 아무런 가치도 없는 제로섬 게임의 예를 제시한다.시온과 울프 덕분이다.^[1]

순수 전략의 수가 한정된 제로섬 게임은 미니맥스 값을 갖는 것으로 알려져 있지만(원래 존 폰 노이만(John von Neumann) 게임이 무한한 전략 세트를 갖는다고 해서 반드시 그런 것은 아니다.미니맥스 가치가 없는 게임의 간단한 예를 따른다.

이러한 제로섬 게임의 존재는 흥미롭다. 미니맥스 가치가 없다면 게임 이론의 많은 결과들이 적용될 수 없게 되기 때문이다.

게임

플레이어 I과 II는 각각$$ $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle \in }$ [ 0${\displaystyle ,}$ $],$ {\$displaystyle x,y\in [0,1]$과 함께 x, ${\displaystyle$ $y}$와 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y}을(를) 선택하고$,$ I에 대한 보상은 다음과 같다.

${\displaystyle K(x,y)={\begin}-1&{\text}{{}x<x+1/2\\\\{\text{}}}}}x=y{\text}}}}}}}$

(즉, II 플레이어가 I 플레이어에게$$ $K{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle K(x,y)}$을(를) 지불하고, 게임은 제로섬이다.때때로 선수 I를 최대화 선수라고 부르고 선수 II는 최소화를 하는 선수라고 부른다.

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$을(를) 단위 사각형의 점으로 해석하면 그림에는 선수 I에 대한 보수가 표시된다.이제 I 플레이어가 혼합 전략을 채택한다고 가정합시다: 확률밀도함수(pdf) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$ $플레이어{\displaystyle }$ II는 g ${\displaystyle g}$에서 선택$.$ 플레이어 I는 보상의 극대화를 위해, 플레이어 II는 보상의 최소화를 위해 선택한다.각 플레이어는 상대방의 목적을 알고 있다는 점에 유의하십시오.

게임 가치

시온과 울프는 그것을 보여준다.

${\displaystyle \sup_{f}\inf_{g}\iint K\,df\,dg={\frac{1}{3}}}$

그렇지만

${\displaystyle \inf _{g}\sup _{f}\iint K\,df\,dg={\frac {3}{7}}.}$

이는 각각 선수 I과 II의 게임 가치에 대한 최대와 최소의 기대다.

${\displaystyle supp}$ ${\displaystyle \sup }$과 ${\displaystyle inf}$ ${\displaystyle \inf }$은(는$$) 각각 단위 간격(실제 Borel 확률 측정)에서 pdfs에 대한 우월성과 최소치를 취한다.이는 선수 I과 선수 II의 (혼합) 전략을 나타낸다.따라서 선수 I는 II의 전략을 알고 있다면 적어도 3/7의 보답을 자신 스스로 보장할 수 있고, II는 I의 전략을 알고 있다면 1/3로 보답을 유지할 수 있다.

만약ε<>분명히 충분히 작은 ε{\displaystyle \varepsilon}에 대한 엡실론 평형, 특히 12(37− 13)≃ 0.0476{\displaystyle \varepsilon<>{\frac{1}{2}}\left({\frac{3}{7}}-{\frac{1}{3}}\right)\simeq 0.0476}. Dasgupta과 Maskin[2]은 게임 값이 달성된다면 p.은나는 p 계층uts 확률 가중치는 세트${\displaystyle }${${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$${\displaystyle \backslash }$$1\$right$\}},$${\displaystyle }$Ⅱ는$$ {1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 4\mathrm{},1\mathrm{}}$/2${\displaystyle ,1\}}$ ${\$right$\}$에만 가중치를 부여한다$.$

Glicksberg의 정리가 위 또는 아래 반연속 보수 함수와 어떠한 제로 섬 게임(이런 맥락에서 상단( 낮은)하방 반연속 함수 K는 세트{P∣ K(P)<>요리}{\displaystyle\와 같이{P\mid K(P)<, c\}}(resp{P∣ K(P)>요리}{\displaystyle\와 같이{P\mid K(P)>, c\}}에 열려 있는 값을 보여 준다.어떠한 실질적인 c).

시온과 울프의 예시의 지불 기능이 반비례적이지 않다는 것을 관찰하라.단, K(x, x)와 K(x, x + 1/2)의 값[즉, 두 불연속부를 따라 지급]을 +1 또는 -1로 변경하여 지급액을 각각 상한 또는 하한 반비례로 변경할 수 있다.이렇게 되면 게임은 가치가 있다.

일반화

이후 Heuer의 작업은 단위 광장을 3개 영역으로 나누고, 각 지역에서 성과급 기능이 일정하게 유지되는 게임 클래스에 대해 논의한다.

참조