반데르 코퍼트의 방법

수학에서 판데르 코퍼트의 방법은 지수 합계에 대한 추정치를 생성한다.이 방법은 두 가지 프로세스인 반 데르 코퍼트 프로세스 A와 B를 적용하며, 이 두 프로세스는 합계를 추정하기 더 쉬운 더 간단한 합계로 연결한다.

프로세스는 폼의 지수 합계에 적용된다.

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}e(f(n)\}}$

여기서 f는 충분히 부드러운 함수이며 e(x)는 exp(2(ix)를 나타낸다.

프로세스 A

프로세스 A를 적용하려면 f(x+h)-f(x)에 대해 첫 번째 차이 f_h(x)를 입력하십시오.

다음과 같은 H - b-a가 있다고 가정한다.

${\displaystyle \sum \{h=1}^{H}\left\vert {\sum _{n=a}^{b-h}e(f_{h})(n)}}\right\vert \leq b-a\ .}$

그러면

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n)}}\right\vert \ll {\frac {b-a}{\sqrt{H}\}\}$

프로세스 B

프로세스 B는 f와 관련된 합계를 f의 파생상품 관점에서 정의된 함수 g를 포함하는 합으로 변환한다.f'가 f'(a) = α, f'(b) = β로 증가하는 모노톤이라고 가정해 보자. 그러면 f'는 [α,β]에서 역 u say와 함께 반전될 수 있다.더 나아가 f' ≥ > 0이라고 가정한다. 쓰시오.

$[\displaystyle g(y)=f(u(y))-y(y)\ .}$

우리는 가지고 있다.

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\max _{\alpha \leq \gamma \leq \beta }\left\vert {\sum _{\nu =\alpha }^{\gamma }e(g(\nu ))}\right\vert \ .}$

g를 포함하는 합계에 프로세스 B를 다시 적용하면 f를 초과하는 합계에 반환되므로 더 이상의 정보를 얻을 수 없다.

지수 쌍

지수 쌍의 방법은 특정 평활도 특성을 갖는 함수에 대한 추정치의 클래스를 제공한다.매개변수 N,R,T,s,Δ를 수정한다. 우리는 R 시간들이 연속적으로 다르고 만족스러운 [N,2N] 간격으로 정의된 함수 f를 고려한다.

${\displaystyle \left\vert {f^{(r+1)}(x)-(-1)^{r(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-r}\cdots(s+1)\vertleq \delta s(s+1)\tx^{-s-r}\}}}}}}}}$

0 r r < R에 대해 [a,b]에 균일하게.

우리는 0 σ k for 1/2 l l ≤ 1의 실수 쌍(k,l)이 각 is > 0에 다음과 같이 k,l,,에 따라 Δ와 R이 존재한다면 지수 쌍이라고 말한다.

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n)}}\right\vert \ll \left({\frac {T}{N^{\sigma }}\right)^{k}N^{l}\ }$

균일하게 f로

By Process A we find that if (k,l) is an exponent pair then so is ${\displaystyle \left({{\frac {k}{2k+2}},{\frac {k+l+1}{2k+2}}}\right)}$. By Process B we find that so is ${\displaystyle \left({l-1/2,k+1/2}\right)}$.

사소한 바운드는 (0,1)이 지수 쌍임을 보여준다.

지수 쌍의 집합은 볼록하다.

(k,l)이 지수 쌍이면 임계 라인의 리만 제타 함수가 만족하는 것으로 알려져 있다.

$\displaystyle \zeta (1/2+it)\ll t^{\theta }\log t}$

여기서 $\theta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle k}$+ ${\displaystyle \mathrm{l}}$- ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \theta =(k+l-1/2)/2$}$$$.$

지수 쌍 추측에 따르면 모든 ε > 0에 대해 쌍(ε,1/2+ε)이 지수 쌍이라고 한다.이 추측이 린델뢰프 가설을 내포하고 있다.

참조

• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. New York etc.: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026.
• Montgomery, Hugh L. (1994). Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Regional Conference Series in Mathematics. Vol. 84. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.