자유 콘볼루션

자유 컨볼루션은 확률 측정의 콘볼루션이라는 고전적 개념의 자유 확률 아날로그다.자유확률 이론의 비확률적 특성 때문에 자유 랜덤 변수의 추가와 곱셈에서 발생하는 가법성 및 승법성 자유 합성법에 대해 별도로 이야기해야 한다(아래 참조, 고전적인 경우 자유 승법성 합성물의 아날로그는 무엇이냐를 p에 의해 가법성 합성법으로 축소할 수 있다).랜덤 변수의 로그에 대한 측정).이러한 연산에는 무작위 행렬의 경험적 스펙트럼 측정에 관한 해석도 있다.^[1]

무료 콘볼루션의 개념은 Voiculescu에 의해 도입되었다.^[2]^[3]

자유첨가성 콘볼루션

$[\displaystyle \mu }$ 과 $\mu$ $\nu$ {\ $displaystyle \nu}$ 을(를) 실제 라인의 두 가지 확률 측도로 하고 $\nu$ , $X$ ${\$ $displaystyle X}$ 은 $X$ (는) 법 $[\$ $displaystystyle$ \ $mu }$ 을 $\mu$ (를)와 Y}을(를 $)$ 로 $Y$ 하는 비교차 확률 공간의 랜덤 변수라고 가정한다. $ty$ space with $\nu$ ${\displaystyle \nu$ 마지막으로 X ${\displaystyle$ X $}$ 및 Y $Y$ 이 $X$ ( $가$ ) 자유롭게 독립되어 있다고 가정해 $Y$ 보십시오.Then the free additive convolution $\mu \boxplus \nu$ is the law of $X+Y$ . Random matrices interpretation: if $A$ and $B$ are some independent $n$ by $n$ Hermitian (resp. real symmetric) random m적어도 그들 중 한 명은 법적으로는, 어떤 단일병체(resp)에 의한 조합에 의해 불변하는 것 같은 악습.직교) 행렬 및 이와 같이 $A$ $A$ 과 $A$ $B$ $B$ 의 경험적 스펙트럼 측정이 $각각$ $[\displaystyle \mu }$ 과 $\mu$ $[\$ $displaystystyle$ $A+B$ $\n$ $}$ 이 $($ 가 $)$ 무한대로 되면 $B$ $\nu$ $n$ $A+B$ + $A+B$ {\ $displaystystystylease$ A $+$ B}의 경험적 스펙트럼 측정이 되는 경향이 있다 $A+B$ . $\mu \boxplus \nu$ $\mu \boxplus \nu$ ${\displaystyle \mu \boxplus \nu$ $\mu \boxplus \nu$ ^[4]

많은 경우에 복합 분석 기법과 측정 $\mu$ $[\displaystyle \$ $mu$ \boxplus $\nu$ }을 $\mu$ (를 $)$ 사용하여 확률을 $\mu \boxplus \nu$ 으로 계산할 $\mu \boxplus \nu$ 수 있다.

직사각형 자유첨가성 콘볼루션

$\boxplus _{c}$ 자유첨가성 콘볼루션(비율 $c$ $c$ ) $\boxplus _{c}$ ⊞ c ${\$ 도 Benaych-Georges에^[5] 의해 비교환 확률 프레임워크에서 정의되었으며 다음과 $\boxplus _{c}$ 같은 무작위 행렬 해석을 인정한다.For $c\in [0,1]$ , for $A$ and $B$ are some independent $n$ by $p$ complex (resp. real) random matrices such that at least one of them is invariant, in law, under multiplication on the left and on the right by any uni타리(잔디)직교) 행렬 및 $A$ $A$ 과 $A$ B $B$ 의 경험적 단수 값 분포가 $각각$ $[\displaystyle \mu }$ 과 $\mu$ $\nu$ $[\displaystyle$ $\$ $n}$ 및 $n/p$ ${\$ $displaystystyle$ $p}$ 이 $\nu$ n $}$ 이 무한대에 영향을 $p$ 미치는 경향이 $B$ 있음 $tyle n/p}$ 은(는) $c$ $c$ 을(를) 경향이 $n/p$ 있고 $c$ 그러면 $A+B$ + $A+B$ $A+B$ 의 경험적 단수 값 분포는 $\mu \boxplus _{c}\nu$ c $\mu \boxplus _{c}\nu$ c μ $A+B$ c c ${\displaysty \mu \boxplus$ _ ${c}\nu$ $\mu \boxplus _{c}\nu$ ^[6]

많은 경우에 복합 분석 기법과 $측정$ $\mu$ $displaystyle$ $\nu$ \boxplus $_$ ${$ $c}nu }$ 을 $c$ $\mu$ $($ 를) 사용한 직사각형 R-변환율과 측정 $μ$ $[\$ $displaystyle$ $\mu \$ $nu$ 을(를 $)$ 사용하여 $\mu \boxplus _{c}\nu$ $\mu \boxplus _{c}\nu$ 하게 $\mu \boxplus _{c}\nu$ 측정치를 계산할 수 있다.

자유승수성경련

$[\displaystyle \mu }$ 과 $\mu$ $\nu$ ${\$ $displaystyle$ $\nu$ }을(를) 간격 $0$ , + $[0,+\infty )$ $)]$ 에 대한 두 개의 확률 측정값으로 $\nu$ 하고 $[0,+\infty )$ $X$ $X$ 은(를) 비교환 확률 공간에서 랜덤 변수이며 $X$ , 법률 $\mu$ 는 ${\displaystystymu \mu$ \ $mu$ $\mu$ }, Y ${\$ mu}이라고 $\mu$ $Y$ 가정한다 $.$ m 변수 $\nu$ $\nu$ 과(와) 같은 비교환적 확률 공간의 변수 $\nu$ $X$ 으로 X $X$ 및 $X$ $Y$ $Y$ 이(가) 자유롭게 독립적이라고 $Y$ 가정하십시오.Then the free multiplicative convolution $\mu \boxtimes \nu$ is the law of $X^{1/2}YX^{1/2}$ (or, equivalently, the law of $Y^{1/2}XY^{1/2}$ . Random matrices interpretation: if $A$ and $B$ $B$ 은(는) $n$ $n$ 비 $n$ 음의 에르미타인(resp. resp. real symmetric) 무작위 행렬에 의해 $n$ $n$ 된 n $n$ 이며 $B$ , 적어도 하나 이상의 행렬이 법상 불변수(resp)로 되어 있다.직교) 행렬 및 이와 같이 $A$ $A$ 과 $A$ B $B$ 의 경험적 스펙트럼 측정이 $n$ $[\displaystyle \mu$ $}$ 과 $\mu$ $\nu$ ${\displaystyle$ \n $}$ 이(가) 무한대로 진행되면 $\nu$ $n$ $AB {\displaystystyte$ $\mu \boxtimes \nu$ 에 대한 경험적 스펙트럼 측정이 μsollocate에 영향을 $AB$ 받는다. $\mu \boxtimes \nu$ ${\displaystyle \mu \boxtimes \nu$ ^[7]

단위 원 { $\{z:|z|=1\}$ : $\{z:|z|=1\}$ = $\{z:|z|=1\}$ } ${\$ $displaystyle \mu ,\nu}$ 에서 지원되는 $\mu ,\nu$ 법 $\mu ,\nu$ , $\mu ,\nu$ {\ $displaystyle \{z:$ $z$ $=1$ 의 경우에도 직교 또는 단일 랜덤 행렬 해석으로 유사한 정의를 내릴 수 있다.

복합 분석 기법과 S-변환법을 사용하여 승법 자유 합성물의 명시적 연산을 수행할 수 있다.

자유 컨볼루션의 적용

자유 컨볼루션은 자유 중심 한계 정리의 증거를 제공하는 데 사용될 수 있다.
자유형 콘볼루션은 자유형 변수의 총합이나 산물의 법칙과 스펙트럼을 계산하는 데 사용될 수 있다.그러한 예로는 자유 그룹에 대한 무작위 보행 연산자(Kesten 측정치)와 독립 랜덤 행렬의 고유값 또는 생산물의 점근 분포가 있다.

임의 매트릭스에 대한 그것의 적용을 통해, 무료 콘볼루션은 Girko의 G-추정에 관한 다른 작품들과 강한 연관성을 가진다.

무선 통신, 금융 및 생물학의 애플리케이션은 관측 횟수가 시스템의 크기와 동일한 순서일 때 유용한 프레임워크를 제공했다.

참고 항목

참조

^ 앤더슨, G.W.; 기온넷, A.; 자이토니, O. (2010)무작위 행렬에 대한 소개.케임브리지:케임브리지 대학 출판부. ISBN 978-0-521-19452-5.
^ Voiculescu, D, 특정 비 커밋 랜덤 변수 추가, J. Funct.항문 66 (1986), 323–346
^ Voiculescu, D, 특정 비고정 랜덤 변수의 곱하기, J. 연산자 이론 18 (1987), 2223–2235
^ 앤더슨, G.W.; 기온넷, A.; 자이토니, O. (2010)무작위 행렬에 대한 소개.케임브리지:케임브리지 대학 출판부.ISBN 978-0-521-19452-5.
^ Benaych-Georges, F, Rectangular 랜덤 행렬, 관련 콘볼루션, Provab.이론 관련 분야 제144권, 제3호(2009) 471-515.
^ Benaych-Georges, F, Rectangular 랜덤 행렬, 관련 콘볼루션, Provab.이론 관련 분야 제144권, 제3호(2009) 471-515.
^ 앤더슨, G.W.; 기온넷, A.; 자이토니, O. (2010)무작위 행렬에 대한 소개.케임브리지:케임브리지 대학 출판부.ISBN 978-0-521-19452-5.

"신호 처리 애플리케이션을 위한 무료 디콘볼루션", O. Ryan 및 M.데바, ISIT 2007, 페이지 1846–1850
제임스 A.밍고, 롤랜드 스피처:자유 확률 및 랜덤 행렬.필드 연구소 모노그래프스, 35권, 스프링거, 2017.
D.-V. Voiculescu, N. Stammeier, M. Weber(eds): 자유 확률 및 연산자 Algebras, Munnster 강의, EMS, 2016

외부 링크

[1] 앤더슨, G.W.; 기온넷, A.; 자이토니, O. (2010)무작위 행렬에 대한 소개.케임브리지:케임브리지 대학 출판부. ISBN 978-0-521-19452-5.

[2] Voiculescu, D, 특정 비 커밋 랜덤 변수 추가, J. Funct.항문 66 (1986), 323–346

[3] Voiculescu, D, 특정 비고정 랜덤 변수의 곱하기, J. 연산자 이론 18 (1987), 2223–2235

[4] 앤더슨, G.W.; 기온넷, A.; 자이토니, O. (2010)무작위 행렬에 대한 소개.케임브리지:케임브리지 대학 출판부.ISBN 978-0-521-19452-5.

[5] Benaych-Georges, F, Rectangular 랜덤 행렬, 관련 콘볼루션, Provab.이론 관련 분야 제144권, 제3호(2009) 471-515.

[6] Benaych-Georges, F, Rectangular 랜덤 행렬, 관련 콘볼루션, Provab.이론 관련 분야 제144권, 제3호(2009) 471-515.

[7] 앤더슨, G.W.; 기온넷, A.; 자이토니, O. (2010)무작위 행렬에 대한 소개.케임브리지:케임브리지 대학 출판부.ISBN 978-0-521-19452-5.

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