경로 공간 진동

대수적 토폴로지에서는 기반 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \ast }$) ${\displaystyle (X,*)}$에 대한 경로 공간 교정은 폼의 교정이다^[1].

${\displaystyle \Oomega X\hookrightarrow PX{\\set {\chi \mapsto \chi(1){\\\}X}$

어디에

• ${\displaystyle PX=\operatorname {Map} (I,X)=\{f\colon I\to X\mid f\ {\text{continuous}},f(0)=*\}}$, equipped with the compact-open topology, is the space called the path space of X,
• ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Oomega X}$은 X의 기준점에 걸쳐$$ $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto \chi }$ ( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \mapsto \chi(1)}$의 섬유로$$ X의 루프 공간이다.

${\displaystyle {공간}^{}}$ X I ${\$ X$^{$$I}}$은(는) 기준점을 보존할 수 없는 I부터 X까지의 모든 지도로 구성되며$$, ${\displaystyle X}$의 자유 경로 공간과 Fibration $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle I^{}}$→ X ${\displaystyle X^{$예를 들어 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto \chi }$ ( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \chi \mapsto \chi$(1$)}$이(가) 주는 $I$$}\to X}$을$($를) 자유 경로 공간 진동이라고 한다.

경로 공간 진동(path space fibration)은 매핑 원뿔에 이중인 것으로 이해할 수 있다.감소된 진동은 매핑 섬유 또는 동등하게 호모토피 섬유라고 불린다.

경로 공간 매핑

If ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ is any map, then the mapping path space ${\displaystyle P_{f}}$ of ${\displaystyle f}$ is the pullback of the fibration ${\displaystyle Y^{I}\to Y,\,\chi \mapsto \chi (1)}$ along ${\displaystyle f}$. Since a fibration pulls back to a fibration(ibration), Y가 기초하면 1이 진동을 가진다.

${\displaystyle F_{f}\hookrightarrow P_{f}{p}{p}{\\}Y}$

where ${\displaystyle p(x,\chi )=\chi (0)}$ and ${\displaystyle F_{f}}$ is the homotopy fiber, the pullback of the fibration ${\displaystyle PY{\overset {\chi \mapsto \chi (1)}{\to }}Y}$ along ${\displaystyle f}$.

참고: $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$은(는) 구성 요소임$$

${\displaystyle X{\overset {\phi }{\p_{f}{\coverset {p}{\\}Y}$

where the first map ${\displaystyle \phi }$ sends x to ${\displaystyle (x,c_{f(x)})}$; here ${\displaystyle c_{f(x)}}$ denotes the constant path with value ${\displaystyle f(x)}$. Clearly, ${\displaystyle \phi }$ is a homotopy equivalence; thus, the above decomposition says 어떤 지도도 호모토피 동등성까지의 진동이라고 한다.

만약 f{\displaystyle f}은 fibration는 것이 다음 지도 ϕ:X→ Pf{\displaystyle \phi \colon X\to P_{f}}은fiber-homotopy 등가고 기준 시점의 path-component에 f{\displaystyle f}의 섬유 consequently,[2]동위는 동위 섬유 Ff{\displaystyle과 다를 바 없다. F_{$}{\displaystyle f}$의 f$\}.$

무어의 경로 공간

정의에 따르면 공간 X의 경로는 단위 간격 I에서 X까지의 지도다.다시 정의에 따르면, ${\displaystyle \mathrm{\alpha }}$$$( ${\displaystyle 1}$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\beta }}$( 0${\displaystyle }$) {\$displaystyle$$$\alpha $,\beta$ $}$ 경로$$ α (1)=\$beta (0)$가$$${\displaystyle \beta }$ α : I →$$X$$$displaystyle \cdot \cdata \colon I\to X}$이 주어진$$ 경로인 α,

${\displaystyle (\beta \cdot \alpha )(t)={\begin{cases}\alpha (2t)&{\text{if }}0\leq t\leq 1/2\\\beta (2t-1)&{\text{if }}1/2\leq t\leq 1\\\end{cases}}}$.

일반적으로 이 제품은 코에 연관성이 없다$:$ (${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \beta }$ )${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \ne }$ ⋅ ${\displaystyle \cdot }$ α${\displaystyle }$α α α α ${\displaystyle \alpha \alpha }$ ) ${\displaystyle (\gamma \cdot \beta )\cdot \neq \cdamma \cdot (\beta )}.$One solution to this failure is to pass to homotopy classes: one has ${\displaystyle [(\gamma \cdot \beta )\cdot \alpha ]=[\gamma \cdot (\beta \cdot \alpha )]}$. Another solution is to work with paths of arbitrary lengths, leading to the notions of Moore's path space and Moore's path space fibration, des아래에 설명되어 있다.^[3] (더 정교한 해결책은 구성을 재고하는 것이다: 임의의 구성 계열로 작업하는 것; 오퍼레이터의 개념으로 이어지는 ^[4]루리의 논문 소개 참조)

기본 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \ast }$) ${\$디스플레이 스타일($X,*)}$을(를$)$ 지정하면

${\displaystyle P'X=\{f\colon [0,r]\to X\mid r\geq 0,f(0)=*}$

An element f of this set has a unique extension ${\displaystyle {\widetilde {f}}}$ to the interval ${\displaystyle [0,\infty )}$ such that ${\displaystyle {\widetilde {f}}(t)=f(r),\,t\geq r}$. Thus, the set can be identified as a subspace of ${\dis$$플레이스타일 \operatorname {Map}([0,\fty ]),X$ 그 결과 공간은 개념을 도입한 존 콜먼 무어의 이름을 따서 X의 무어 경로 공간이라고 부른다.그리고, 이전과 마찬가지로, 무어의 경로 공간인 진동이 있다.

${\displaystyle \Oomega 'X\hookrightarrow P'X{\overset {p}{\\\}X}$

여기서 p는 각 f: [0, r] → X를 f(r)로 보내고 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X}$= ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$- 1 (${\displaystyle \ast }$ ) ${\displaystyle \Oomega 'X=p^{-1(*)}$은 섬유다$$.$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Oomega$ X$}$과 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \Oomega 'X}$이(가) 호모토피 등가임이 밝혀졌다.

이제 제품 맵을 정의하십시오.

$\displaystyle \mu :P'X\time \Oomega 'X\to P'X}$

by: ${\displaystyle f}$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ r ${\displaystyle ]}$→ X ${\displaystyle f\colon [0,r]\to$ X$}$ 및$$ $g{\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\colon [0,s]\to$ X$\},$

${\displaystyle \mu (g,f)(t)={\begin{cases}f(t)&{\text{if }}0\leq t\leq r\\g(t-r)&{\text{if }}r\leq t\leq s+r\\\end{cases}}}$.

이 제품은 분명히 연상된다.특히 μ가 Ω'X × Ω'X로 제한되어 있는 상황에서 Ω'X는 위상학적 모노이드(모든 공간의 범주에서)라는 것이 있다.더욱이 이 단조 Ω'X는 원래의 μ를 통해 P'X에 작용한다.실제로 $P{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\디스플레이 스타일$ p$:$$P'X\to X}$는 Ω'X-진동이다.^[5]

메모들

참조

• Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Lecture Notes in Algebraic Topology (PDF). Graduate Studies in Mathematics. Vol. 35. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. xvi+367. doi:10.1090/gsm/035. ISBN 0-8218-2160-1. MR 1841974.
• May, J. Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press. pp. x+243. ISBN 0-226-51182-0. MR 1702278.
• Whitehead, George W. (1978). Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 61 (3rd ed.). New York-Berlin: Springer-Verlag. pp. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR 0516508.