대칭 수준 지수 산술

LI(Level-index) 표현과 산술 연산을 위한 알고리즘은 1984년 ^[1]Charles Clenshaw와 Frank Olver에 의해 도입되었다.

LI 시스템의 대칭 형태와 산술 연산은 1987년 ^[2]Clenshaw와 Peter Turner에 의해 제시되었다.

마이클 아누타, 다니엘 로지어, 니콜라스 샤바넬 및 터너는 대칭 수준 지수(SLI) 산술 알고리즘을 개발하고 병렬 구현했습니다.SLI 산술 알고리즘을 개발하고 이를 복소 및 벡터 산술 연산으로 확장하는 작업은 광범위하게 진행되어 왔습니다.

정의.

수준 지수 시스템의 개념은 음이 아닌 실수 X를 다음과 같이 표현하는 것입니다.

$({displaystyle X=e^{e^{\cdots^{e^{f}}}}}})$

서 0f < \ $displaystyle$0 \ $leq$f < $1$）${\displaystyle }$the the is is is is where of of of of where ${\$ {\ {\ where ${\displaystyle \mathrm{where}}$ 0 \ $displaystyle \ell \geq$ 0$$and are the the the the respect respect respect respect respect X의 레벨과 인덱스를 나타냅니다.x = δ + f는 X의 LI 이미지입니다.예를들면,

$({displaystyle X=1234567=e^{e^{0.9711308}}})$

LI 이미지는

$\displaystyle x=\ell +f=3+0.9711308=3.9711308.}$

대칭 형식은 X의 크기가 1보다 작을 경우 음의 지수를 허용하기 위해 사용됩니다.sgn(log(X)) 또는 sgn(X - X)을 취하여 저장합니다(X = 1 = e에⁰ 대해 LI 이미지는 x = 1.0이며 X=1을 고유하게 정의하므로 +1을 역호_X r로 치환한 후 3번째 상태 없이 두 -1 및 +1에 대해 비트만 사용할 수 있습니다).수학적으로 이는 작은 크기의 역수(승수 역수)를 취하여 역수의 SLI 이미지를 찾는 것과 같습니다.역호 1비트를 사용하면 극소수의 표현을 할 수 있습니다.

부호 비트는 음수를 허용하기 위해 사용될 수도 있습니다.sgn(X)을 취하여 부호_X s로 저장합니다(X = 0에 대해 LI 이미지는 x = 0.0이고 X = 0을 고유하게 정의하며, 세 번째 상태 없이 두 상태 -1 및 +1에 대해 비트 하나만 사용할 수 있습니다).수학적으로 이는 음수의 역(가산 역)을 취하여 역의 SLI 이미지를 찾는 것과 같습니다.기호에 1비트를 사용하면 음수를 표현할 수 있습니다.

매핑 함수를 일반화 로그 함수라고 합니다.다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle \psi(X)="begin{case}X&{\text{if}}0\leq X<1\1+\psi(\ln X)&{\text{if}}X\geq 1\end{case}}}"$

[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle )}$] { $display$[ 0 , \ infty$$}는$$ 단조롭게${\displaystyle }$맵됩니다.따라서 이 인터벌에서는 반전할 수 있습니다.역, 일반화 지수 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \varphi (x)=cases}x&{\text{if}}0\leq x<1\e^{\varphi (x-1)}&{\text{if}x\geq 1\end{cases}}}}$

x로 나타나는 값 X의 밀도는 다음과 같은 이유로 수준 θ에서 θ + 1(매우 바람직한 속성)로 이동하기 때문에 불연속성이 없습니다.

$(\displaystyle\왼쪽).{\frac {d\varphi(x)}{filename}\오른쪽 _{x=1}=\왼쪽.{\frac {d\varphi(e^{x})}{frac}\right _{x=0}}.$

일반화 로그 함수는 알고리즘의 컴퓨터 과학 분석에 사용되는 반복 로그와 밀접하게 관련되어 있습니다.

형식적으로는 임의의 실수 X(0 또는 1)의 SLI 표현을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${{displaystyle X=s_{X}\varphi(x)^{r_{X}}}$

여기서_X s는 X의 부호(가산 반전 여부)이고_X r은 다음 공식에서와 같이 역수 부호(승수 반전 여부)입니다.

$\displaystyle s_{X}=\operatorname {sgn}(X), r_{X}=\operatorname {sgn}(X - X ^{-1}), x=\psi(\max(X, X ^{-1}))=\psi(X ^{r_{X}})$

반면 X = 0 또는 1의 경우 다음과 같은 값이 있습니다.

${\displaystyle s_{0}=+1,r_{0}=+1,x=0.0,}$

${\displaystyle s_{1}=+1,r_{1}=+1,x=1.0.,}$

예를들면,

$({displaystyle X=-{\dfrac {1}{1234567}}=-e^{e^{e^{0.9711308}}})$

SLI의 표현은 다음과 같습니다.

${{displaystyle x=-\varphi(3.9711308)^{-1}.}$

「 」를 참조해 주세요.

• 테트레이션
• 부동소수점(FP)
• 테이퍼 부동소수점(TFP)
• 로그수계(LNS)
• 수준(대수량)

레퍼런스

추가 정보

• Clenshaw, Charles William; Olver, Frank William John; Turner, Peter R. (1989). "Level-index arithmetic: An introductory survey". Numerical Analysis and Parallel Processing (Conference proceedings / The Lancaster Numerical Analysis Summer School 1987). Lecture Notes in Mathematics (LNM). 1397: 95–168. doi:10.1007/BFb0085718.
• Clenshaw, Charles William; Turner, Peter R. (1989-06-23) [1988-10-04]. "Root Squaring Using Level-Index Arithmetic". Computing. Springer-Verlag. 43 (2): 171–185. ISSN 0010-485X.
• Zehendner, Eberhard (Summer 2008). "Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme" (PDF) (Lecture script) (in German). Friedrich-Schiller-Universität Jena. pp. 21–22. Archived (PDF) from the original on 2018-07-09. Retrieved 2018-07-09. [1]
• 헤이즈 브라이언(September–October 2009년)."그 높은 산술".미국 과학자입니다. 97(5):364–368. doi:10.1511/2009.80.364.그 2018-07-09에 원래에서 Archived..[2]2018-07-09 Retrieved.또한 헤이즈 브라이언(2017년):에 다시 실었습니다." 제8장:고등 산수는".Foolproof 및 기타 수학 Meditations(1판).그 MIT출판사.를 대신하여 서명함. 113–126.아이 에스비엔 978-0-26203686-3.아이 에스비엔 0-26203686-X.

외부 링크

• sli-c-library(Google 코드 호스팅), "C++ 대칭 수준 지수 산술 구현"입니다.