차동 시스템의 통합성 조건

수학에서, 부분 미분 방정식의 특정 시스템은, 그 기초적인 기하학적 구조와 대수학적 구조의 관점에서, 미분형 시스템의 관점에서, 유용하게 공식화된다.차등형식이 서브매니폴드로 제한되는 방식과 이 제한이 외부 파생상품과 호환된다는 점을 활용하자는 취지다.이것은 예를 들어, 통합 가능한 시스템의 Lax 쌍을 포함하여, 지나치게 결정된 특정 시스템에 대한 하나의 가능한 접근법이다.Pafeian 시스템은 1-forms만으로 지정되지만 이론은 다른 유형의 미분 시스템을 포함한다.구체적으로 말하면, Pafeian 시스템은 부드러운 다지관의 1-폼 세트(시스템에 대한 해결책을 찾기 위해 0과 같게 설정)이다.

$n{\displaystyle }$ ${\$ ${\displaystyle \mathrm{-차원}}$$$ 다지관 $M{\displaystyle }${\$displaystyle M}$에 차동 1-forms $\alpha {\displaystyle {}_{}{i}_{}}$, ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, k ${\$_{i},$i=1,2,\dots,k}$의 집합이 주어질 경우$,$ 일체형 다지관은 모든 $ppoint$에서 접선 공간(필요하지 않은 하위 관리이다.${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N}$ ${\$은(는) 각$α$ i {\$displaystyle \textstyle$ \$alpha_{i}$에 의해 소멸된다$.$

최대 일체형 매니폴드는 (내장되지 않은) 잠김 하위 관리형입니다.

${\displaystyle i:N\subset M}$

형식에 대한 제한 지도의 커널이 되도록.

${\displaystyle i^{*}:\오메가 _{p}^{1}^{1}(M)\오른쪽 화살표 \오메가 _{p}^{1}(N)}$

$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$의 모든 $지점{\displaystyle }$ p ${\displaystyle$ $\$$alpha_$${i}$에서 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ i ${\$ \alpha_{i}에 걸쳐 있다$.$ 추가로 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$$displaystystyle$$$$$$\alpha_{i}$이 선형적으로 독립되어 있다면$$, $N$$${ -$}-dension$ styption styption $styption$ styptionalphengt;

Pafeian 시스템은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 최대 적분 다지관에 의한 모반을 인정하는$$ 경우 완전히 통합될 수 있다고 한다. (따옴표가 규칙적일 필요는 없다는 점에 유의하십시오. 즉, 엽의 잎이 하위 매너폴드에 내장되지 않을 수 있다.)

통합성 조건은 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 있는 조건으로, 충분히 높은 치수의 적분 서브매니폴드가 존재함을 보장한다$$.

필요충분조건

파피안 시스템의 완전한 통합성을 위한 필요조건과 충분한 조건은 프로베니우스 정리에 의해 주어진다.한 버전에서는 링 Ω(M) 내부의 α_i 집합에 의해$$ 대수적으로 생성된 $이상{\displaystyle \mathcal{}}$ I$${\$displaystyle${\$mathcal {I}$이(가) 차등 폐쇄된 경우, 즉,

${\displaystyle d{\mathcal {I}\subset {\mathcal {I},}$

그러면 시스템은 최대 적분 다지관에 의한 모반을 인정한다. (정확한 정의로부터 반대는 명백하다.)

통합할 수 없는 시스템의 예

모든 파피안 시스템이 프로베니우스 의미에서 완전히 통합될 수 있는 것은 아니다.예를 들어, R³ - (0,0,0)에 대한 다음 단일 양식을 고려하십시오.

$\displaystyle \theta=z\,dx+x\,dy+y\,dz.}$

만약 dθ가 θ에 의해 생성되는 이상적이라면 우리는 쐐기 제품의 왜도에 의해 생성되었을 것이다.

$\displaystyle \theta \d\theta =0.}$

하지만 직접적인 계산은

$\displaystyle \theta \d\theta =(x+y+z)\,dx\dx\dynamic dy\dz}$

R에³ 표준 체적 형태의 0이 아닌 배수.따라서 2차원적인 잎이 없고, 시스템이 완전히 통합될 수 있는 것은 아니다.

반면에, 다음에 의해 정의된 곡선의 경우

${\displaystyle x=t,\display y=c,\qquad z=e^{-t/c}\display t>0}$

그 다음에 위에서 정의한 θ은 0이며 따라서 곡선은 0이 아닌 상수 c에 대해 위의 Paffian 시스템에 대한 솔루션(즉, 적분 곡선)으로 쉽게 검증된다.

응용 프로그램의 예

In Riemannian geometry, we may consider the problem of finding an orthogonal coframe θⁱ, i.e., a collection of 1-forms forming a basis of the cotangent space at every point with ${\displaystyle \langle \theta ^{i},\theta ^{j}\rangle =\delta ^{ij}}$ which are closed (dθⁱ = 0, i = 1, 2, ..., n).푸앵카레 보조정리기에 의해, 국소적으로 θ은ⁱ 다지관의 일부 기능 x에ⁱ 대해 dxⁱ 형태를 갖게 되며, 따라서 R의ⁿ 개방된 부분집합으로 M의 개방된 부분집합에 대한 등계도를 제공한다.그러한 다지관을 국부적으로 평지라고 한다.

이 문제는 M의 coframe bundle에 대한 질문으로 줄어든다.우리가 그렇게 폐쇄적인 코프레임을 가졌다고 가정해 보자.

${\displaystyle \theta =(\theta ^{1},\dots,\theta ^{n}).}$

$만약{\displaystyle \mathrm{}}$ 우리가 또 다른 코프레임 frame${\displaystyle }$= (${\displaystyle {\varphi \mathrm{}}^{}}$1,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle n^{}}$ n$){\displaystyle \Phi =(\phi ^{1},\dots ,\phi ^{n$을 가지고 있다면, 두 코프레임은 직교 변환에 의해 연관되었을 것이다.

${\displaystyle \Phi =M\Theta }$

연결 1-폼이 Ω이면

$\displaystyle d\Phi =\omega \wedge \Phi }$

다른 한편으로는

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}d\Phi &=(dM)\wedge \theta +M\wedge d\theta \&=(dM)\wedge \theta \\&=(dM)M^{-1}\웨지 \Phi .\end{aigned}}$

그러나 $\Omega {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$는 직교 그룹에 대한 Maurer-Cartan 형식이다.Therefore, it obeys the structural equation ${\displaystyle d\omega +\omega \wedge \omega =0,}$ and this is just the curvature of M: ${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =0.}$ After an application of the Frobenius theorem, one concludes that a manifold M is locally flat if and on곡면성이 사라지면 Ly ly

일반화

많은 일반화가 하나의 형태에 의해 반드시 생성되는 것은 아닌 미분류에 있는 통합성 조건에 존재한다.이 중 가장 유명한 것은 실제 분석 미분계에서만 작동하는 카르탄-케를르 정리, 카르탄-쿠라니시 연장 정리 등이다.자세한 내용은 추가 판독을 참조하십시오.뉴랜더-니렌버그 정리는 거의 복합적인 구조에 대한 통합성 조건을 제공한다.

추가 읽기

• 브라이언트, 체른, 가드너, 골드슈미트, 그리피스, 외부 차등 시스템, 수리과학연구소 출판물, 스프링거-베를랙, ISBN0-387-97411-3
• 올버, P, 동등성, 불변성, 케임브리지 대칭성 ISBN 0-521-47811-1
• Ivey, T, Landsberg, J.M, Cartan for 초보자를 위한 Moving Frame과 External Different Systems를 통한 미분 기하학, 미국수학협회, ISBN 0-8218-3375-8
• 두나즈스키, M, 솔리턴스, 인스턴스 앤 트위스터스, 옥스퍼드 대학 출판부, ISBN 978-0-19-857063-9