콜모고로프 역방정식(디퓨전)

Kolmogorov 역방정식(KBE) (diffusion)과 그 부호는 때때로 Kolmogorov 전진방정식(diffusion)으로 알려져 있으며 연속시간 연속상태 마르코프 공정 이론에서 발생하는 부분 미분방정식(PDE)이다.둘 다 1931년 안드레이 콜모고로프에 의해 출판되었다.^[1]나중에 포워드 방정식이 포커-플랑크 방정식이라는 이름으로 물리학자들에게 이미 알려져 있다는 것이 깨달았다. 반면에 KBE는 새로운 것이었다.

비공식적으로 콜모고로프 전진 방정식은 다음과 같은 문제를 다룬다.우리는 시간 t (명칭 확률분포 ${\displaystyle p_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle p_{t}(x)})$에 있는 시스템의 상태 x에 대한 정보를 가지고 있다;$$ 우리는 나중에 > > t ${\displaystyle s>t}$에 있는 상태의 확률분포를 알고 싶다형용사 '${\displaystyle \mathrm{forward}}$'는${\displaystyle {}_{}}$p t${\displaystyle }$(x$$) {\$displaystyle p_{t$}(x$)}$이(가) 초기 조건으로 기능하고$$ pDE가 시간적으로 전진 통합된다는 사실을 가리킨다(초기 상태가 정확히 알려진 일반적인 경우 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyp_{t}(x)}$는 알려진$$ 초기 상태를 중심으로 한 디라크 델타 함수다.

반면에 콜모고로프 역방정식은 우리가 미래에 시스템이 때때로 표적 집합이라고 불리는 상태 B의 주어진 하위 집합에 있을 것인지 여부에 관심이 있을 때 유용하다.대상은 특정 함수 ${\displaystyle u_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$) ${\displaystyle u_{s}(x)$로 설명되며, 이$$ 함수는 상태 x가 시간 s에 설정된 목표값에 있으면 1이고, 그렇지 않으면 0이다.즉, ${\displaystyle u{}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 세트 B의 표시 함수$.$우리는 시간 ,( <) ${\displaystyle t,\ (t<s)}$의 모든 상태 x에 대해 시간 s에 설정된 목표 집합(때로는 적중 확률이라고도 함)에 끝날 확률을 알고 싶다.이 경우 ${\displaystyle u{}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle u_{s}(x)}$은(는) s에서 t까지 역방향으로 통합되는 PDE의 최종 조건 역할을$$ 한다.

Kolmogorov 역방정식 작성

시스템 상태 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이 확률적 미분 방정식에 따라 진화하는$$ 것으로 가정한다.

${\displaystyle dX_{t}=\mu(X_{t}t}t)\,dt+\sigma(X_{t}t)\,dW_{t}\...}$

콜모고로프 역방정식은^[2]

${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=\mu (x,t){\frac {\partial }{\partial x}}p(x,t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}p(x,t),}$

for ${\displaystyle t\leq s}$, subject to the final condition ${\displaystyle p(x,s)=u_{s}(x)}$. This can be derived using Itō's lemma on ${\displaystyle p(x,t)}$ and setting the ${\displaystyle dt}$ term equal to zero.

이 방정식은 또한 적중 확률은 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ t$}$에서 $상태$ x ${\displaystyle x}$에서 유래한 모든 경로에$$ $대한{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$(${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle u_{s$}(x$)}$의 기대값과 동일하다는 점에 유의함으로써 Feynman-Kac 공식에서 도출할 수 있다$.$

${\displaystyle \Pr(X_{s}\in B\mid X_{t}=x)=E[u_{s}(x)\mid X_{t}=x].}$

역사적으로, KBE는 파인만-Kac 공식(1949년) 이전에 개발되었다.

Kolmogorov 전진 방정식 작성

이전과 같은 표기법으로 해당 콜모고로프 전진 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}p(x,s)=-{\frac {\partial }{\partial x}}[\mu (x,s)p(x,s)]+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}[\sigma ^{2}(x,s)p(x,s)],}$

$s{\displaystyle }$초기 ${\displaystyle \mathrm{조건}}$ $p{\displaystyle }$($$${\displaystyle x}$,$$${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ( x ) = p t (${\displaystyle {}_{}x}$) ${\displaystyle p(x,t)=p_{t}(x$에 대한 자세한 내용은 Fokker-Plank 방정식을 참조하십시오$.$

참고 항목

• 콜모고로프 방정식

참조

• Etheridge, A. (2002). A Course in Financial Calculus. Cambridge University Press.