Kolmogorov 역방정식(KBE) (diffusion)과 그 부호는 때때로 Kolmogorov 전진방정식(diffusion)으로 알려져 있으며 연속시간 연속상태 마르코프 공정 이론에서 발생하는 부분 미분방정식(PDE)이다.둘 다 1931년 안드레이 콜모고로프에 의해 출판되었다.[1]나중에 포워드 방정식이 포커-플랑크 방정식이라는 이름으로 물리학자들에게 이미 알려져 있다는 것이 깨달았다. 반면에 KBE는 새로운 것이었다.
비공식적으로 콜모고로프 전진 방정식은 다음과 같은 문제를 다룬다.우리는 시간 t (명칭 확률분포 t( ){\에 있는 시스템의 상태 x에 대한 정보를 가지고 있다;
우리는 나중에 > > t 에 있는 상태의 확률분포를 알고 싶다
형용사 ''는p t(x) {\}(x이(가) 초기 조건으로 기능하고
pDE가 시간적으로 전진 통합된다는 사실을 가리킨다(초기 상태가 정확히 알려진 일반적인 경우 ( x) 는 알려진
초기 상태를 중심으로 한 디라크 델타 함수다.
반면에 콜모고로프 역방정식은 우리가 미래에 시스템이 때때로 표적 집합이라고 불리는 상태 B의 주어진 하위 집합에 있을 것인지 여부에 관심이 있을 때 유용하다.대상은 특정 함수 () 로 설명되며, 이
함수는 상태 x가 시간 s에 설정된 목표값에 있으면 1이고, 그렇지 않으면 0이다.즉, ( x)= 세트 B의 표시 함수
우리는 시간 ,( <) 의 모든 상태 x에 대해 시간 s에 설정된 목표 집합(때로는 적중 확률이라고도 함)에 끝날 확률을 알고
싶다.이 경우 ( x) 은(는) s에서 t까지 역방향으로 통합되는 PDE의 최종 조건 역할을
한다.
Kolmogorov 역방정식 작성
시스템 상태 이 확률적 미분 방정식에 따라 진화하는
것으로 가정한다.

콜모고로프 역방정식은[2]

for
, subject to the final condition
. This can be derived using Itō's lemma on
and setting the
term equal to zero.
이 방정식은 또한 적중 확률은 시간 t에서
x 에서 유래한 모든 경로에
( ){\}(x의 기대값과 동일하다는 점에 유의함으로써 Feynman-Kac 공식에서 도출할 수 있다
![{\displaystyle \Pr(X_{s}\in B\mid X_{t}=x)=E[u_{s}(x)\mid X_{t}=x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94524de1a3cccfa280ca4356bcbb39b06eefe5a5)
역사적으로, KBE는 파인만-Kac 공식(1949년) 이전에 개발되었다.
Kolmogorov 전진 방정식 작성
이전과 같은 표기법으로 해당 콜모고로프 전진 방정식은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}p(x,s)=-{\frac {\partial }{\partial x}}[\mu (x,s)p(x,s)]+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}[\sigma ^{2}(x,s)p(x,s)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49c213c0833fd9fa5a451caa30983ee6f071c7c3)
초기 (,)= ( x ) = p t ()
에 대한 자세한 내용은 Fokker-Plank 방정식을 참조하십시오
참고 항목
참조
- Etheridge, A. (2002). A Course in Financial Calculus. Cambridge University Press.
- ^ a b Andrei Kolmogorov, "Werber die analysischen Methoden in der Wahrscheinlickeitsrechnung"(확률 이론의 분석 방법에 관한 연구), 1931, [1]
- ^ Risken, H, "Fokker-Planck 방정식:솔루션 및 적용 방법" 1996, Springer