고정 소수점 논리

수학 논리학에서 고정 소수점 논리학은 재귀를 표현하기 위해 도입된 고전 술어 논리의 확장입니다.이러한 개발은 기술 복잡성 이론과 데이터베이스 쿼리 언어, 특히 데이터로그와의 관계에서 비롯되었습니다.

최소 고정점 논리는 Yiannis N에 의해 처음으로 체계적으로 연구되었다. 1974년에 ^[1]모스코바키스가 컴퓨터 과학자들에게 소개된 것은 1979년 알프레드 아호와 제프리 울먼이 표현형 데이터베이스 쿼리 ^[2]언어로 고정점 논리를 제안했을 때였습니다.

부분 고정 소수점 논리

관계형 시그니처 X의 경우 FO[PFP]($X$)는 1차 접속어와 술어, 2차 변수 및 부분 고정 소수점 ${\displaystyle \mathrm{연산자}}$ PFP$(\displaystyle \operatorname {PFP}$})를$$ 사용하여 X에서 생성된 공식 세트입니다.이러한 값은${\displaystyle }$[${\displaystyle {PFP\stackrel{}{}}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{\to }}$ , $]$의 공식에 ${\displaystyle \mathrm{사용}}$됩니다.$FP} _{\vec {x},P},\varphi ]{\vec {t$ $여기$서$P는$$$2차 변수, $→$ $1차$ 변수의 튜플, $t{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $→$ \display $style$ {$x$$},$ t$$ → \$display$style {$vec$ {$t$$},$ xve$→$ $표시{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 길이의 튜플${t}}$은$($는) P({$displaystyle$P$\})$의 arity와 일치합니다.

k는 $k변수$의 $,$ x${\displaystyle ,}$y(\$displaystyle$x,y)는 k변수의 벡터, P는 arity k의 2차 변수, θ는 x와 P를 변수로 하는 FO(PFP,X) 함수라고 합니다.( ${\displaystyle {Pi}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$N ( $P _$ { $i$} $_ { i$ \ $in$ N$$}${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{f<img\; alt="(P\_\{i\})\_\{\{i\backslash in\; N\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/8a3f186dac407cc2c7b489c64ebfd483b5f3313a"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:7.456ex;\; height:2.843ex;">}}$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ $f$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s}$ ( \ $display$ $style$$$P _$$$0$（ x ） $=$ $false$ } ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{Pi}}$ (${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle =\mathrm{pi}{}_{}}$(${\displaystyle {}_{}\mathrm{Pi}}$- 1, x$$) { $phi$} ( x )로 $정의$할 수 있습니다.변수 P)의 P)그런 다음 고정점이 있거나 (${\displaystyle {Pi}_{}}$) \$displaystyle (P_{i})$의${\displaystyle }$목록이 ^[3]주기적입니다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle {PFP}_{}}$${\displaystyle P_{}}$ , ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle （}$ $）$ ]{ $displaystyle$$$[ \$operatorname${$PFP$$}$ _ {$$$P$, x$$} \$phi$ ($$$y$ )$$} is$$$$ 、${\displaystyle }$고정점이 있는 경우 $y$의 고정점 ${\displaystyle {}_{}}$으로 정의되며, 그렇지 않은 경우 ^[4]false로 정의됩니다.Ps는 arity k의 특성이므로 $({$)에는 $최대{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $({$ 2$^{n^{k})$의 값이 있으므로 다항식 공간 카운터로 루프 ^[5]유무를 확인할 수 있다.

순서가 정해진 유한 구조에서 특성이 PSPACE에 ^[6]있는 경우에만 FO(PFP,X)로 표현 가능하다는 것이 증명되었다.

최소 고정 소수점 논리

부분 고정점 계산에 관여하는 반복 술어는 일반적인 단조가 아니기 때문에 고정점이 항상 존재하는 것은 아닙니다.최소 고정점 로직인 FO(LFP,X)는 FO(PFP,X)의 공식 세트이며, 여기서 부분 고정점은 P의 양의 발생만을 포함하는 공식 θ에 대해서만 취해진다(즉, 짝수의 부정이 선행되는 발생).이것에 의해, 고정 소수점 구성의 단조로움이 보증됩니다(즉, 2차 변수가 P인 경우, $)$ {$display P_{i}(x)}$는 항상 ${\displaystyle {Pi}_{}}$+ $)$ {$display P_{i+1}(x)}$을 $의미$합니다).

단조로움 때문에 P의 참표에는 벡터만 추가되며, 가능한 벡터는 ${\displaystyle n^{}}$ k$(\$ n$^{k})$이므로 ${\displaystyle n^{}}$ k$(\$ n$^{k}$개$$) 반복 전에 $항상{\displaystyle {}^{}}$ 고정점을 찾을 수 있습니다.Immerman과 Vardi에 ^[8]의해 독립적으로^[7] 보여지는 Immerman-Vardi 정리는 FO(LFP,X)가 모든 질서 있는 구조에서 P를 특징짓는다는 것을 보여준다.

최소 고정점 로직의 표현성은 언어 데이터로그를 쿼리하는 데이터베이스의 표현성과 정확히 일치하며, 데이터로그가 다항식 ^[9]시간에 실행 가능한 쿼리를 정확하게 표현할 수 있음을 보여줍니다.

인플레이션 고정 소수점 논리

고정점 구조의 단조로움을 보장하는 또 다른 방법은 반복의 모든 단계에서 P$${\$displaystyle$ P$}$에 $새로운{\displaystyle }$ 튜플만 추가하고$$P {\$displaystyle$ P$}$는 더 이상 유지되지 않는 튜플을 제거하는 것입니다.정식적으로는 IFP ${\displaystyle (}$ ( $,$ ${\displaystyle P_{}}$, ${\displaystyle x_{}}$) ( \ $displaystyle$ \$operatorname {$IFP } ( \ $phi _$ { P , $x$} )를 PFP ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle {}_{}}$\ $displaystyle _ P$, ${\displaystyle x}$$$)로서$$ ${\displaystyle \mathrm{정의}}$합니다.${\displaystyle 여기}$서 \$psi _$P ,$$x${\displaystyle =}$ ${\displaystyle ）}$ 。

이 인플레이션 고정점은 후자가 정의된 최소 고정점과 일치한다.언뜻 보기에 인플레이션 고정점 논리는 보다 넓은 범위의 고정점 인수를 지원하므로 최소 고정점 논리보다 표현력이 뛰어나야 하는 것처럼 보이지만, 사실 모든 FO[IFP](X) 공식은 FO[^[10]LFP](X) 공식과 동일합니다.

동시 유도

지금까지 소개된 모든 고정 소수점 연산자는 단일 술어의 정의만으로 반복되지만, 많은 컴퓨터 프로그램은 여러 술어에 대해 동시에 반복하는 것으로 보다 자연스럽게 생각됩니다.고정 소수점 연산자의 특성을 증가시키거나 이들을 내포함으로써,^[11] 모든 동시 최소, 인플레이션 또는 부분 고정 소수점은 실제로 위에서 설명한 대응하는 단일 반복 구조를 사용하여 표현될 수 있다.

추이적 폐쇄 논리

임의의 술어에 대한 유도를 허용하는 대신, 전이 폐쇄 로직은 전이 폐쇄만을 직접 표현할 수 있도록 한다.

FO[TC](X)는 1차 연결 및 술어, 2차 변수 및 전이 닫힘 ${\displaystyle \mathrm{연산자}}$ TC$(\displaystyle$ \$operatorname${TC$})$를 사용하여 X에서 형성된 공식 집합으로, [${\displaystyle {TC\stackrel{}{}}_{}}$ x ${\displaystyle {\to }_{}}$ , ${\displaystyle {y\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\to }_{}}$ ${\displaystyle \phi }$→ {style ${TCame$$})$ $s$ {\$display${TCame} 형식의 공식을 형성하기 위해 사용됩니다.$\vec {y}}\varphi$]{\$vec {s}}{\vec {t$ $여기$서 x ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$(\$displaystyle {x})$ 및$$ $y{\displaystyle \stackrel{}{}}$$→(\$$displaystyle {y})$는 쌍으로 구분되는 1차 변수 $→(\$$t})$의 tuples$$$)$입니다.$laystyle {vec$${x$$\}\},$ $→$ {$displaystyle$ {y$\}\},$ $s{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $→$ {$style$ {$vec {s}}$ 및$$ $t{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $→$ {$displaystyle {t}}$이(가) 일치합니다.

TC는 다음과 같이 정의됩니다.$k$를 양의 정수,${\displaystyle }$u, ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle x,}$ $(\displaystyle$u, $v, x, y$)를$$ k 변수의 벡터라고 합니다.만약(zi)가 z1=x, znxy{\displaystyle z_{1}=x,z_{n}=y},, 모든 이들을 위해 나는 <, n{\displaystyle i<, n},ϕ(z, zi1+){\displaystyle(z_{나는})}변수 n벡터의 존재 그리고 CT(ϕ u, v)(), y){\displaystyle{\mathsf{TC}}(\phi_{u,v})(x, y)}은 사실이다. {\dis$playstyle \phi(z_{i},z_{i+1})$가 참입니다.여기서 is은 FO(TC)로 표기된 $식이며{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$){ $displaystyle \phi ($x ,$y$ )}는$$ 변수 u 와 v 가 x 와 y 로 대체됨을 의미합니다.

FO[TC]는 순서가 높은 구조에서 복잡도 클래스 ^[12]NL을 특징짓습니다.이러한 특성화는 NL이 보완(NL = co-NL)^[13] 하에 닫혔다는 Immerman의 증명의 중요한 부분이다.

결정론적 추이적 폐쇄 논리

FO[DTC](X)는 FO(TC,X)로 정의되며, 여기서 전이 폐쇄 연산자는 결정론적입니다.즉, DTC ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle {、}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$) {$displaystyle \operatorname {DTC }(\phi$ _${u,v$를 ${\displaystyle \mathrm{적용}}$하면 모든 u에 대해 최대${\displaystyle }$1개의 v가 존재하므로 ${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle }$v$$) style $\phi (u,v$가 됩니다.

DTC ${\displaystyle {(}_{}}$ ($$\ $displaystyle$$$\$operatorname$$${$DTC$} ( \ $phi$_ {$u$ ,${\displaystyle {}_{}}$v$$$}$ )는 TC${\displaystyle {tc}_{}}$ ( \ $displaystyle$ \$operatorname${TC } ( \${\displaystyle \mathrm{psi}}$$$${\displaystyle \_}$${u$,${\displaystyle }$v )${\displaystyle =\mathrm{}u,}$ ${\displaystyle v}$ )의 구문설탕이라고 가정할 수 있습니다.$$를 클릭합니다.

FO[DTC]는 과도하게 정렬된 구조에서 복잡도 클래스 ^[12]L의 특성을 나타냅니다.

반복

지금까지 정의한 고정 소수점 연산은 공식에서 언급된 술어의 귀납적 정의를 고정점에 도달할 때까지 무한히 반복합니다.구현에서는 계산 시간을 제한하기 위해 반복 횟수를 제한할 필요가 있을 수 있습니다.결과 연산자는 복잡도 클래스의 특성화에도 사용될 수 있기 때문에 이론적인 관점에서도 관심이 있다.

$F{\displaystyle \mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{O}}$[ ${\displaystyle t}$(${\displaystyle n}$ )$]{$ $displaystyle {FO}$ [$t$ ($n$ ) $\}$ ;$여기$서${\displaystyle }$t (${\displaystyle n}$ $){$ $displaystyle$t ($n$ )는$$ 정수에서 정수까지의 함수 클래스이며, 함수 $클래스{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$){ $displaystyle$t ($$n )이 다르면 복잡도 $클래스{\displaystyle \mathsf{}\mathsf{F}}$ [${\displaystyle ]}$를 얻을 수 있습니다${\displaystyle .}$$(\displaystyle\mathsf {FO}}[t(n$

이 섹션에서는$$Q$displaystyle(\forall$ x $)$라고 씁니다.${\displaystyle }$$Q)$는 $displaystyle(\forall$x$P\rightarrow$ Q$))$및$$${\displaystyle \mathrm{(\backslash }\mathrm{xP})}$(\$displaystyle(\exists$ xP$))$를 의미합니다.$Q}$는${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{}x}$x ( ${\displaystyle P}$q${\displaystyle Q}$ )$){$ $displaystyle$( \ $exists$x ($P$ \ $wedge$ Q$$) }$$。QB는 Quantifier Block($QB$; 수량자 블록)을 정의해야 합니다.양자 블록은 목록$({\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{11}_{}{}_{}}$입니다${\displaystyle .(}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$k ,$$、 ） { $1$} { display \ $1$}$(Q_{k}x_{k},\phi_{k})$ 여기서$$ $(\$})는 무양자 FO $공식$이며 Q$$(\$displaystyle Q_{i$})는${\displaystyle }$${\$ {\ {\$display$ （\displaystyle $\$$forall$}) 또는$$$$（\$displaystyle$ \$exists$의 어느 쪽인가입니다.Q가 양자 블록일 경우입니다.n 연산자: Q $write{\displaystyle }$t ( ${\displaystyle n}$ $)\displaystyle$ t$(n)$ 시간으로$$ 정의됩니다.이 $목록$에는 k${\displaystyle (t}$ ( n $){$ $displaystyle k*t$ ($n)}$개의$$ 한정자가 있지만 k개의 변수와 각 변수가 t${\displaystyle }$($){$ $displaystyle$t ($n)}$^[14]회만$$ $사용$된다는 점에 유의해야 합니다.

${\displaystyle \mathsf{이제}}$ F O${\displaystyle }$[${\displaystyle t}$ (${\displaystyle n}$) $\$ $displaystyle$\$mathsf {FO}$ \ $t ($n ) [ t ( n ) ]를$$ 반복 연산자가 $클래스{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ $)\$ $displaystyle$t ($n$ $)$에 속하는 FO 공식으로 $정의$할 수 있으며 다음과 같은 값을 얻을 수 있습니다.

• ${\displaystyle }$$F$ O${\displaystyle }$[ ( $n$n ) $]{$ $displaystyle }{$$mathsf$ {$FO$${\displaystyle \}[}$ ( log n$$ )^{ $i$$}$는ⁱ FO-uniform AC와 동일하며, $실제로$는 $FO-uniform AC$ of $detepth{\displaystyle }$ t$($^[15]입니다$.$
• ${\displaystyle \mathsf{F}}$ O${\displaystyle }$[ ( ${\displaystyle \log n{}^{}}$n )${\displaystyle O^{}}$ ( ${\displaystyle 1^{}}$)$]{$ $displaystyle${$mathsf {FO}}$ [ ( ( $log$ n )^{$O$ (1$)$} }는$$ ^[16]NC와 동일합니다.
• ${\displaystyle \mathsf{F}}$O [ ${\displaystyle n^{}}$O ( ${\displaystyle 1^{}}$)$]{$ $displaystyle$ {$mathsf {FO}}[n^{O(1)}}}$은(는) PTIME과 같습니다.또, FO(IFP)^[17]를 쓰는 방법도 있습니다.
• ${\displaystyle \mathsf{F}}$ O${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {n{}^O}^{}}$ (${\displaystyle {1^{}}^{}}$ )$]{$ $displaystyle$ {$fo$} [ 2 ^ { $n$^ {$O$ ( 1 )$$} }는 PSPACE와 동일합니다.또, FO(PFP)를 쓰는 방법도 있습니다.^[18]

메모들

레퍼런스

• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg (1999). Finite Model Theory. Perspectives in Mathematical Logic (2 ed.). Springer. doi:10.1007/978-3-662-03182-7. ISBN 978-3-662-03184-1.
• Neil, Immerman (1999). Descriptive complexity. Springer. ISBN 0-387-98600-6. OCLC 901297152.