선형 부등식

수학에서 선형 부등식은 선형 함수를 포함하는 부등식이다.선형 부등식은 부등식의 기호 중 하나를 포함합니다.^[1]그래프 형태로 동일하지 않은 데이터를 보여줍니다.

• < 미만
• >보다 크다
• § 이하
• θ 이상
• §와 동일하지 않다
• =와 같다

선형 부등식은 등호 대신 부등식이 있는 선형 방정식처럼 보입니다.

실수의 선형 부등식

2차원 선형 부등식

2차원 선형 부등식은 다음 두 가지 형식의 변수에서 표현됩니다.

${\displaystyle ax+by<ccctext{ 및 }}ax+by\geq c,}$

불평등이 엄격하든 그렇지 않든 상관없습니다.이러한 부등식의 해 집합은 유클리드 ^[2]평면에서 반평면(유클리드 평면의 "변"에 있는 모든 점)으로 그래픽으로 표현될 수 있다.부등식이 엄격할 경우 반각선(ax + by = c)을 결정하는 선은 용액 집합에 포함되지 않습니다.솔루션 세트에 있는 하프플레인을 결정하는 간단한 절차는 선상에 없는 점(x₀, y₀)에서 ax + 값을 계산하고 부등식이 충족되는지 여부를 관찰하는 것입니다.

예를 들어 ^[3]x + 3y < 9의 용액 세트를 그리려면 먼저 방정식 x + 3y = 9를 점선으로 하여 선을 그어 부등식이 엄격하기 때문에 용액 세트에 포함되지 않음을 나타낸다.그런 다음 (0,0)과 같이 선상에 있지 않은 편리한 점을 선택합니다.0 + 3 (0) = 0 < 9이므로, 이 점은 용액 집합에 있으므로, 이 점을 포함하는 반평면(반평면 "직선")이 이 선형 부등식의 솔루션 집합입니다.

일반 차원에서의 선형 부등식

R에서ⁿ 선형 부등식은 다음과 같이 쓰여질 수 있는 표현식이다.

( ")< \ $display style$ fb $\ bar$ {$x$} $fた$ ( f ( ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$"${\displaystyle \stackrel{}{}}$) ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle b}$, \ $displaystyle$ f4$\ b$ , } \ $leq$ b$$, }

여기서 f는 선형 형식(선형 함수라고도 함), $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$θθ $=$ ( ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$n$$) {$displaystyle {$x}=($x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ 및$$ b 상수 실수입니다.

좀 더 구체적으로, 이것은 다음과 같이 기술될 수 있다.

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b}$

또는

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.}$

$여기$서 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2,${\displaystyle .,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $({$은 unknowns, $1{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,$(\$}, $a_{2},$ ..., $a_{n$})은$$ 계수라고 불립니다.

또는 다음과 같이 기술할 수 있습니다.

() < { $displaystyle$g ($x$ ) <$0$ , }$또는$ g${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle 0}$0 , \ $displaystyle$g ($x$ )\$leq$ 0$,$}

여기서 g는 아핀 ^[4]함수입니다.

그것은

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0}$

또는

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.}$

"보다 크다" 또는 "보다 크다" 부호를 포함하는 부등식은 "보다 작다" 또는 "보다 작다" 부호로 다시 쓸 수 있으므로 이러한 부호를 사용하여 선형 부등식을 정의할 필요가 없습니다.

선형 부등식계

선형 부등식 시스템은 동일한 변수의 선형 부등식 집합입니다.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots.\와 같이^;&,&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&,&\;+\,&&a_{m2들}x_{2}&,&\;+\cdots +\,&&a_{중성자의 정지 질량}x_{n}&,&\;\leq\;&,&&b_{m}\\\end{aligne.dat}}$

$여기$서 ${\displaystyle {x1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {x2\mathrm{}}_{}.,}$ $({$$displaystyle$ $x_{$1${\displaystyle \},\backslash }$$x_$${\displaystyle \{}$$n$${\displaystyle \})}$은 알 수 없는 $값$이고${\displaystyle {}_{}}$ $a11,\a_{$은 시스템의 ${\displaystyle {계수}_{}}$이며${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\text{b}{}_{},}$$b_$${$}는 알 수 없는 값입니다${\displaystyle .}$음...

이것은 행렬 부등식으로 간결하게 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle Ax\leq b,}$

여기서 A는 m×n 행렬, x는 n×1 변수 열 벡터, b는 m×1 상수 ^{[citation needed]}열 벡터이다.

위의 시스템에서는 엄격한 부등식과 엄격하지 않은 부등식이 모두 사용될 수 있다.

• 선형 부등식의 모든 시스템이 해답을 가지고 있는 것은 아니다.

변수는 푸리에-모츠킨 ^[5]제거를 사용하여 선형 부등식 시스템에서 제거할 수 있다.

적용들

다면체

실선형 부등식의 해 집합은 대응하는 선형 방정식에 의해 정의된 두 개 중 하나인 'n'차원 실공간의 반공간을 구성한다.

선형 부등식 시스템의 해 집합은 개별 부등식에 의해 정의된 반공간들의 교차점에 대응한다.반공간이 볼록 집합이고 볼록 집합의 교집합도 볼록 집합이기 때문에 볼록 집합이다.비퇴화 경우 이 볼록 집합은 볼록 다면체(예: 반공간, 두 개의 평행 반공간 또는 다면체 원뿔 사이의 슬래브)이다.또한 n차원ⁿ 공간 R의 아핀 부분공간에 국한된 저차원의 볼록 다면체일 수도 있다.

선형 프로그래밍

선형 프로그래밍 문제는 일반적으로 선형 ^[6]부등식인 변수에 대한 여러 제약조건에 따라 함수(객관함수라고 함)를 최적화(최대 또는 최소값 찾기)하려고 합니다.제약의 목록은 선형 부등식의 체계이다.

일반화

위의 정의는 덧셈, 곱셈 및 비교의 명확한 연산을 필요로 한다. 따라서 선형 부등식의 개념은 순서환, 특히 순서장으로 확장될 수 있다.

레퍼런스

원천

• Angel, Allen R.; Porter, Stuart R. (1989), A Survey of Mathematics with Applications (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-13696-1
• Miller, Charles D.; Heeren, Vern E. (1986), Mathematical Ideas (5th ed.), Scott, Foresman, ISBN 0-673-18276-2

외부 링크

• 칸 아카데미: 선형 불평등, 무료 온라인 마이크로 강의