로그 평균 온도 차이

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로그 평균 온도 차이(로그 평균 온도 차이, LMTD라고도 함)는 특히 열 교환기에서 유량 시스템의 열 전달에 대한 온도 구동력을 결정하는 데 사용된다. LMTD는 이중 배관 교환기의 각 끝에서 고온과 저온 공급 사이의 온도 차이에 대한 로그 평균이다. 일정한 면적과 열전달계수를 갖는 주어진 열교환기의 경우 LMTD가 클수록 더 많은 열이 전달된다. LMTD의 사용은 일정한 유량 및 유체 열 특성을 가진 열 교환기의 분석으로부터 직접적으로 발생한다.

정의

우리는 일반적인 열 교환기가 ("A"와 "B"라고 부르는) 두 개의 끝을 가지고 있다고 가정한다. 그 다음에 LMTD는 다음과 같은 로그 평균으로 정의된다.

역류 온도 프로파일에^[1] 표시된 LMTD

${\displaystyle LMTD={\fracta T_{A}-\Delta T_{B}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\fracta T_{A}}}{\Delta T_}}\오른쪽)}}}={\frac{\delta T_{A}-\Delta T_{B}}{{B}}{\ln \Delta T_{B}}}}}}}}}}}}$

여기서 ΔT는_A 끝 A에서 두 스트림 사이의 온도 차이이고, ΔT는_B 끝 B에서 두 스트림 사이의 온도 차이다. 두 온도 차이가 같을 때 이 공식은 직접적으로 해결되지 않으므로 LMTD는 통상적으로 한계값과 동일한 것으로 간주되며, 이 경우 두 차이와 사소한 차이가 된다.

이 정의로 LMTD는 열교환기에서 교환되는 열을 찾는 데 사용할 수 있다.

$[\displaystyle Q=U\time A\time LMTD}$

여기서 Q는 교환 열 관세(와트 단위), U는 열 전달 계수(평방미터당 켈빈당 와트 단위), A는 교환 지역이다. 열 전달 계수의 추정은 상당히 복잡할 수 있다.

이것은 스트림이 같은 끝에서 들어오는 고치 흐름과 다른 끝에서 들어오는 역류 흐름을 모두 잡아준다.

한 시스템, 보통 열제거원이 열전달 표면의 모든 지점에서 동일한 공칭온도를 갖는 교차 흐름에서 교환된 열과 LMTD는 유사한 관계를 가지지만 보정 계수는 있다. 또한 배플이 있는 쉘 및 튜브 교환기와 같이 더 복잡한 다른 기하학적 구조에도 보정 계수가 필요하다.

파생

일반적인 좌표 A에서 B까지 축 z를 따라 2개의 유체(z) 사이에서, z를 따라 온도가 T₁(z)와 T₂(z)인 열 교환기에서 열 전달이 발생한다고^[2] 가정한다.

z에서 국소 교환 열량은 온도 차이에 비례한다.

${\displaystyle q(z)=U(T_{2}-T_{1}(z)/D=U(\Delta \;T(z)/D,}$

여기서 D는 두 유체 사이의 거리다.

수액을 남기는 열은 푸리에의 법칙에 따라 온도 구배를 일으킨다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \T_{1}:{1}{{d} \\mathrm {d} \,z}},}=k_{1}(z)-{2}(z)=-k_{a}\Delta T(z)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \T_{2}}:\mathrm {d} \,z},}=k_{b}(z)-{1}(z)=k_{b}\,\Delta T(z)}$

여기서 k와_a k는_b 각각 A 지점과 B 지점에서 간섭 물질의 열전도율이다. 요약하면, 이것은

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,\Delta T}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\mathrm {d} \,(T_{2}-T_{1})}{\mathrm {d} \,z}}={\frac {\mathrm {d} \,T_{2}}{\mathrm {d} \,z}}-{\frac {\mathrm {d} \,T_{1}}{\mathrm {d} \,z}}=K\Delta T(z)}$

여기서 K=k_a+k_b.

교환된 총 에너지는 A에서 B로 국소 열 전달 q를 통합하여 구한다.

${\displaystyle Q=\int _{A}q(z)dz={\frac {U}\int _{A}{D}}\Delta T(z)dz={\frac {U}}\int _{A}{B}\Delta T\dz}$

열 교환기 영역 AR이 파이프 길이 B-A에 인터피프 거리 D를 곱한 것을 사용한다.

${\displaystyle Q={\frac {UAr}{(B-A)}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {UAr\int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\int _{A}^{B}\,dz}}}$

두 통합에서 변수를 z에서 Δ T로 변경하십시오.

${\displaystyle Q={\frac {UAr\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}\Delta T{\frac {\mathrm {d} \,z}{\mathrm {d} \,\Delta T}}\,d(\Delta T)}{\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {\mathrm {d} \,z}{\mathrm {d} \,\Delta T}}\,d(\Delta T)}}}$

위에서 발견된 Δ T에 대한 관계를 가지고, 이것은

${\displaystyle Q={\frac {UAr\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K}}\,d(\Delta T)}{\int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d(\Delta T)}}}$

이 시점에서 통합은 사소한 것이며, 마지막으로 다음을 제공한다.

${\displaystyle Q=U\times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln[\Delta T(B)/\Delta T(A)]}}}$,

여기서 LMTD의 정의는 다음과 같다.

가정 및 제한사항

• 두 유체의 온도에 대한 변화 속도는 온도 차이에 비례한다고 가정되었다. 이 가정은 특정 열이 일정하게 있는 유체에 유효하다. 이는 유체가 비교적 작은 범위에서 온도를 변화시키는 것을 잘 설명하는 것이다. 그러나 특정 열이 변하면 LMTD 접근법은 더 이상 정확하지 않을 것이다.
• LMTD의 특별한 경우는 응축기와 재보일러인데, 여기서 위상 변화와 관련된 잠열이 가설에 대한 특별한 경우다. 콘덴서의 경우 고온 유체 흡입구 온도는 고온 유체 배출 온도와 동일하다.
• 또한 열전달계수(U)가 일정하며, 온도의 함수가 아니라고 가정하였다. 그렇지 않은 경우 LMTD 접근법은 다시 유효성이 떨어질 것이다.
• LMTD는 정상 상태 개념이며 동적 분석에는 사용할 수 없다. 특히 LMTD를 교환기의 양쪽에서 짧은 시간 동안 온도 차이가 서로 다른 기호를 갖는 과도현상에 적용한다면 로그 함수에 대한 인수는 음수가 되어 허용될 수 없다.
• 안정적인 상태 흐름,
• 열 전달 중 위상 변화 없음
• 운동 에너지와 잠재적 에너지의 변화는 무시된다.

참조

• Kay J M & Nedderman R M (1985) 유체역학과 전이 과정, 캠브리지 대학 출판부