맥레인 코히렌스 정리

범주론에서, 수학의 한 분야인 맥 레인의 일관성 정리는 손더스 맥 레인의 말로 "모든 도표는 일치한다"^[1]고 말한다.보다 정확하게 (cf).#반대 예)는 모든 공식 도표가 일치한다고 기술하고 있으며, 여기서 "형식 도표"는 잘 형성된 공식과 증명 이론의 용어들의 유사체이다.

반대 예

Isbell의 ^[2]다음 예에서 볼 수 있듯이 문자 그대로 모든 다이어그램의 통신을 보여줄 수 있다고 기대하는 것은 타당하지 않습니다.

$D\times D=D$ e ${\mathsf {Set}}_{0}\subset {\mathsf {Set}}$ ${\mathsf {Set}}_{0}\subset {\mathsf {Set}}$ ${\mathsf {Set}}_{0}\subset {\mathsf {Set}}$ ${\mathsf {Set}}_{0}\subset {\mathsf {Set}}$ ${\mathsf {Set}}_{0}\subset {\mathsf {Set}}$ t ${\mathsf {Set}}_{0}\subset {\mathsf {Set}}$ t t \ displaystyle { $Set } _$ { 0 } \ $subset$ { $mathsf$ { Set $}$ $D\times D=D$ $D\times D=D$ $D\times D=D$ × D $D\times D=D$ D \ $displaystyle$ D \ $times$ D = $D$ （ displaystyle D ）。 $p:D=D\times D\to D$ p $p:D=D\times D\to D$ : $p:D=D\times D\to D$ $p:D=D\times D\to D$ × $p:D=D\times D\to D$ $p:D=D\times D\to D$ \ $displaystyle$ p $:D =$ $D\times$ D $\to$ D는 $p:D=D\times D\to D$ 첫 번째 요인에 대한 투영입니다. $f,g:D\to D$ f $f,g:D\to D$ $f,g:D\to D$ : D $f,g:D\to D$ {\ $displaystyle f,$ : $D\to$ D $f,g:D\to D$ $f\circ p=p\circ (f\times g)$ $f\circ p=p\circ (f\times g)$ $f\circ p=p\circ (f\times g)$ $f\circ p=p\circ (f\times g)$ p $f\circ p=p\circ (f\times g)$ ( f $f\circ p=p\circ (f\times g)$ × $f\circ p=p\circ (f\times g)$ ){ $displaystyle$ f $\times$ p $=p\$ times ( $f\$ $times$ g $f\circ p=p\circ (f\times g)$ 가 $f\circ p=p\circ (f\times g)$ . $\alpha :X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z$ 자연 $\alpha :X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z$ : $X$ × ( $\alpha :X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z$ × $\alpha :X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z$ ) × $\alpha :X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z$ \ $displaystyle$ \ $alpha : Times$ ( Y \ $times$ ) $f,g,h:D\to D$ $f,g,h:D\to D$ : D $f,g,h:D\to D$ {\ $displaystyle$ f $,g,h:D\to$ D $f,g,h:D\to D$ 에 대해 α $\alpha$ {\ $displaystyle \alpha}$ 는 $\alpha$ 동일성이며 자연스럽기 $\alpha$

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

（

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

× (

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

× h

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

)

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

(

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

×

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

h ) = p

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

(

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

(

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

×

g

) ×

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

)

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

∘ ∘

=

(

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

×

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

)

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

f\circ p=p\circ (f\times (g\times h))=p\circ \alpha \circ (f\times (g\times h))=p\circ ((f\times g)\times h)\circ \alpha =(f\times g)\circ p

\

display

p \

times

(

f

\

times

)

= p

\

times

\ f \ times \ times (

f

× h ) \

times

\ times )

p{\ $displaystyle$ p}는 $p$ 에피모르피즘이므로 f $f=f\times g$ × $f=f\times g$ { $displaystyle$ f $=f\times$ g $f=f\times g$ 를 $f=f\times g$ 합니다. 마찬가지로 두 번째 인자에 투영하면 g $g=f\times g$ × $g=f\times g$ { $displaystyle$ g $=f\times$ g}이므로 $g=f\times g$ f $f=g$ { $displaystyle$ f $=g$ 는 터무니 없습니다.

증명

메모들

^ 맥 레인 1998, Ch VII, § 2
^ 맥 레인 1998, 7장 § 1의 끝

레퍼런스

Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the working mathematician. New York: Springer. ISBN 0-387-98403-8. OCLC 37928530.
대수학 소스로서의 손더스 맥 레인, 토폴로지 및 로직 섹션 5 (대통령 퇴임 연설), AMS 82:1의 회보, 1976년 1월.

외부 링크

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[1] 맥 레인 1998, Ch VII, § 2

[2] 맥 레인 1998, 7장 § 1의 끝

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