평균값 정리(분할된 차이)

수학적 분석에서, 분할된 차이에 대한 평균값 정리는 더 높은 파생상품에 대한 평균값 정리를 일반화한다.^[1]

정리명세서

n + 1 쌍 별개의 점 x₀, ..., x는_n n-time differentable 함수의 영역에 내부 점이 있음 f

${\displaystyle \xi \in (\min\{x_{0},\max\{x_{n}\},}$

여기서 f의 n번째 파생상품은 n번째 분할된 차이를 곱한 값이다.

${\displaystyle f[x_{0},\display,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

n = 1의 경우, 즉 두 개의 함수 점에 대해, 한 가지는 단순 평균값 정리를 얻는다.

증명

f에 x0에서 P{P\displaystyle}이 라그랑즈의 보간 다항식,..., xn자.그러면 그것은 P{P\displaystyle}의 뉴턴 형에서 P{P\displaystyle}의 가장 높은 용어는 정보를 알아내[x0,…,)n]()−)n− 1)때문에()− x1)()− x0){\displaystyle f[x_{0}일 경우 ,\dots{n,x_}](x-x_{n-1 따른다.$}}\cHB(x-x_{1})(x-x_{0$

까지 g(n.은 보간의 g{\displaystyle g} 나머지 g에 의해 정의되)f− P{\displaystyle g=f-P}. 그리고 g{\displaystyle g}1{\displaystyle n+1}0:x0,..., xn+n다. 첫번째 입수{\displaystyle g}에 롤의 정리를 적용하여, 그때′{\displaystyle g'}입수, 등등자−${\displaystyle {}^{}}$$1{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$) ${\$ g${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {)}^{}}$ ${\$은(는) 0 $find{\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$ 입니다$.$라는 뜻이다.

${\displaystyle 0}$= ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle n^{}}$) (${\displaystyle {}^{}\xi }$)${\displaystyle }$= f ( ${\displaystyle n^{}}$) (${\displaystyle {}^{}(}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$ [ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n}$! ${\displaystyle 0=g^{(n)}(\xi )=f^{0}(\xi )-f[x_{0},\x_{n}}n$ .

${\displaystyle f[x_{0},\display,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}.}$

적용들

이 정리는 스톨라스키의 의미를 세 개 이상의 변수에 일반화하는 데 사용될 수 있다.

참조