다중 척도 분석

수학 및 물리학에서 다중 척도 분석(다중 척도의 방법이라고도 함)은 독립 변수의 작은 값뿐만 아니라 큰 값 모두에 대해 섭동 문제 해결책에 대해 균일하게 유효한 근사치를 구성하기 위해 사용되는 기법으로 구성된다. 이것은 독립변수에 대해 빠른 척도변수와 느린 척도변수를 도입하고, 이후 이들 변수를 마치 독립변수인 것처럼 빠르고 느린 척도로 처리함으로써 이루어진다. 그 이후의 섭동 문제의 해결 과정에서, 새로운 독립 변수에 의해 도입된 결과 추가 자유는 세속적인 용어를 제거(원하지 않음)하는 데 사용된다. 후자는 용해 조건이라고 불리는 대략적인 용액에 제약을 가한다.

1980년대 경의 수학 연구는 변환과 불변 다지관을 조정하여 멀티스케일 모델링(예: 중심 다지관과 저속 다지관 참조)을 위한 음향기 지원을 제공할 것을 제안한다.

예: 비감쇠 더핑 방정식

미분방정식과 에너지절약

다중 척도 분석 방법의 예로서, 다음과 같은 미감수 및 용서되지 않은 더핑 방정식을 고려하십시오.^[1]

${\dplaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}+y++\varepsilon y^{3}=0,}$ ${\displaystyle y(0)=1,\qquad {\frac {dy}{dt}=0,}$

비선형 오실레이터를 설명하는 2차 일반 미분 방정식이다. (양) 비선형성 매개변수 0 < parameter parameter 1의 작은 값에 대한 솔루션 y(t)를 구한다. 비암페어 더핑 방정식은 해밀턴 계통으로 알려져 있다.

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}},\qquad {\frac {dq}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p}},\quad {\text{ with }}\quad H={\tfrac {1}{2}}p^{2}+{\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4},}$

q = y(t) 및 p = dy/dt. 따라서 해밀턴 H(p, q)는 보존된 수량이며, 주어진 초기 조건에 대해 H = + + ε과 같은 상수다. 이는 y 및 dy/dt 둘 다 경계해야 함을 의미한다.

${\displaystyle \left y(t)\right \leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\quad {\text{ and }}\quad \left {\frac {dy}{dt}}\right \leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\qquad {\text{ for all }}t.}$

간단한 섭동 시리즈 솔루션

A regular perturbation-series approach to the problem proceeds by writing ${\textstyle y(t)=y_{0}(t)+\varepsilon y_{1}(t)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}$ and substituting this into the undamped Duffing equation. $\epsilon$ ${\textstyle \varepsilon$}의 일치하는 검정력은 방정식의 시스템을 제공한다$$.

${\dplaystyle {\frac {d^{2}y_{0}{dt^{2}}+y_{0}=0,}$

${\displaystyle \frac{d^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$- y ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 3 ${\frac {d^{$2}$y_{1$}:{1$}}{dt^{2}}+y_{1}=-y_{0}^{3$

이러한 주제를 초기 조건에 따라 풀면 결과가 나온다.

${\displaystyle y(t)=\cos(t)+\varepsilon \left[{\tfrac {1}{32}}\cos(3t)-{\tfrac {1}{32}}\cos(t)-\underbrace {{\tfrac {3}{8}}\,t\,\sin(t)} _{\text{secular}}\right]+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}$

사각형 가새 사이의 마지막 용어는 세속적이라는 점에 유의하십시오. 큰 t에 대한 구속 없이 성장한다는 점에 유의하십시오. $특히{\displaystyle }$ t${\displaystyle }$= O${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {\mathrm{ϵ}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle t=O(\epsilon$^{-$1})$의 경우 이 용어는 O(1)이며 선행 조건과 동일한 크기의 순서를 갖는다. 용어들의 순서가 흐트러졌기 때문에, 시리즈는 더 이상 무증상 해결책의 확장이 아니다.

다중척도법

$t{\displaystyle }$= ${\displaystyle O(}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$) ${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-1})$ 이상으로 유효한 솔루션을 구성하려면 다중 척도 분석 방법을 사용한다$.$ 저울 t 소개₁:

${\displaystyle t_{1}=\varepsilon t\,}$

그리고 솔루션 y(t)가 t와 t₁ 모두에 의존하는 섭동 시리즈 솔루션이라고 가정하고 다음과 같이 처리한다.

$[\displaystyle y(t)=]Y_{0}(t,t_{1})+\varepsilon Y_{1}(t,t_{1})+\cdots .}$

자:

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{퇴적물의 일종}{dt}}&=\left({\frac{\partial Y_{0}}{\partial t}}와{\frac{dt_{1}}{dt}}{\frac{\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}\right)+\varepsilon \left({\frac{\partial Y_{1}}{\partial t}}와{\frac{dt_{1}}{dt}}{\frac{\partial Y_{1}}{\partial t_{1}}}\right)+\cdots \\&, ={\frac{\partial Y_{0}}{\partial지}}+\varepsilon.\left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}+{\partial Y_{1}:{1}{\partial t}\right)+{\mathcal {O}(\varepsilon ^{2}),\end{aigned}}}}}}}$

dt₁/dt = ε 사용. 마찬가지로:

${\dapplaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}={\frac {\fract ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}+\varepsilon \left(2{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}+{\frac {\partial ^{2}Y_{1}{{1}:{\partial t^{2}}}\오른쪽)+{\mathcal{O}}(\varepsilon ^{2}).}$

그 후 더핑 방정식에 대한 다중-점수 섭동 시리즈의 제로스와 1차적 문제는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\frac}{\frac {\reason ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+Y_{0}&=0,\\\frac {\partial ^{2}Y_{1}:{\partial t^{2}}}+Y_{1}&=-Y_{0}^{3}-2\,{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}.\end{정렬}}}$

해결책

제로 주문 문제는 일반적인 해결책이 있다.

${\displaystyle Y_{0}(t,t_{1})=A(t_{1})\,e^{+it}+A^{\ast }(t_{1})\,e^{-it}}}$

A(t₁)를 사용하여 제로 주문 용액에 대한 복합₀ 값 진폭₁ Y(t², t) 및 i = -1. 자, 1차적 문제에서 미분 방정식의 우측에 있는 강제력은

$왼쪽[-3\,A^{2}\,A^{{\}-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}\right]\,e^{+it}-A^{3}\,e^{+3it}+c.}$

여기서 c.c.는 앞의 용어의 복잡한 결합을 나타낸다. 세속적인 용어의 발생은 (아직 알려지지 않은) 진폭 A(t₁)의 해결 가능성 조건에 부과함으로써 방지할 수 있다.

$-3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}=0.}$

또한 초기 조건 y(0) = 1 및 dy/dt(0) = 0을 만족하는 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle A={\tfrac {1}{1}2}}\,\exp \좌측({\tfrac {3}{8}\,i\,t_{1}\우측)}$

그 결과, 다중 구간 분석에 의한 대략적인 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle y(t)=\cos \left[1+{\tfrac {3}{8}\barepsilon \right]+{\mathcal {O}(\varepsilon ),}$

t₁ = εt 사용, εt = O(1)에 유효하다. 이는 Lindstedt-Poincaré 방법을 사용함으로써 발견된 비선형 주파수 변화와 일치한다.

이 새로운 솔루션은 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle O(}$ ${\displaystyle {\mathrm{ϵ}}^{}}$- 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle t=O(\epsilon ^{-2})}$까지 유효하다$.$ 고차 솔루션은 다중 척도의 방법을 사용하여 느린 척도를 추가로 도입해야 한다. 즉₂, t² = , t₃, t = ε³ t 등. 그러나 이는 세심한 치료가 필요한 섭동 시리즈 용액에 가능한 모호성을 도입한다(Kevorkian & Cole 1996; Bender & Orszag 1999 참조).^[2]

진폭/위상 변수에 대한 좌표 변환

대안적으로, 현대의 접근법은 다음에 기술된 것과 같이 정상적인 형태의 방법에서와 같이 좌표 변환을 사용하여 이러한 종류의 모델을 도출한다.

A solution ${\displaystyle y\approx r\cos \theta }$ is sought in new coordinates ${\displaystyle (r,\theta )}$ where the amplitude ${\displaystyle r(t)}$ varies slowly and the phase ${\displaystyle \theta (t)}$ varies at an almost constant rate, namely ${\displays$$tyle d\theta /dt\$ 약 $1.}$직접$$ 대수학에서 좌표 변환을^{[citation needed]} 발견함

${\displaystyle y=r\cos \theta +{\frac {1}{32}}\varepsilon r^{3}\cos 3\theta +{\frac {1}{1024}}\varepsilon ^{2}r^{5}(-21\cos 3\theta +\cos 5\theta )+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})}$

더핑의 방정식을 반경이 일정한 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$/ ${\displaystyle d}$ t${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle dr/dt=0}$이고 위상은 에 따라 진화하는 쌍으로 변환한다.

${\dplaystyle {\frac {d\teta}{dt}=1+{\frac {3}{8}}\varepsilon r^{2}-{1556}}}}\varepsilon ^{2}r^{4}+{\mathcal{O}(\varpsilon ^{3}).}$

즉, 더핑의 진동은 일정한 진폭 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이지만 진폭에 따라$$ 주파수는 d ${\displaystyle \mathrm{different}}$ /${\displaystyle d}$ t ${\displaystyle d\ta /dt}$이다.^[4]

더 어려운 예들은 복잡한 지수들을 포함하는 시간 의존적인 좌표 변환을 사용하여 더 잘 처리된다(이전의 다중 시간 척도 접근법에서도 호출되었다). 웹 서비스는 광범위한 예에 대해 분석을 수행할 것이다.^[5]

참고 항목

• 일치하는 점근확장법
• WKB 근사치
• 평균화 방법
• 크릴로프-보골류보프 평균법

메모들

참조

외부 링크

• Carson C. Chow (ed.). "Multiple scale analysis". Scholarpedia.