중앙집중기 및 노멀라이저

수학에서, 특히 그룹 이론, G({\displaystyle C_{G}(S)}요소 CG의 부분 집합 S그룹 G의 중심자(이라고도 불리는 commutant[1][2])집합 g에 의해 각 멤버 g∈ CG({\displaystyleg\in C_{G}(S)}S의 각 요소와 동등하게 통근한다, 그런 변화 {\dis$Playstyle g}$은(는) S의 각 요소를 고정시킨다$$.G에서 S의 노멀라이저(Normalizer$)$는${\displaystyle }$G의 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ( S ) {\$displaystyle$N_${$G}($S)}$ 원소의 집합으로, $조합$으로 고정된 $\$ G {\$displaystyle$ S\$subseteq$ G$}$을(를) 그대로 두는 약한 조건을 만족한다.S의 중앙집중기와 정규기는 G의 하위집합이다. 그룹 이론의 많은 기술은 적절한 서브셋 S의 중앙집중기와 정규집중기를 연구하는 것에 기초한다.

적절하게 공식화된 정의는 모노이드와 세미그룹에도 적용된다.

링 이론에서, 링의 서브셋의 중앙집중기는 링의 세미그룹( 곱셈) 작동과 관련하여 정의된다.링 R의 부분집합 중심기는 R의 서브링이다.이 글에서는 또한 리 대수에서 중앙집중제와 노멀라이저를 다루고 있다.

세미그룹이나 링의 이상제는 중앙집중기, 노멀라이저와 같은 맥락의 또 다른 구조다.

정의들

그룹 및 세미그룹

그룹(또는 Sem그룹) G의 부분 집합 S의 중심기는 다음과^[3] 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm{C}_{G}(S)=\left\in Gs=sg{\text{{}{}s\in S\right\}=\in G\mid gsg^{g\n1}=s{\text{{}}}}}}}}.}$

여기서 첫 번째 정의만 세미그룹에 적용된다.해당 집단에 대한 모호성이 없다면 G는 표기법에서 억제할 수 있다.S = {a}이(가) 싱글톤 집합일 때 우리는_G C({a}) 대신 C(a_G)라고 쓴다.중앙집중기의 또 다른 덜 흔한 표기법은 Z(a)로 중심부의 표기법과 유사하다.이 후자의 표기법으로 G, Z(g)의 중심과 G, Z(g)의 원소 G의 중심 사이에 혼동을 일으키지 않도록 주의해야 한다.

그룹(또는 semigroup) G에서 S의 Normalizer는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \mathrm{N}_{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\reft\in G\mid gSg^{-1}=S\rig\rig\in}.}$

여기서 다시 첫 번째 정의만 세미그룹에 적용된다.그 정의들은 비슷하지만 동일하지는 않다.g가 S의 중심축에 있고 s가 S에 있으면 gs = sg여야 하지만 g가 노멀라이저에 있으면 gs = tg가 S의 일부 t에 대해 s와 다를 수 있다.즉, S의 중앙집중기 요소는 S와 점방향으로 통근해야 하지만 S의 노멀라이저 요소는 S를 집합으로 하여 통근하면 된다.중앙집권자에 대해 위에서 언급한 것과 동일한 공칭 규약이 일반집합자에도 적용된다.노멀라이저는 정상 폐쇄와 혼동해서는 안 된다.

분명히 $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$( ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle G{}_{}}$( S${\displaystyle }$) ${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}}$이(가) 있으며, $둘{\displaystyle }$ 다 G ${\displaysty G}$의 하위 그룹이다$.$

링, 필드 위의 대수, 리 링, 리 대수

만약 R이 한 필드의 링 또는 대수이고 S가 R의 서브셋이라면, S의 중심기는 정확히 그룹에 대해 정의된 것과 같으며, R은 G의 위치에 있다.

$L{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) Lie 제품[x, y]이 있는 Lie 대수(또는 $Lie$ 링)인$$ 경우,$$L {\$displaystyle${\$mathfak{$의 부분 집합 S의 중심자는 다음과 같이^[4] 정의된다$$.

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}=\{x\in {L}}\mid [x,s]=0{\text{{in}}모든 }s\in S\}.}$

리 링에 대한 중앙집중제 정의는 다음과 같은 방법으로 링에 대한 정의와 연결된다.R이 연관 고리인 경우, R은 브래킷 제품 [x, y] = xy - yx를 받을 수 있다.물론 xy = yx인 경우에만 [x, y] = 0. 브래킷 제품을 L로_R 하여 설정된 R을 나타낸다면, R에서 S의 링 중앙집중제는_R L에서 S의 리 링 중앙집중기와 분명히 같다.

리 대수(또는 리 링) $L{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 부분 집합 S의 Normalizer는 다음과^[4] 같이 주어진다$$.

${\displaystyle \mathrm{N} _{\mathfrak {L}=\{x\in {L}\mid [x,s]\in S{\text{in}} }}모든 }s\in S\in S\}.}$

While this is the standard usage of the term "normalizer" in Lie algebra, this construction is actually the idealizer of the set S in ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$. If S is an additive subgroup of ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$, then ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$ is the largest Lie subring (또는 Lie subalgebra, 경우에 따라 Lie subalgebra) S가 Lie 이상적이다.^[5]

특성.

세미그룹

Let $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ S$'}$은(는) sem그룹 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 있는$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 중심기를 나타낸다$.$${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.}$ Then ${\displaystyle S'}$ forms a subsemigroup and ${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$; i.e. a commutant is its own bicommutant.

무리

출처:^[6]

• S의 중심기와 정규기는 모두 G의 부분군이다.
• Clearly, ${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}$. In fact, ${\displaystyle C_{G}(S)}$ is always a normal subgroup of ${\displaystyle N_{G}(S)}$, being the kernel of the homomorphism ${\displaystyle N_{G}(S)\to \operatorname {Bij} (S)}$and the group ${\displaystyle N_{G}(S)/C_{G}(S)}$ acts by conjugation as a group of bijections on ${\displaystyle S}$ . E.g. the Weyl group of a compact Lie group ${\displaystyle G}$ with a torus ${\displaystyle T}$ is defined as ${\dis$$Playstyle W(G,H)=N_{$G}(T)/$C_{G}(T$ 특히 토러스가 최대인 경우(예: $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}(T}$ ) = ${\displaystyle T}$ $displaystyle C_{G}(T)=T}$ $)$는 거짓말 그룹 이론의 중심 도구다.
• C_G(C_G)는 S를 포함하지만 C_G(S)는 S를 포함할 필요가 없다.격납은 S가 아벨리안일 때 정확히 일어난다.
• H가 G의 부분군이라면 N(H_G)은 H를 포함한다.
• H가 G의 부분군인 경우, H가 정상인 G의 가장 큰 부분군은 부분군_G N(H)이다.
• S의 모든 요소가 서로 통근할 수 있는 G의 부분 집합인 경우, 중심에 S가 포함된 G의 가장 큰 부분군은 부분군_G C(S)이다.
• 그룹 G의 부분군 H는 N_G(H) = H일 경우 G의 자체 정규화 부분군이라고 한다.
• G의 중심은 정확히 C_G(G)이고 C_G(G) = Z(G) = G인 경우에만 G는 아벨 그룹이다.
• 싱글톤 세트의 경우, C_G(a) = N_G(a)이다.
• 대칭에 의해, S와 T가 G의 두 부분 집합인 경우, T ( C(S_G)는 S ( C(T_G)일 경우에만 해당된다.
• For a subgroup H of group G, the N/C theorem states that the factor group N_G(H)/C_G(H) is isomorphic to a subgroup of Aut(H), the group of automorphisms of H. Since N_G(G) = G and C_G(G) = Z(G), the N/C theorem also implies that G/Z(G) is isomorphic to Inn(G), the subgroup of Aut(G) consisting of all inner automorphisms of G.
• If we define a group homomorphism T : G → Inn(G) by T(x)(g) = T_x(g) = xgx⁻¹, then we can describe N_G(S) and C_G(S) in terms of the group action of Inn(G) on G: the stabilizer of S in Inn(G) is T(N_G(S)), and the subgroup of Inn(G) fixing S pointwise is T(C_G(S)).
• 그룹 G의 부분군 H는 일부 부분군 S ⊆ G에 대해_G H = C(S)이면 C-폐쇄 또는 자기-bicommutant라고 한다. 만일 그렇다면, 사실상 H_G = C(C_G)(H)이다.

들판 위의 링과 알헤브라

출처:^[4]

• 밭 위 링의 중앙집중기와 알헤브라의 중앙집중기는 각각 밭 위에 있는 서브링과 서브알제브라, 그리고 리알헤브라의 중앙집중제는 각각 리 서브링과 리 서브알제브라다.
• 리 링에 있는 S의 노멀라이저에는 S의 중앙집중기가 들어 있다.
• C_R(C_R(S))는 S를 포함하지만 반드시 동일하지는 않다.이중 중앙집권자 정리는 평등이 일어나는 상황을 다룬다.
• S가 리 링 A의 첨가제 부분군인 경우, N_A(S)은 S가 리 이상인 A의 가장 큰 리 서브링이다.
• S가 리 링 A의 리 서브링이라면 S ⊆ N_A(S)이다.

참고 항목

• 정류자
• 이중 중앙집중기 정리
• 이상화제
• 멀티피어 및 중앙집중기(Banach Space)
• 스태빌라이저 부분군

메모들

참조

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, vol. 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, vol. 1 (2 ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
• Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (republication of the 1962 original ed.), Dover Publications, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927