영국공주의 수학 및 관련 제도에 관한 연구

On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems
이 기사는 신문에 관한 것이다.이 논문에서 입증된 이론에 대해서는 괴델의 불완전성 정리를 참조한다.

"위버 공식 유니언체이드바레 세체 데르 프린키마티카 und verwandter Systeme I" ("Frincia Mathematica and Related Systems I")은 커트 괴델의 수학 논리학 논문이다.1930년 11월 17일 제출된 이 책은 원래 1931년 《모나체프테 퓌르 수학》에 독일어로 출판되었다.여러 개의 영어 번역본이 인쇄물에 등장했고, 그 논문은 두 개의 고전 수학 논리 논문에 포함되었다.그 논문은 괴델의 불완전성 이론들을 포함하고 있는데, 지금은 수학에서 일관성 입증에 많은 함축적 의미를 갖는 논리의 근본적인 결과들을 담고 있다.이 논문은 괴델이 불완전성 정리를 증명하기 위해 발명한 새로운 기법을 도입하는 것으로도 알려져 있다.

개요 및 주요 결과

확립된 주요 결과는 괴델의 1, 2차 불완전성 이론으로 수학 논리학 분야에 막대한 영향을 끼쳤다.이것들은 논문에서 각각 6세와 XI의 이론으로 나타난다.

이러한 결과를 증명하기 위해 괴델은 현재 괴델 번호 매기기라고 알려진 방법을 도입했다.이 방법에서는 1차 산술에서 각 문장과 형식적인 증명서에 특정한 자연수가 할당된다.괴델은 이러한 증명들의 많은 특성들이 원시적인 재귀 함수를 정의하기에 충분할 정도로 강한 어떤 산술 이론 안에서 정의될 수 있다는 것을 보여준다.(논문이 발표되었을 때 재귀적 기능과 원시적 재귀적 기능에 대한 현대의 용어는 아직 확립되지 않았다. 괴델은 현재 원시적 재귀적 기능으로 알려진 것에 대해 recursiv("재귀적")이라는 단어를 사용했다.)괴델 번호 매기기 방법은 이후 수학 논리학에서 보편화됐다.

괴델 번호 매기는 방법이 참신하고, 어떤 모호성을 피하기 위해 괴델은 괴델 숫자를 조작하고 시험하는 데 사용된 원시 재귀적 기능과 관계에 대한 45개의 명시적인 형식적 정의 목록을 제시했다.그는 이것들을 사용하여 만약 x가 문장의 괴델 번호 φ이고 φ 증명서의 괴델 번호인 자연 숫자가 존재한다면 그리고 존재하는 경우에만 진실인 공식을 명시적으로 정의했다.x이 공식의 이름은 증거를 뜻하는 독일어인 Beweis에서 유래되었다.

괴델이 이 논문에서 발명한 두 번째 새로운 기술은 자기주장 문장의 사용이었다.괴델은 '이 진술은 거짓이다'와 같은 자기 참조의 고전적 역설들이 산술의 자기추천적 형식 문장으로 다시 언급될 수 있다는 것을 보여주었다.비공식적으로 괴델의 첫 불완전성 정리를 증명하기 위해 채택된 문장은 "이 진술은 증명할 수 없다"고 되어 있다.그러한 자기 참조가 산술적으로 표현될 수 있다는 사실은 괴델의 논문이 등장하기 전까지는 알 수 없었다; 그의 불굴의 정리에 관한 알프레드 타르스키의 독립된 연구는 거의 비슷한 시기에 실시되었지만 1936년까지 발표되지 않았다.

각주 48a에서 괴델은 논문의 계획된 2부가 일관성 증명과 유형 이론(논문의 제목 끝에 '나'를, 1부를 가리킴)의 연계를 확립할 것이라고 언급했으나 괴델은 죽기 전에 2부 논문을 발표하지 않았다.그러나 그의 1958년 논문은 어떻게 유형 이론이 산수에 대한 일관성 있는 증거를 제공하는 데 사용될 수 있는지를 보여준다.

출판된 영어 번역

생전에 괴델의 논문을 영어로 번역한 세 편이 인쇄되었지만 그 과정이 어렵지 않은 것은 아니었다.첫 영문 번역은 버나드 멜처(Bernard Meltzer)가 맡았다. 이 번역은 1963년 베이직 북스의 독립작품으로 출판되었고 이후 도버(Dover)가 다시 출판하고 호킹(God Created the Integers, Running Press, 2005:1097ff)에 의해 재인쇄되었다.레이먼드 스물리안이 '좋은 번역'으로 묘사한 멜처 버전은 스테판 바우어-멘겔버그(1966년)가 역평을 받았다.도슨의 괴델 전기(Dawson 1997:216)에 따르면,

다행히도, 멜처 번역은 곧 엘리엇 멘델슨이 마틴 데이비스의 <불복음>을 위해 준비한 더 나은 번역으로 대체되었다. 하지만 그것 역시 거의 마지막 순간까지 괴델의 주목을 끌지 못했고, 새로운 번역은 여전히 완전히 그의 마음에 들지 않았다.다른 글의 대체를 고려할 충분한 시간이 없다는 통지를 받았을 때, 그는 멘델슨의 번역이 '전반적으로 매우 좋다'고 선언하고 출판물에 동의했다.3[3이후 그는 그의 준수를 후회할 것이다. 출판된 책은 허술한 타이포그래피와 수많은 오식들로 얼룩졌기 때문이다.]

엘리엇 멘델슨의 번역은 The Underdibleable (Davis 1965:5ff) 컬렉션에 등장한다.이 번역은 또한 바우어-멘겔베르크(1966)의 혹평을 받았는데, 이 번역은 인쇄상의 오류에 대한 상세한 목록을 주는 것 외에도 번역에서 심각한 오류라고 믿는 것을 기술했다.

장 반 헤이제노르트의 번역은 From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic (van Heijenoort 1967)에 나온다.알론조 교회(1972)의 리뷰는 이를 "지금까지의 번역 중 가장 세심한 것"이라고 설명하면서도 이에 대한 일부 구체적인 비판도 했다.Dawson(1997:216)은 다음과 같이 언급한다.

괴델이 선호하는 번역은 장 반 헤이제노르트의 번역이었다...《반 헤이제노르트》의 서문에서 괴델은 그의 작품의 번역을 개인적으로 읽고 승인한 네 명의 작가 중 한 명이라고 언급했다.

이 승인 과정은 힘들었다.괴델은 1931년 자신의 글에 변화를 소개했고, 남자들간의 협상은 "개인적으로 반 헤이제노르트는 괴델이 그가 아는 사람 중 가장 끈질기게 깐깐한 사람이라고 선언했다"고 말했다.이 두 사람은 "독어와 영어 단어의 의미와 용어의 미묘한 의미와 용법에 관한 의문점을 해결하기 위해 총 70통의 편지를 교환하고 괴델의 사무실에서 두 번 만났다"(1997:216-217).

비록 원본 논문의 번역은 아니지만, 매우 유용한 제4판은 "고델의 1931년 본래의 불해독성에 관한 논문 (Davis 1952:39)이 다룬 것과 상당히 유사한 근거"가 존재하며, 또한 괴델이 이 주제에 대한 자신의 연장 및 해설도 하고 있다.이것은 '정형 수학 시스템의 불복수 제안'(Davis 1965:39ff)으로 나타나며, 괴델이 1934년 뉴저지 프린스턴의 고급연구소에서 그것들을 전달하는 동안 스티븐 클린과 J. 바클리 로서가 필사한 강의를 나타낸다.데이비스는 이 버전에 에라타 2페이지와 괴델에 의한 추가 수정 사항을 추가했다.이 버전은 괴델이 먼저 (장군, 즉)를 발생시킨 헤르브란트 제안을 기술하기 때문에 또한 주목할 만하다.헤르브란트 궤델)의 재귀 형태.

참조

  • 스테판 바우어 멘겔버그(1966년).불해독성 검토: 불해독성 제안, 해결할 수 없는 문제 및 계산 가능한 기능에 대한 기본 문서.기호 논리학 저널, 31권, 3권 (1966년 9월), 페이지 484–494.
  • 알론조 교회(1972년).1879-1931 수학적 논리학의 출처 서적 검토.기호논리학 저널, 제37권, 제2권 (1972년 6월), 페이지 405.
  • 마틴 데이비스, 에드(1965)불해독성: 뉴욕 레이븐의 불해독성 제안, 불해독성 문제 및 계산 가능한 기능에 대한 기본 논문.2004년 도버의 재인쇄. ISBN0-486-43228-9.
  • 마틴 데이비스(2000년)로직의 엔진: 뉴욕 W. W. 노턴 & 컴퍼니, 수학과 컴퓨터의 기원ISBN 0-393-32229-7PBK.
  • 쿠르트 괴델(1931년), "위버 형식 Unentscheidbare Setze der Principatia mathematica und verwandter Systeme I".모나체프테 퓌르 수타틱과 파이식 38: 173–198. 도이:10.1007/BF01700692.SpringerLink를 통해 온라인으로 이용 가능.
  • 쿠르트 괴델(1958)"위베르 아인 비셔 노치 니콜트 베누즈테 에르바이테룽 데 피니텐 스탠드펑크테스"변증기 대 12 페이지 280–287.괴델의 수집 작품, 제2권, 솔로만 페퍼만 외, 에드에서 영어 번역으로 다시 인쇄.옥스퍼드 대학 출판부, 1990.
  • 장 판 하이제노르트, 에드. (1967년)Frege에서 Gödel: 1879–1931 수학적 논리에 관한 출처 책.하버드 대학 출판부.
  • 버나드 멜처(1962년).공식적으로는 불언의 수학적 명제 및 관련 제도에 대하여.1931년 쿠르트 괴델의 독일어 원문 번역.베이직 북스, 1962년.1992년 도버, 재판장ISBN 0-486-66980-7
  • 레이먼드 스물리안(1966년).프린세스 수학 및 관련 시스템의 공식적으로 불언할 수 없는 제안에 대한 검토.미국 수학 월간지 제73권, 제3권 (1966년 3월), 페이지 319–322.
  • 존 W. 도슨, (1997년).논리적 딜레마: 매사추세츠 웰즐리 A. K. 피터스, 커트 괴델의 삶과 작품ISBN 1-56881-256-6.

외부 링크