젠센계급

세트 이론에서, 수학적 규율인 젠센 서열 또는 J-히에라제는 괴델의 구성 가능한 서열인 L을 수정하여 구성 가능한 서열 속에 존재하는 특정한 기술적 난관을 우회하는 것이다.J-Hierchy는 Jensen 계급이 명명된 Ronald Jensen에 의해 개척된 분야인 미세구조 이론에서 두드러지게 나타난다.

정의

L의 정의에서와 같이, Def(X)를 X 이상의 파라미터로 정의할 수 있는 집합 집합 집합으로 한다.

${\displaystyle {\textrm {Def}(X):=\\{\{y\in X\mid \Phi(y,z_{1},...,z_{n}){\text{{n}}\}\}\mid \Phi{\text{}는 첫 번째 주문 공식, z_{1},z_{n}\in X\}}}}}}}에 text{pres가 참이다.$

구성 가능한 계층 구조 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 트랜스피니트 재귀에 의해 정의된다$$.특히 후계 서수에서는 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle \text{Def}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$) ${\displaystyle L_{\alpha +1}={\textrm {Def}(L_{\alpha$ $\}\}\})\}.$

The difficulty with this construction is that each of the levels is not closed under the formation of unordered pairs; for a given ${\displaystyle x,y\in L_{\alpha +1}\setminus L_{\alpha }}$, the set ${\displaystyle \{x,y\}}$ will not be an element of ${\displaystyle L_{\alpha +1}$$\}\},$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$의 하위 집합이 아니므로 $.$

그러나 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) σ₀ 분리에 따라 닫히는 바람직한 속성을 가지고 있다$$.^[1]

Jensen's modification of the L hierarchy retains this property and the slightly weaker condition that ${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\mathcal {P}}(J_{\alpha })={\textrm {Def}}(J_{\alpha })}$, but is also closed under pairing.핵심 기법은 유전적으로 $정의{\displaystyle {}_{}}$ 가능한 ${\displaystyle {세트}_{}}$를 J$α$ {\$displaystyle J_${\alpha $}}$ 코드별로$$ 인코딩한 다음, $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$$displaystyle J_{\alpha$$+1$$}}}$ 코드인 모든 세트를 $포함한다$.

$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$과 같이$$$J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$은(는) 재귀적으로 정의된다.For each ordinal ${\displaystyle \alpha }$, we define ${\displaystyle W_{n}^{\alpha }}$ to be a universal ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ predicate for ${\displaystyle J_{\alpha }}$. We encode hereditarily definable sets as ${\displaystyle X_{\alpha }(n+1,e)=\{X_{\alpha }(n,f)\mid W_{n+1}^{\alpha }(e,f}$${\displaystyle X_{\\alpha }(n+1,e)=$$\{X_{\alpha }(n,f)\mid W_{n+1}^{\alpha }(e,f)\}}$, with ${\displaystyle X_{\alpha }(0,e)=e}$. Then set ${\displaystyle J_{\alpha ,n}:$$=\{X_{\$x_{\$alpha }(n,e)}\mid$ e$\in J_{\alpha }\}\}}}},$ $마지막$으로 J ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {+}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \underset{n}{}{}_{}}$ J ${\displaystyle {\alpha ,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}${\$displaysty J_{\alpha +1}:\빅컵 _{n\in \J_{\alpha,n$

특성.

각 하위벨 J는_{α, n} 전이성이며 αΩ + n보다 작거나 같은 모든 서수를 포함한다.σ_m 술어 또한 어떤 n > m에 대해서도 σ이기_n 때문에 subbel의 순서는 엄격히 ⊆ 상승 n이다.따라서 수준_α J는 전이적이고 엄격하게 ⊆ 증가하며, 또한 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$압축$$ 및 전이성 폐쇄로 닫힌다.더구나 그들에게는 그런 재산이 있다.

${\displaystyle J_{\alpha +1}\cap {\mathcal {P}(J_{\alpha })={\text{Def}(J_{\alpha }),}$

(또는 좀더 일반적으로 L ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}}$J ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle {\alpha }_{}}$α V ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$α Ω +$$ {\$displaystyle L_{\omega +\alpha }=J_{1+\alpha }}\cap V_{\omega +\alpha }).$^[2]

레벨과 하위 레벨은 그 자체 σ₁ 균일하게 정의할 수 있으며(즉, J에서_β J의_{α, n} 정의는 β에 의존하지 않는다) 균일한 σ₁ 순서가 있다.또한 옌센 계급의 수준은 괴델의 원래 계급의 수준과 매우 유사한 응축 보조기를 만족시킨다.

초보적 기능

기초함수는 Vⁿ→V함수(즉, 세트를 인수로 받아들이는 미세함수)로, 다음 연산으로부터 얻을 수 있다.^[2]

• F(x₁, x₂, ...) = x는_i 초보적(투영 함수 참조)
• F(x₁₂, x, ...) = {x_i, x}은_j(는) 초보적임
• F(x₁, x₂, ...) = x_i - x는_j 초보적임
• 기본적인 기능의 구성은 기본이다.
• ∪_z∈yG(z, x₁, x₂, ...)는 초보적인 기능이며, 여기서 G는 초보적인 기능이다.

설정된 M에 대해 루드(M)는 초보적 기능 하에서 닫힌 M{{M}를 포함하는 최소 집합이다.그러면 젠슨 계급은 J_α+1 = rud(J_α)를 만족시킨다.^[2]

참조

• 시 프리드먼(2000) 미세구조와 계급강화, 월터 드 그루터, ISBN3-11-016777-8