시공간 삼각도 기법

물리학과 수학에서, 변수의 불완전한 분리의 Smirnov 방법으로도 알려진 시공간 삼각도(STD) 기법은 전자파 및 스칼라파 운동을 위한 직접 시공간법이다.

기본 단계

1. (전자학)맥스웰 방정식의 시스템은 필드 성분, 전위 또는 그 도함수에 대한 2차 PDE로 감소됩니다.
2. 공간 변수는 편리한 확장을 사용하여 시계열 및/또는 적분 변환으로 구분됩니다. 단, 시간 변수와 경계가 유지되어 쌍곡선 유형의 PDE가 생성됩니다.
3. 결과로 도출된 쌍곡 PDE와 동시에 변환된 초기 조건은 문제를 구성하며, 이는 리만-볼테라 적분 공식을 사용하여 해결된다.이것은 유계 좌표-시간 공간의 삼각형 영역 위에 이중 적분을 통해 표현되는 일반 솔루션을 산출한다.그런 다음, 이 영역은 특정 시공간 삼각형 다이어그램을 포함하는 엄밀하게 정형화된 절차를 사용하여 찾은 더 복잡하지만 더 작은 영역으로 대체된다(예: 참조).^[1][2][3]
4. 대부분의 경우, 이전에 분리된 변수의 알려진 함수에 의해 얻어진 해법은 명확한 물리적 의미(비정상 상태 모드)의 발현을 초래한다.그러나, 많은 경우, 확장을 합산하거나 역적분 변환을 수행하는 보다 명시적인 해법을 찾을 수 있습니다.

STTD 대 Green의 기능 기술

STTD 기법은 파동의 이론적 처리를 위한 두 가지 주요 앤서체 중 두 번째인 주파수 영역과 직접 시공간 영역에 속합니다.파동의 불균일한(선원 관련) 기술 방정식에 대한 가장 잘 확립된 방법은 그린의 함수 ^[4]기법에 기초한 방법이다.잭슨 고전 전기역학 ^[4]섹션 6.4와 제14장에 기술된 상황의 경우 지연 전위를 통한 파장 계산으로 축소할 수 있다(특히 리에나드-).비셰르트의 잠재력).

그린과 리만-볼테라 방법(일부 문헌에서는 리만 함수를 리만-그린 함수라고 함) 사이의 유사성에도 불구하고, 파동 문제에 대한 이들의 적용은 다음과 같은 별개의 상황을 초래한다.

• Green의 함수와 대응하는 Green의 솔루션의 정의는 동종 방정식의 임의의 해법을 추가할 여지를 남기기 때문에 고유하지 않다. Green의 함수와 최종 해법의 특정 선택은 경계 조건 또는 co의 신뢰성 및 물리적 허용성에 의해 정의된다.nstructed wave functions.^[6]리만 함수는 특성에서 특정 값을 추가로 취해야 하는 균질 방정식의 해이며, 따라서 독특한 방식으로 정의됩니다.
• 불균일 방정식의 특정 해법을 제공하는 그린의 방법과 달리 리만-볼테라 방법은 PDE 및 초기 조건으로 구성된 해당 문제와 관련이 있다.

^{[7] [8]} Smirnov가 그의 고등 수학 과목에서 위의 문제에 대한 해답의 독특성을 증명하기 위해 사용한 것은 리만-볼테라 표현이었다(항목 143 참조).^[8]

• 일반적인 경우, Green의 공식은 좌표와 시간의 변동 영역 전체에 걸친 통합을 의미하며, Riemann-Volterra 솔루션의 통합은 제한된 삼각형 영역 내에서 수행되어 솔루션 지원의 경계를 보장합니다.
• (독특한) 리만-볼테라 솔루션의 인과관계는 인수의 지연 특성, 특정 방향으로의 파동 전파, 적분 경로의 특정 선택 등과 같은 추가 고려사항에 반복할 필요 없이 자동으로 제공된다(일반적으로 기존의 스칼라 파동 방정식과 같은 기술 방정식은 t를 가진다).T-대칭성.시간 비대칭 초기 조건은 리만 의 적분 영역을 t$0$으로 으로써 시간의 화살표를 정의하는 것입니다.자세한^[2] 것은, 을 참조해 주세요.특정 $예$는 다음과 같습니다).
• 그린의 함수는 리에나르에서 쉽게 도출할 수 있다.이동점 선원의 비셰르트 전위, 그러나 불가피하게 지연된 인수의 분석을 수반하는 파동함수의 구체적인 계산은 파라메트릭 ^[9]방법과 같은 특별한 기술이 없는 한 다소 복잡한 작업에서 개발될 수 있다.

호출됩니다.리만-볼테라 접근방식은 동일하거나 훨씬 더 심각한 어려움을 야기한다. 특히 유계 지지 선원을 다룰 때, 여기서 통합의 실제 한계는 선원 항의 시공간 변수와 매개변수를 포함하는 부등식 시스템에서 정의되어야 한다.그러나 이 정의는 시공간 삼각형 다이어그램을 사용하여 엄격하게 공식화할 수 있습니다.파티클 물리학의 파인만 다이어그램과 같은 역할을 하는 STTD는 분리되지 않은 공간 변수와 시간에 걸쳐 있는 2D 공간에서 통합 영역의 동일한 분석적 표현을 가진 영역을 정의하는 엄격하고 설명적인 절차를 제공합니다.

방법의 결점

• 이 방법은 알려진 리만 함수를 가진 문제에만 적용할 수 있습니다.
• 얻어진 결과의 분석과 방법의 적용은 Green의 함수 방법보다 수학 물리학의 특수 함수(예: 일반화된 함수, 다른 종류의 Mathieu 함수, 두 변수의 Lommel 함수)에 대한 더 깊은 지식을 요구한다.
• 경우에 따라 최종 적분은 리만 함수의 빠른 진동 영역에서 특별한 고려를 필요로 한다.

가장 중요한 구체화

일반적인 고려 사항

직교 $좌표{\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 3$({$},$x_{2$},$x_{$3})에서$$ 전자파 문제를 스칼라화하는 몇 가지 효율적인 방법은 ^[10]참조 자료에서 Borisov에 의해 논의되었다.적용가능성의 가장 중요한 ${\displaystyle {조건}_{}}$은 h ${\displaystyle 3}$ $=$ 1 {\$displaystyle$$h_$${\displaystyle {}_{}}$3} ${\displaystyle =}$$1$${\displaystyle {}_{}}$}$$ {${\displaystyle {displaystyle\mathrm{}}_{}}$ \${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ _ {3$}(h_{1}/h_{2$}=$0$$\}$입니다. $여기$서 ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}=}$ 1, ${\displaystyle 2}$,$3${\$displaystyle h_i$} $=$1,$3$은 메트릭입니다.$displaystyle$$]$$}$^{2$} _3_{$3} $$^{2}} 。놀랍게도, 이 조건은 데카르트 좌표계, 일반형 원통 좌표계 및 구형 좌표계를 포함하여 실질적으로 중요한 좌표계의 대부분을 충족한다.

파동 문제는 자유 공간이고 공간 변수를 분리하는 기본 방법은 적분 변환의 적용이며, 유도 시스템의 파동 발생 및 전파 문제는 일반적으로 필요한 경계 조건을 충족하는 기본 함수(모드)의 관점에서 확장을 사용하여 변수를 분리한다.유도 시스템 표면에 있습니다.

데카르트 및 원통 좌표

데카르트${\displaystyle }${ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}x}$ , ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}y}$ , ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z}$ $}$ { $displaystyle$ \$left$\ {$x$_ {1} $= x$ , \ ; $x _$ {2} $= y$ , \ ; x _ {3} $= z$ \ $right$\ } 및$$ 일반 원통 좌표 { ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ( x${\displaystyle }$,${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}、}$공간 변수의 이온은 1D 클라인-고든 방정식(KGE)으로 알려진 쌍곡 PDE의 초기 값 문제를 야기한다.

${\displaystyle {displaystyle}&\left(\displaystyle_{\display_{\display_}^{2}+k^{2}\right)\psi(\displaystyle,z)=f(\displaystyle,z)=0\displaytext{0\endaligned})$

$여기$서 ${\$ { $displaystyle$\ $tau }$는 특정 특성 속도(예를 들어 빛의 속도 또는 음속의 속도)를 사용하여 길이 단위로 나타낸 시간 $변수$이며$$k { $displaystyle$ k$}$는 변수의 분리에서 비롯된 $상수$이며 f${\displaystyle (}$θ$)$ { $displaystyle$ f$(\tau,z)}$는 초기 파동에서의 소스 항의 일부를 나타냅니다.변수 분리 절차(직렬 계수 또는 적분 변환의 결과)를 적용한 후에도 남는 방정식.

위의 문제는 알려진 리만 함수를 가지고 있다.

${\displaystyle R_{k}(\tau,z;\display ',z')=J_{0}\left(k{\sqrt {(\tau -\tau ')^{2}-(z-z')^{2}}\right),}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 J${\displaystyle {}_{}}$0 ( ${\displaystyle )}$ $)({style J_{$0}(\$cdot)$은 첫 번째 종류의 순서 0의 베셀 함수입니다.

표준 $변수{\displaystyle }$ z${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \to }$, 、 ${\$ { $displaystyle$ z$,\display \to \xi,\eta }$로 전달하면 기본 적분 도메인이 시공간 삼각형 MPQ(진회색)로 표현되는 리만-볼테라 ^[7][8]방법의 직접적인 적용을 반영하는 가장 단순한 STTD 다이어그램을 얻을 수 있습니다.

STTD를 시계 반대 방향으로 45° 돌리면 기존 $시공간{\displaystyle }$ z${\displaystyle }${\$${\ （ \ $displaystyle$ z , \ $tau$에서 STTD의 일반적인 형태가 됩니다.

균질한 초기 조건의 경우 문제의^[8] (고유한) 해답은 리만 공식에 의해 주어진다.

$\displaystyle \psi (\displaystyle \psi ) = snfrac {1}{2}} \int \displays \mpQ},d\tau ',dz'R(\tau,z;\displays ',z')f(\displaystyle ',z')}$

파동 프로세스의 진화는 고정된 관측점(${\displaystyle }$ $=$ const \ $displaystyle$ z =$constext${ $const$}$$)을 사용하여$$ 추적하거나( ${\$ \ $displaystyle$ \$text$ { const$}$ ) 시공간 삼각형을 따라 파동 $함수{\displaystyle }$ ${\$ \ $display$ picture를 촬영하여 추적할 수 있습니다.$e{\displaystyle }$z {$displaystyle$ z$}$축$$( ${\displaystyle \text{ττ}}$= $const$ {$displaystyle$ \ displaystyle $= constext${ $const}$ ）$$ 。

보다 유용하고 정교한 STTD는 시공간에서 지원이 제한된 펄스 소스에 해당합니다.각 제한에 의해 STTD에 특정 변경이 발생하여 통합 도메인이 0이 아닌 더 작고 복잡해집니다.가장 일반적인 수정사항과 그 조합된 작업의 예를 아래에 나타냅니다.

구면 좌표

${\displaystyle {일반적}_{}}$인 고려사항을 볼 때 구면 좌표계에서 { ${\displaystyle x{}_{}}$ 1 $=$}, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2 $=$,, ${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r}$ $}({$1}=\$theta,\;x_${2}=\$varphi,\;x_{3$right $display$ style$)$로 표현되어야 합니다.보그니스 함수, 데바이 전위 또는 헤르츠 벡터를 사용한 전기(TE) 또는 횡자기(TM) 파동.${\displaystyle 초기}$ 파형 $함수{\displaystyle }$ ( (${\displaystyle }$、${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle 、}$$$$、$ ${\displaystyle r}$ ) \ $displaystyle$ \psi $\left$( \$tau$, \$theta$, \$varphi ,$ r )및$$$$ 소스 ${\displaystyle ,\mathrm{ation}}$ subsequ 、 \ displaystyle $\psi$ \$left$ ( \taw , \theta , \$varphi$ , $right$)

${\displaystyle f}$${\displaystyle }$( "${\displaystyle }$,${\displaystyle }$" , " , " ,${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$\ $displaystyle$ \ ; f \ $left$( \$displaystyle$ , \ theta , \ $varphi$ , $r$ \ $right )$

$(\displaystyle \leftflash {array}{c}\sin m\varphi \\cos m\varphi \end {array}}\오른쪽)P_{n}^{(m)}(\cos \theta )$

${\displaystyle {여기}_{}^{}}$서 P${\displaystyle {}_{}^{}}$n (${\displaystyle m_{}^{}{}_{}^{}}$) ( ${\displaystyle )}$) { $displaystyle P_{n}^{(m)}\!$\$left(\cdot \right)$는 $차수{\displaystyle }$n(\$displaystyle$ n$)$과 차수${\displaystyle }$m(\$displaystyle$ m$)$의 연관된 Legendre 다항식으로, 쌍곡선 오일러-포아송-다르부^[3][10] 방정식의 초기값 문제가 발생한다$.$

${\displaystyle {displaystyle }&\left(\displaystyle _{\display _ {\r}^{2}+{rfrac {n(n+1})}\right)\psi _{nm}(\displaystyle , r)_{nm}(\displaystyl)_{r}-r}-{nmodelf}-{{nm}(\r})$

리만 함수를 가진 것으로 알려져 있다

${\displaystyle R(\tau,r;\displaystyle ',r')={P_{n}}\left({\frac {r^2}+{r'}^{2}-(\display -\display ')^2r'}}}\right),$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 P${\displaystyle {}_{}}$n ( ${\displaystyle )}$ $){$ P_${n}\!$\$left(\cdot \right)$는 (보통) Legendre 다항식 n${displaystyle$ n$\}$입니다$.$

STTD(리만)와 Green의 함수 솔루션의 등가성

STTD 기법은 기존의 Green의 함수 방법에 대한 대안이다.문제의 ^[8]초기값 문제에 대한 해결책의 고유성 때문에, 특히 초기 조건이 0인 경우, STTD 기법에 의해 제공되는 리만 해법은 인과적 그린의 함수와 소스 항의 수렴과 일치해야 한다.

두 가지 방법은 파동 함수에 대한 명백한 다른 설명을 제공한다. 예를 들어, 클라인-고든 문제에 대한 리만 함수는 베셀 함수(기본 삼각형 MPQ로 표현되는 제한 영역에 대해 소스 항과 함께 통합되어야 함)인 반면 클라인-고든 방정식에 대한 지연된 그린 함수는(예를 들어 ^[14]참고문헌 3.1항 참조) 다음과 같이 환산할 수 있는 가상의 지수 항의 푸리에 변환(전체 $평면{\displaystyle {}^{}}$ z ${\displaystyle ,,}$ $τ {\$ z$',$ \$tau$ $\text{'}$에 통합됨)

${\displaystyle G_{k}(\displaystyle ',z')=-{\frac {1}{(2\pi)^{2}}\int \infty _{-\infty }{\infty }dp,{\rm {e}{ip(z-z')},\int \int \infty _{{-infty }dp},}$

(극 ${\displaystyle \underset{}{\delta }}$ 1,${\displaystyle 2_{}}${ $displaystyle$\$Omega$_ {$1$,2$$$}$ } ${\displaystyle \underset{}{sq}}$ sq ${\displaystyle \underset{}{\to }\sqrt{{0\mathrm{}}^{}}}$+${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$( ± p ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ k 2 + ${\displaystyle \sqrt{i}\sqrt{\epsilon }}$ $)$ { $displaystyle \$} \ $sq{\displaystyle \mathrm{}}$ \ sq \ sq$$ \ $displaystyle$\ $Omega$ _ { { 1,2} ） { displaystyleft ） （ \ $lim$ \ $lim$ \$varpsilon _$ ${\displaystyle \underset{}{0}}$ + 0 + 0 + 0 ${\displaystyle \underset{}{+}}$ $pm$） ） ） 。$t$$)})$ 인과관계 조건을 만족시키기 위해 얻을 수 있다.

${\displaystyle G_{k}(\tau,z;\display ',z')=dpfrac {1}{\pi }}\int \display _ {0}^{\infty }dp,{\frac {sin \left(\display -\t ')}+k^{2}}}}\right)}{\sqrt {p^{2}+k^{2}}}}}}\cos(p(z-z').}$

Gradshteyn과 Ryzhik의 ^[15]공식 3.876-1을 사용하여

$\displaystyle \int _{0}^{\infty }snam,{\frac {sin(p440rt {x^{2}+a^{2}}}}{\frcrt {x^2}+a^{2}}}}}}}\cos(bx)=\left\{\frac{pi}{2}J_{0}(a{\sqrt {p^{2}-b^{2}})&{\text{{b\&0&{\text for }}}\end}{\frac {p}}}}{\frac{{{p}}}}}}}}}}}}}}}{\aligned}}}}.\qquad (a>0),}$

마지막 그린의 함수 표현은 식으로^[16] 감소한다.

${\displaystyle {\frac {1}{0}\left(k{\sqrt {\tau -\tau ')^{2}-(z-z')^{2}}\right)h(\tau -\tau '-z-z')},},$

어느 반이 리만 형식의 배율 인수와 J는 0(⋅){\displaystyle J_{0}(\cdot)}은 리만 기능을 하며, τ 을에(⋅){\displaystyle h(\cdot)} 됐어요 줄여 주는 단위 계단 함수,;0{\displaystyle \tau>0}, 기초 삼각형 최소 구매량에 통합의 지역 녹색의 func을 만들고 있다.tion sSTTD 기법에 의해 제공되는 것과 동일한 액션을 사용합니다.

레퍼런스 및 메모

• V.V. 보리소프, N.M. 로이토바, A.B.Utkin, 고주파 충진 시 이동 전류 펄스에 의해 생성되는 전자파.물리학 저널 A: 수학 및 일반, 38(10), 2225–2240(2005), doi: 10.1088/0305-4470/38/10/012
• V.V. 보리소프, 비정상 전자파레닌그라드:레닌그라드 주립 대학 출판부: 레닌그라드(1987년, 러시아어)