무관심하고 안정된 결혼생활

무관심하고 안정된 결혼생활은 안정적인 결혼문제의 한 변종이다.원문제와 마찬가지로 미혼인 남녀가 동시에 현재의 짝을 떠나 대신 짝을 이루는 것을 원하지 않도록 모든 남녀를 모든 여성과 일치시키는 것이 목표이다.

이 문제의 고전적인 버전에서는, 각 개인이 엄격한 선호 순서에 따라 이성 구성원의 순위를 매겨야 한다.그러나 실제 환경에서는 한 사람이 동등하게 유리한 파트너로 두 명 이상의 사람을 선호할 수 있습니다.이런 결속된 선호는 무관심이라고 불린다.

다음 $m_{1}\&m_{2}$ 는 $m_{2}$ ({ $displaystyle m_{$ 2 $m_{2}$ $w_{3}\&w_{1}$ 가 w3 $&$ $m_{1}\&m_{2}$ ({ $displaystyle w_{3}\&$ $w_{$ $w_{2}$ })과 $m_{1}\&m_{2}$ ({ $displaystyle w_$ 2 $w_{2}$ }}) $m_{1}\&m_{2}$ 에서 tie를 찾는 $m_{2}$ 입니다 $m_{1}\&m_{2}$

m_{1}[\ w_{3}\] \ \ \ \ w _ {1} [\ m _ {3} \ m _ {2} \ m _ {1} \

{\displaystyle m_{2}[\left(w_{3}\w_{1}\right) w_{2} \ \ \ \ \ \ \ w _ {2} [ \ left ( m _ {1} \ m _ {2} \ right ) m _ {3} ]

m_{3}[\ w_{1}\ w_{2}\ w_{3}\ ]\ \ \ \ \ \ w _ { \ \ w _ {3} \ m _ {3} \ m _ {1} \

만약 동률 선호 목록이 허용된다면, 안정된 결혼 문제는 아래 섹션에서 논의되는 세 가지 안정 개념을 갖게 될 것이다.

1. 짝짓기 상대보다 상대를 엄격하게 선호하는 커플이 없는 한 약하게 안정되어 있다고 한다.로버트 W.Irving은 Gale-Shapley 알고리즘을 다음과 같이 확장하여 O $O(n^{2})$ ( $O(n^{2})$ 2) ${$ $display style$ O ( $n$ ^ { $O(n^{2})$ 2} )시간 $O(n^{2})$ 내에 약하게 안정된 매칭을 제공합니다^[1].여기서 n은 안정된 결혼 문제의 크기입니다.남녀 선호 순위에서 동점이 임의로 깬다.알고리즘이 진행됨에 따라 프리퍼런스리스트가 감소합니다.

할당 각각 사람인 로. 있다 공짜;     하는 동안에 (몇개 남자 m 이 공짜) 하다     시작한다.         w := 첫번째 여자 에 m’s 목록.;         m 제안하다, 그리고. 된다 인게이지드, 로. w;         한다면 (몇개 남자 m' 이 인게이지드 로. w) 그리고나서             할당하다 m' 로. 있다 공짜;         위해서 각각 (후계자 m'' 의 m 에 w’s 목록.) 하다             삭제하다 그 짝 (m'', w)     끝.;     산출량 그 인게이지드 쌍들, 어떤. 형태 a 안정적인. 매칭

2. 짝짓기 상대보다 상대방을 엄격하게 선호하거나 상대방이 무관심한 커플이 없는 경우를 슈퍼 안정이라고 한다.로버트 W.Irving은 이러한 초안정 매칭이 존재하는지 여부를 확인하기 위해 위의 알고리즘을 수정하여 $O(n^{2})$ ( $O(n^{2})$ 2 $O(n^{2})$ ) { $displaystyle O$ ( n ^ { $2}$ ) $O(n^{2})$ 내에 매칭이 출력됩니다^[1].다음으로 의사코드를 나타냅니다.

할당하다 각각 사람인 로. 있다 공짜; 따라하다     하는 동안에 (몇개 남자 m 이 공짜) 하다         위해서 각각 (여자 w 에 그 머리 의 m’s 목록.) 하다         시작한다.             m 제안하다, 그리고. 된다 인게이지드, 로. w;             위해서 각각 (엄격한. 후계자 m' 의 m 에 w’s 목록.) 하다             시작한다.                 한다면 (m' 이 인게이지드) 로. w 그리고나서                     브레이크. 그 계약;                 삭제하다 그 짝 (m', w)             끝.         끝.     위해서 각각 (여자 w 누구 이 곱하다 인게이지드) 하다     시작한다.         브레이크. 모든. 계약 포함하는 w;         위해서 각각 (남자 m 에 그 꼬리 의 w’s 목록.) 하다             삭제하다 그 짝 (m, w)     끝.; 까지 (몇개 남자’s 목록. 이 빈) 또는 (모두들 이 인게이지드); 한다면 모두들 이 인게이지드 그리고나서     그 계약 관계. 이 a 잘 하는 군요-안정적인. 매칭 또 다른     아니요. 잘 하는 군요-안정적인. 매칭 존재한다

3. 짝짓기 x, y는 파트너보다 y를, y는 파트너보다 x를 더 선호하거나 둘 사이에 무관심할 경우 매칭이 매우 안정적이다.로버트 W.Irving은^[1] 이러한 강력한 안정적인 매칭이 존재하는지 확인하고 매칭이 존재하면 출력하는 알고리즘을 제공했습니다.이 알고리즘은 남성과 여성 사이의 완벽한 매칭을 계산하여 여러 여성과 관련된 중요한 남성 집합을 찾습니다.이러한 계약은 결코 안정적이지 않기 때문에, 그러한 쌍은 모두 삭제되고 제안 시퀀스는 1) 어떤 사람의 선호 목록이 비어 있거나(이 경우 매우 안정적인 매칭이 존재하지 않음) 강하게 안정된 매칭을 얻을 때까지 반복됩니다.다음은 강력한 안정적인 매칭을 찾기 위한 의사 코드입니다.의 ^[1]Lema 4.6에 설명되어 $O(n^{4})$ ( $O(n^{4})$ n 4 $O(n^{4})$ ) { $display style$ O ( $n$ ^ { $4$ } $O(n^{4})$ $O(n^{4})$ which 。

할당 각각 사람인 로. 있다 공짜; 따라하다     하는 동안에 (몇개 남자 m 이 공짜) 하다         위해서 각각 (여자 w 에 그 머리 의 m's 목록.) 하다         시작한다.             m 제안하다, 그리고. 된다 인게이지드, 로. w;             위해서 각각 (엄격한. 후계자 m' 의 m 에 w’s 목록.) 하다             시작한다.                 한다면 (m' 이 인게이지드) 로. w 그리고나서                     브레이크. 그 계약;                 삭제하다 그 짝 (m'. w)             끝.         끝.     한다면 (그 계약 관계. 한다 것은 아니다. 들어있다 a 완벽하네요. 매칭) 그리고나서     시작한다.         발견하다 그 중대. 세트 Z 의 남자들;         위해서 각각 (여자 w 누구 이 인게이지드 로. a 남자 에 Z) 하다         시작한다.             브레이크. 모든. 계약 포함하는 w;                 위해서 각각 남자 m 에 그 꼬리 의 w’s 목록. 하다                     삭제하다 그 짝 (m, w)         끝.;     끝.; 까지 (몇개 남자’s 목록. 이 빈) 또는 (모두들 이 인게이지드); 한다면 모두들 이 인게이지드 그리고나서     그 계약 관계. 이 a 잘 하는 군요-안정적인. 매칭 또 다른     아니요. 강하게 안정적인. 매칭 존재한다

무관심하고 안정된 결혼 구조

많은 문제에서 안정적인 매칭이 여러 개 있을 수 있습니다.안정된 매칭 세트는 특별한 구조를 가지고 있습니다.데이비드 F.Manlove는^[2] 강력한 안정 매칭 세트와 초안정 매칭 세트 모두 분포 격자를 형성한다는 것을 증명했다.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c ^d Irving, Robert W. (1994-02-15). "Stable marriage and indifference". Discrete Applied Mathematics. 48 (3): 261–272. doi:10.1016/0166-218X(92)00179-P.
^ Manlove, David F. (2002-10-15). "The structure of stable marriage with indifference" (PDF). Discrete Applied Mathematics. 122 (1): 167–181. doi:10.1016/S0166-218X(01)00322-5. ISSN 0166-218X.

[:0-1] Irving, Robert W. (1994-02-15). "Stable marriage and indifference". Discrete Applied Mathematics. 48 (3): 261–272. doi:10.1016/0166-218X(92)00179-P.

[2] Manlove, David F. (2002-10-15). "The structure of stable marriage with indifference" (PDF). Discrete Applied Mathematics. 122 (1): 167–181. doi:10.1016/S0166-218X(01)00322-5. ISSN 0166-218X.

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