스톨츠-세사로 정리

수학에서 스톨츠-세사로의 정리는 수열의 정합성을 증명하는 기준이다.이 정리는 수학자 오토 스톨츠와 에르네스토 체사로의 이름을 따서 지어졌는데, 이 정리는 처음으로 그것을 진술하고 증명했다.

스톨츠-세사로의 정리는 세사로의 평균을 일반화한 것으로 볼 수 있지만, 시퀀스에 대한 l'Hôpital's rule로도 볼 수 있다.

∙/∞ 케이스 정리 명세서

(${\displaystyle n_{}{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ 1$}$과 (${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 1 ${\$ 1)을$$실수의 두 시퀀스로 한다$$.$({\displaystyle {bn}_{}{}_{}}$)${\displaystyle {n1}_{}}$ 1$${\$displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$이(가) 엄격히 단조롭고 다양한 순서(즉, 엄격하게 증가하여 접근하는 +${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle +\$$inft$$$}$$또는 엄격하게 감소하여 접근하는 -$$ ${\displaystyty$라고 가정하면 다음과 같은 한계가 다음과 같다.

${\displaystyle \lim_{n\to \inflt }{\frac {a_{n+1}-a_{n}{b_{n1}-b_{n}}}=l.\ }$

그러면 한계는.

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{\frac {a_{n}}{b_{n}}=l.\ }$

0/0 케이스에 대한 정리 명세서

(${\displaystyle n_{}{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ 1$}$과 (${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 1 ${\$ 1)을$$실수의 두 시퀀스로 한다$$.$이제$(${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$→ 0${\displaystyle (a_$${n}\},$ (${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle 0}$$},$ (${\displaystyle b_{}}$ ) → 0 ${\$$displaystyle$$$($b_{n$$})\}\}$이$($가${\displaystyle {)}_{}}$ 완전히 감소하고 있다고 가정합시다$.$만약

${\displaystyle \lim_{n\to \flt}{\frac {a_{n+1}-a_{n}{b_{n1}-b_{n}}=l,\}}$

그때

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{\frac {a_{n}}{b_{n}}=l.\ }$^[1]

교정쇄

∙/∞ 케이스 정리증빙

사례 1:(bn)이 엄격하고 발산니다∞에{+\infty\displaystyle}증가하고{\displaystyle(b_{n})},∞<나는<>∞{\displaystyle-\infty<>l<,\infty}−. 가섦으로써, 우리는 모든 ϵ/2을에 그런;0{\displaystyle \epsilon /2>0}이 ν 을이 존재한다;0{\displaystyle \nu한다고 가정해 보자;.0}일 경우가∀ n을 만듭니다.${\displaystyle \forall$

${\displaystyle \왼쪽 \,{\frac {a_{n+1}-a_{n}{n}{b_{n1}-{n}-l\,\right <{\frac {\\epsilon }}},}$

즉

${\displaystyle l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}{b_{n1}-b_{n}}<l+\epsilon /2,\forall \forall n>\nu .}$

$({\displaystyle {bn}_{}}$) ${\displaystyle (b_{n}}}$이(가) 엄격히 증가하고 있으므로$$, + - b> ${\displaystyle b_{n+1}-b_{n}>0}$및 다음이 유지됨

${\displaystyle (l-\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(l+\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n}),\quad \forall n>\nu }$.

다음에 우리는 그것을 알아차린다.

${\displaystyle a_{n}=[(a_{n}-a_{n1}-{n-1})+\cHB +(a_{\nu +1})+(a_{\nu +2}}-a_{\nu +1})+a_{\nu +1}}}$

따라서, 위의 불평등을 대괄호 안의 각 용어에 적용함으로써, 우리는 얻는다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{정렬}}}$

n→ ∞{\displaystyle n\to\infty}이후 bn→+∞{\displaystyle b_{n}\to +\infty}자,가 n0>0{\displaystyle n_{0}>. 0}일 경우가 bn>0{\displaystyle b_{n}>. 0}일 경우 모든 n을을 위해;n0{\displaystyle n>, n_{0}}, 우리는 b의 불평등을 나눌 수 있n.은 {\displaystyle b_모든$$ > {$},$ ${\displaystyle$ n$>\max\{\nu,n_{0}\}}}$

${\displaystyle (l-\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.}$

두 시퀀스(${\displaystyle }$> ${\$ n$>>n_${0$}$에 대해서만 정의되며, $이러한$ 시퀀스는 b$$=$$$0$ {\$displaystyle$N\$leq$$$n_{$0})$이 있을 수 있다$.$$N}=0}$)

${\displaystyle c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}}}}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {bn}_{}}$→ +$∞[\displaystyle b_{n}\to +\infit }$ 이후 최소값이며$$, 따라서 분자는 / 2> ${\displaystyle \epsilon /2>0}$에 n± > 0> $<\displaystyle n_{\pm }{{0}}$0}0}$0$이 있다.

${\displaystyle {\signified}&c_{n}^{+}}<\epsilon /2,\foral \forall n>{+}\&c}^{n}}}{-} <\epsilon /2,\foral \forall n_{-n}}}}}}}}}}}$

그러므로

${\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace =:N>0,}$

이것으로 증명할 수 있다.$({\displaystyle {bn}_{}}$) ${\displaystyle (b_{n}})$의 경우는 엄격하게$$ 감소하고 -${\displaystyle \mathrm{}}${$${\$displaystyle -\infit$ <${\displaystyle l<\infty })$로 차이 나는 경우도 비슷하다.

사례 2:우리는(bn){\displaystyle(b_{n})}이 엄격하고 발산 모든 2M을엡니다∞{+\infty\displaystyle}고,-+∞{l=+\infty\displaystyle}. 예전 Proceeding 증가하는 것;0{2M>0\displaystyle}이 ν 을 존재하고, n을에 0{\displaystyle \nu>0}가;ν{\d.isplaystyle n>^$nu }$

${\displaystyle {{a_{n+1}-a_{n}{b_{n+1}-{n}}{b_{n}}}>2M.}$

다시 말하지만, 위의 불평등을 각 대괄호 안의 용어에 적용함으로써 우리는 얻는다.

${\displaystyle a_{n}>2M(b_{n}-b_{\nu +1}+a_{\nu +1},\quad \forall n>\nu ,}$

그리고

${\displaystyle {{a_{n}}{b_{n}}}2M+{a_{\nu +1}-2Mb_{b_{n1},\quad \forall n>\max\{nu_{0}\}}.}$

) > ${\$에 의해 정의된 시퀀스

${\displaystyle c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}:{b_{n}}}}}$

최소로, 따라서

${\displaystyle \forall M>0\\exists {\bar{n}n_{0}{0}{\text{{}}}}-M<c_{n}<M,\,\forall n}{n},}}}$

이 불평등과 우리가 결론지은 이전 불평등을 합쳐서

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}M,\quad \forall n>\max\{\nu,{\bar{n}\}=:N.}$

$({\displaystyle {bn}_{}}$) ${\displaystyle (b_{n}})$이(가) 엄격히 증가하거나 감소하고 접근하는 다른 사례에 대한 증명은 각각$$$$ ${\displaystyle \mathrm{+}}$ ${\displaystyle +\nft }$ 또는$$${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\$$displaystystyle$$-\$$pm \infty }$ $및{\displaystyle }$ l${\displaystyle }$=${\displaystyle }$± $±.$

0/0 케이스에 대한 정리 증명

사례 1: 는 먼저 l< ${\displaystyle l<\infit }$ 및${\displaystyle }$(${\displaystyle {bn}_{}}$)$${\$displaystyle (b_{n})$의 사례를 엄격하게$$ 감소시키는 것을 고려한다.에는 각 > ${\displaystyle \nu >0}$에 대해 쓸 수 있다

${\displaystyle a_{n}=(a_{n}-a_{n}-a_{n+1}+\nu -1}+a_{n+\nu },}$

모든 / > {\$displaystyle \epsilon /2>0,}$${\displaystyle \mathrm{}{n\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle$\$nn_{0}}$에 대해, n > {\$displaystyle n>n_{0}}$을(를) 사용할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }.\end{정렬}}}$

두 시퀀스

${\displaystyle c_{\nu }^{\pm }:={\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}$

are infinitesimal since by hypothesis ${\displaystyle a_{n+\nu },b_{n+\nu }\to 0}$ as ${\displaystyle \nu \to \infty }$, thus for all ${\displaystyle \epsilon /2>0}$ there are ${\displaystyle \nu _{\pm }>0}$ such that

${\displaystyle {\regated}&c_{\nu }^{+}}<\epsilon /2,\for \for \nu \nu _{\nu }^}}<\ipsilon /2}}<\ipsilon \for \all \nu _{-}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

따라서 $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$}을(를) 적절하게$$ 선택($즉{\displaystyle }$, {$${\$displaystyle \nu }$에 대한 한도를 취함$)$할 수 있다.

${\displaystyle l-\epsilon /2+c_{\nu }^{-}{-}{\frac {a_{n}{n}}<l+c_{\nu }}}}}}<l+}{n_{\nu ^}}}}}{{n_{0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이것으로 증명할 수 있다.

사례 2: $우리$는 l${\displaystyle }$= +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle l=+\infit }$과${\displaystyle {}_{}{b}_{}}$ ) ${\displaystyle (b_{n})$이 엄격히$$ 감소한다고 가정한다. > ${\displaystyle 2M>$$}$에 n > 0 ${\displaystyle n_{0}이($가) 존재하며, 모든 > > 0, {\$displaystyle n>n_{0$}},같은 항목이 있다.

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}{b_{n1}-{n}}>2M\implies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1})}$

따라서 각 > ${\displaystyle \nu >0,}$에 대해

${\displaystyle {\frac {a_{n}{b_{n}}{b_{n}}}{b_{n+\nu}}{b_{n}}}},\quad \forall n>n_{0}.}$

순서

${\displaystyle c_{\nu }:={\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}}}}}}}}}}$

$0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}($$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 고정$$ 유지)로 수렴.$$그러므로

${\displaystyle \forall M>0\,~\exists {\bar {\nu }}>0}$ such that ${\displaystyle -M<c_{\nu }<M,\,\forall \nu >{\bar {\nu }},}$

$그리고{\displaystyle }$ choosing ${\displaystyle \nu}$을(를) 편리하게$$ 선택하여 증거를 결론짓는다.

${\displaystyle {\frac {a_{n}{b_{n}}}>2M+c_{\nu }>M,\quad \forall n>n_{0}.}$

응용 프로그램 및 예제

$\cdot {\displaystyle }$ /${\displaystyle \infty \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot /\infit }$ 사례에$$ 관한 정리는 한계 계산에 유용한 몇 가지 주목할 만한 결과를 가지고 있다.

산술평균

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (x_{n}}}$이(가) $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}($으)로 수렴되는 실제 숫자의 시퀀스가 되도록$$ 하고$,$ 정의하십시오.

${\displaystyle a_{n}=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}++++++{n}\mx_{n},\mx b_{n}=n}$

그러면${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (b_{n}}}$이(가) 엄격히 증가하여${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle +\inflt }($으)로 전환된다$.$ 우리는 계산한다.

${\displaystyle \lim_{n\to \inflt}{a_{n+1}-a_{n}{b_{n1}-b_{n}}}=\lim_{n\to \infty }x_{n+1}=l}{n\l}}$

그러므로

${\displaystyle \lim _{n\to \flt }{\frac {x_{1}++++{n}}{n}}}}{n}=\lim _{n\to \flott }x_{n}.}$

임의의$$ 시퀀스$({\displaystyle {xn}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {n1}_{}}$ 1 ${\$1.

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }x_{n}}}$

존재(무제한 또는 무한)

${\displaystyle \lim _{n\to \flt }{\frac {x_{1}++++{n}}{n}}}}{n}=\lim _{n\to \flott }x_{n}.}$

기하 평균

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (x_{n}}}$이(가) $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle l}$에 수렴되는 양의 실수 시퀀스가 되도록$$ 하고$$ 정의하십시오.

${\displaystyle a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\cdots b_{n}=n,}$

우리는 다시 계산한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),}$

로그가 연속된다는 사실을 이용한 곳이야그러므로

${\displaystyle \lim _{n\to \inflat }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n}}}}}}}}{n1}^{n1}{n\big(log}), {n1}{n}\log}$

로그는 연속적이고 주입적이기 때문에 우리는 다음과 같이 결론을 내릴 수 있다.

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \text{exception 25:}}$ ${\displaystyle \sqrt[]{{}_{}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ n${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$}\$cdots x_{n}}}=\lim$ _${n\to \infto$

(${\displaystyle {xn}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$개의 (강력하게) 양의 실수(real number)가$$ 있을 경우$,{\displaystyle }$ 다음과 같이 가정한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }x_{n}}}$

존재(무제한 또는 무한)

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}=\lim_{n\to \infty }x_{n}.}$

시퀀스$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$1}}을 받고 계산$$ 요청을 받았다고 가정합시다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }{\sqrt[{n}]{y_{n}},}$

${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle y_{0}=1}$및$$ x ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle y_{}}$/ ${\displaystyle y{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$n-1}의 정의 결과$$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {y_{1}\dots y_{n}}{y_{0}\cdot y_{1}\dots y_{n-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},}$

위 부동산을 적용하면.

${\displaystyle \lim_{n\to \flt[{n}]{n}}}=\lim _{n\to \flt }x_{n}=\lim \to \flt }{n_}{n-1}.}$

이 마지막 양식은 보통 한계를 계산하는 데 가장 유용하다.

(${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$:1}}의 (엄정히) 양의 실수에 대한$$ 모든 시퀀스를 지정할${\displaystyle }$때 ${\displaystyle {다음}_{}}$과 같이 가정한다.

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{\frac {y_{n+1}:{n}}}}}}$

존재(무제한 또는 무한)

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{n}}{n}}=\lim _{n\to \inflt }{n_{n+1}{n}}}}.}$

예

예 1

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }{n}}{n}}}{n\to \inflt }{n+1}{n}=1.}$

예 2

${\displaystyle {\regated}\lim _{n\to \inflit }{\fract {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}={\frac {1}{e}}\end{aligned}}}$

$여기$서 e ${\displaystyle e}$의 표현을 시퀀스의 한계로 사용했다.

역사

∞/∞ 사건은 스톨츠의 1885년 책 173쪽 175쪽과 1888년 세사로의 기사 54쪽에도 명기되어 증명되고 있다.

Polya와 Szegő(1925년)에서 문제 70으로 나타난다.

일반형식

성명서

The general form of the Stolz–Cesàro theorem is the following:^[2] If ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ and ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ are two sequences such that ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$ is monotone and unbounded, then:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.}$

증명

Instead of proving the previous statement, we shall prove a slightly different one; first we introduce a notation: let ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ be any sequence, its partial sum will be denoted by ${\displaystyle A_{n}:=\sum _{m\geq 1}^{n}a_{m}}$.당사가 입증해야 할 동등한 진술은 다음과 같다.

$({\displaystyle n_{}{}_{}}$) ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\ge }_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle }$(${\displaystyle b_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {\ge }_{}}$ 1 ${\$을(를) 다음과 같은 두 개의 실제 숫자의 시퀀스가 되도록$$ 한다.

• > Z> 0 ${\${$Z}_{>0$
• ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle {Bn}_{}}$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \ft }B_{n}=+\ft$ $\},$

그때

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.}$

등가명세서 증빙

먼저 다음과 같은 점을 주목하십시오.

• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}}$ holds by definition of limit superior and limit inferior;
• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}}$ holds if and only if ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A$$_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$ because ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{n})}$ for any sequence ${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$.

Therefore we need only to show that ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$. If ${\displaystyle L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b$$_{n}}}=+\ft}$ 증명할 것이 없으므로$$ < + ${\displaystyle L<+\ft}}($한정될 수도 있고 -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle -\fty})$라고 가정할 수 있다.$$${\displaystyle im\; supp}$ ${\displaystyle \limsup$ $\}$의 정의에 따르면, > L ${\displaystyle l}$에 대해 과 같은 자연수 number > $displaystyle \nu >0}$이(가) 있다.

${\displaystyle {\frac {a_{n}{b_{n}}}<l,\filename \forall n>\nu .}$

우리는 이 불평등을 이용해서 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle A_{n}=A_{\nu }+a_{\nu +1}+{\dots +a_{n}<A_{\nu }+l(B_{n}-B_{\nu }),\quad \forall n>\nu ,}$

${\displaystyle {bn}_{}}$> ${\displaystyle b_{n}>0}$이가) 있기 때문에$Bn$ > 0 {\displaystyle $B_{n}>0}$도 있고 $Bn$ {\displaystyle $B_{n}$로 나누어서$$ 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {A_{n}{B_{n}}{\frac {A_{\nu}-lB_{\nu}}}{B_{n}}}+l,\quad \forall n>\nu .}}$

$B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$→ +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle B_{n}\to +\flt }$을(를) n${\displaystyle }$→ +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle n\to +\flt$}로$$(를) 표시한 이후 시퀀스$.$

${\displaystyle {\frac{A_{\nu}-lB_{\nu}}}{{B_{n}}}\text{{}부터 0{\text{}까지({n\text{ 고정)},},}$

그리고 우리는 얻는다.

${\displaystyle \limsup _{n\to \frac {A_{n}}}\leq l,\quad \forall l}L,}$

최소 상한의 정의에 의해, 이것은 정확히 다음을 의미한다.

${\displaystyle \imsup _{n\to \flac {A_{n}}}\leq L=\limsup _{n\to \flac{a_{n}}{b_{n}}}}}}},$

그럼 우린 끝장이야

원문증거

자, 스톨츠-체사로 정리 일반형식의 문장에서와 같이$$ $({\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$(${\displaystyle b_{}}$ ) , (b${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (a_{n}),$ ($b_{n}})$을 취하여 정의한다.

${\displaystyle \properties _{1}=a_{k}-a_{k-1},\forall k>1\properties _{1}=b_{1},\forall k>1}, {k}=b_{k-1},\forall k>1}$

이후(bn){\displaystyle(b_{n})}은 정확하게monotone(우리는 엄격하게 예를 들어 증가하고 가정을 할 수 있),β n>0{\displaystyle \beta_{n}>. 0}일 경우 모든 n{n\displaystyle}과 이후 bn→+∞{\displaystyle b_{n}\to +\infty}또한 Bnxb1+(b2− b1)+⋯+(bn−. b이다.n−${\displaystyle \mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+\dots +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}\to +\infty }$, thus we can apply the theorem we have just proved to ${\displaystyle (\alpha _{n}),(\beta _{n})}$ (and their partial sums ${\displaystyle (\mathrm {A} _{n}),(\mat$$hrm {B} _{n}}$)

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\mathrm {B} _{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},}$

그게 바로 우리가 증명하고 싶었던 거야

참조

• Mureşan, Marian (2008), A Concrete Approach to Classical Analysis, Berlin: Springer, pp. 85–88, ISBN 978-0-387-78932-3.
• Stolz, Otto (1885), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Leipzig: Teubners, pp. 173–175.
• Cesàro, Ernesto (1888), "Sur la convergence des séries", Nouvelles annales de mathématiques, Series 3, 7: 49–59.
• Pólya, George; Szegő, Gábor (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, vol. I, Berlin: Springer.
• A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: 간격에 대한 실제 분석.스프링거, 2014, ISBN 9788132221487, 페이지 59-62
• J. Marshall Ash, Allan Berelle, Stefan Catoiu: L'Hospital's Rule의 그럴듯하고 진정한 확장.수학 잡지 85권, 1위(2012년 2월), 페이지 52-60(JSTOR)

외부 링크

• l'Hôpital's rule and Stolz-Cesaro at imomath.com.
• PlanetMath의 Stolz-Cesaro 정리 증명.

메모들

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 허가된 PlanetMath의 Stolz-Cessaro 정리 자료가 통합되어 있다.