리 그룹

수학에서 리 집단은 리(1960년, 1961년)가 복수의 결합의 방향을 뒤집는 다인킨 도표의 예외적인 자동화로부터 구축한 유한한 분야에 걸쳐 리(1960년, 1961년)가 만든 리 형태의 집단으로, 스즈키가 발견한 스즈키 집단을 다른 방법으로 일반화한다.그들은 유한한 단순집단의 무한가족 중 마지막으로 발견된 것이다.

스타인버그 그룹과는 달리, 리 그룹은 유한한 분야에 걸쳐 정의된 연결된 환원 대수집단의 점들에 의해 주어지지 않는다. 다시 말해, (말하자면) 단일집단이 스타인버그 그룹과 연관되어 있는 것과 같은 방식으로 리 그룹과 관련된 "리 대수집단"은 존재하지 않는다.그러나 뿌리 길이를 바꾸는 Dynkin 도표의 이국적인 자동화를 사용하므로, 구성이 리 그룹 구성과 관련이 있는 비완벽적인 분야보다 이국적인 사이비 축소 대수학 집단이 있다.

Tits(1960)는 특성 2와 3의 무한한 영역에 걸쳐 리 그룹을 정의했다.Tits(1989년)와 Hée(1990년)는 무한차원 Kac-Moody 알헤브라의 리 그룹들을 소개했다.

건설

X가 Dynkin 도표인 경우, Chevalley는 X에 해당하는 분할 대수 그룹을 생성했으며, 특히 필드 F에 값이 있는 X(F)를 부여했다.이들 집단은 다음과 같은 자동화를 가지고 있다.

• 필드 F의 어떤 내형성 σ은 그룹 X(F)의 내형성 α를_σ 유도한다.
• Dynkin 도표의 모든 자동형성은 그룹 X(F)의 자동형 α를_π 유도한다.

스타인버그와 체발리 그룹은 필드의 대수적 폐쇄 F에 대한 X(F)의 내형성의 고정점으로서 구성될 수 있다.체발리 집단의 경우 오토모피즘은 F의 프로베니우스 내형성인 반면, 스타인베르크 집단의 경우 오토모피즘은 프로베니우스 내형성인 데인킨 다이어그램의 오토모피즘을 곱한 것이다.

특성 2의 영역 위에 그룹 B₂(F)와 그룹₄ F(F) 그리고 특성 3의 영역 위에 그룹 G₂(F)는 필드 F의 프로베니우스 내형성 φ과 연관된 내형성 α인_φ 내형성을 가지고 있다.대략 이 내형성 α는_π 뿌리의 길이를 무시하는 딘킨 도표의 순서 2 자동형성에서 유래한다.

필드 F에 내형성 σ이 있다고 가정해 보자. 그 사각형은 프로베니우스 내형성: σ² = φ이다.그런 다음 리 그룹은 α_π(g) = α_σ(g)와 같은 X(F)의 원소 g 그룹으로 정의된다.필드 F가 완벽하다면 α와_π α는_φ 자동형이며, 리 그룹은 X(F)의 비자발 α_φ/α의_π 고정점 그룹이다.

F가 유한 순서 p의^k 필드(p = 2 또는 3)인 경우, 정확하게 k = 2n + 1이 홀수일 때 프로베니우스 정사각형이 있는 내형성이 있으며, 이 경우 고유하다.그래서 이것은 유한한 리 집단을 B(2₂²ⁿ⁺¹), F(2₄²ⁿ⁺¹), G(3₂²ⁿ⁺¹)의 하위집단으로 비자발적으로 고정시킨다.

체발리 그룹, 스타인버그 그룹, 리 그룹

체발리 그룹, 스타인버그 그룹, 리 그룹 간의 관계는 대략 다음과 같다.Dynkin 도표 X에 따라, Chevalley는 유한한 분야에 대한 값이 Chevalley 그룹인 정수 Z에 대한 그룹 체계를 구축했다.일반적으로 X(F)의 내형성 α의 고정점을 취할 수 있는데, 여기서 F는 유한장의 대수학적 폐쇄로서, α의 어떤 힘은 프로베니우스 내형성 φ의 어떤 힘이다.세 가지 경우는 다음과 같다.

• Chevalley 그룹의 경우, 일부 양의 정수 n에 대해서는 α = φⁿ.이 경우 고정점 그룹도 유한장 위에 정의된 X점 그룹이다.
• 스타인버그 그룹의 경우, 일부 양의 정수 m에 대해 α^m = αⁿ, n은 n과 m > 1을 나눈다.이 경우 고정점 그룹은 유한한 장에 걸쳐 정의된 X의 꼬임(quasisplit) 형태의 점 그룹이기도 하다.
• 리 그룹의 경우, 일부 양의 정수 m에 대해 α^m = αⁿ, n을 나누지 않는 m과 함께 n을 나눈다.실제로 m=2와 n은 이상하다.리 그룹은 필드에서 값을 가진 몇몇 연결된 대수 그룹의 점으로 주어지지 않는다.그것들은 n개의 홀수를 가진 순서ⁿ p의 필드에 걸쳐 정의된 그룹의 순서 m=2 자동모형의 고정점이며, 그에 상응하는 순서^n/2 p의 분야는 없다(일부 저자들은 그룹에 대한 그들의 표기법에 있는 것처럼 하기를 좋아하지만).

B형의₂ 리 그룹

B형의₂ 리족 집단은 스즈키(1960)가 다른 방법을 사용하여 처음 발견했으며, 보통 스즈키 집단이라고 부른다.리 교수는 그것들이 스타인버그(1959년)의 건축의 변형을 이용하여 B형₂ 집단으로부터 건설될 수 있다는 것을 알아챘다.리 교수는 Dynkin 다이어그램 F와₄ G에도₂ 유사한 구조가 적용될 수 있다는 것을 깨달았고, 유한한 단순 집단의 두 새로운 가족으로 이어졌다.

G형의₂ 리 그룹

G₂(3²ⁿ⁺¹)형의 리 집단은 리(1960)에 의해 소개되었는데, 리(1960)는 SL₂(8)의 오토모피즘 집단에 이형화된 첫 번째 집단을₂ 제외하고는 모두 단순하다는 것을 보여주었다.윌슨(2010년)은 이선형, 삼선형, 이선형 제품을 보존하는²ⁿ⁺¹ 3개 원소를 가진 현장 위에 7차원 벡터 공간의 자동화로 리 그룹들의 단순화된 구조를 제공했다.

리 그룹에는 q³(q³ + 1)(q - 1)의 오더 q²ⁿ⁺¹ = 3

슈르 승수는 n ≥ 1과 G(3₂)′에 대해 사소한 것이다.

외부 자동형성 그룹은 순서 2n + 1의 순환이다.

리 그룹도 가끔 리(q), R(q) 또는 E₂^*(q)에 의해 표시된다.

리 그룹 G₂(q)는 q³+1 포인트에 이중 전이적 순열 표현을 하고 있으며, 보다 정밀하게 S(2, q+1³, q+1) Steiner 시스템의 자동화로 작용한다.또한₂ G(q)의 부분군이기 때문에 q 원소가 있는 필드 위에 7차원 벡터 공간에 작용한다.

리 그룹의 2계급 하위 그룹은 8계급의 초급 아벨리안이다.월터의 정리를 보면 아벨리안 시로우 2 서브그룹을 가진 다른 비아벨리안 유한단순군만이 차원 2와 잔코 그룹 J1의 투영적 특수 선형집단임을 알 수 있다.이들 집단은 최초의 근대적 산발적 집단을 발견하는 데도 역할을 했다.그들은 Z/2Z × PSL₂(q) 형식의 비자발적 중앙집중기를 가지고 있으며, Z/2Z × PSL₂(5) 얀코는 유사한 형태의 비자발적 중앙집중기를 가진 집단을 조사함으로써 산발적인 집단₁ J. Kleidman(1988)이 그들의 최대 하위집단을 결정했다는 것을 발견했다.

G형의₂ 리 그룹들은 특징 짓기가 유달리 어렵다.톰슨(1967년, 1972년, 1977년)은 이 문제를 연구했고, 그러한 집단의 구조가 특성 3의 유한한 분야의 어떤 오토모피즘 by에 의해 결정된다는 것을 보여줄 수 있었고, 이 오토모피즘의 사각형이 프로베니우스 오토모피즘이라면 그 집단은 리 그룹이라는 것을 보여줄 수 있었다.그는 또한 오토모프리즘 σ에 의해 충족되는 몇 가지 복잡한 조건들을 주었다.마침내 봄비에리(1980년)는 제거 이론을 사용하여 톰슨의 조건이 오들리츠코와 헌트에 의해 컴퓨터를 사용하여 제거된 178개의 작은 경우를 제외하고 모두 σ² = 3이라는 것을 암시한다는 것을 보여주었다.봄비에리는 고렌슈타인(1979)의 분류에 관한 기사를 읽고 이 문제를 알게 되었는데, 그는 외부 집단 이론의 누군가가 이 문제를 해결하는 데 도움을 줄 수 있을 것이라고 제안했다.Enguehard(1986)는 톰슨과 봄비에리가 이 문제의 해결책에 대해 통일된 설명을 했다.

F형의₄ 리 그룹

F₄(2²ⁿ⁺¹) 유형의 리 그룹은 리(1961년)에 의해 소개되었다.Tits(1964)가 보여준 첫 번째 F(2₄)를 제외하면 단순하다. 이 F(2)는 현재 Tits 그룹으로 알려져 있는 지수 2의 하위 그룹을 가지고 있다.윌슨(2010b)은 2차적 형태, 입방형, 부분적 곱셈을 보존하는²ⁿ⁺¹ 순서 2의 영역에 걸친 26차원 공간의 대칭으로서 리 그룹들의 단순화된 구성을 제공했다.

리 그룹 F₄(2)는²ⁿ⁺¹ q¹²(q⁶ + 1) (q⁴ - 1) (q³ + 1) (q - 1) (q - 1) (q - 1) (q - 1) (q - 1) 여기서²ⁿ⁺¹ q = 2)를 주문한다.슈르 승수는 하찮은 것이다.외부 자동형성 그룹은 순서 2n + 1의 순환이다.

이 리 그룹들은 그들의 BN 쌍의 콕시터 그룹이 결정학적인 것이 아니라는 특이한 속성을 가지고 있다: 그것은 질서 16의 이단 그룹이다.Tits(1983)는 모든 Moufang 옥타곤이 F형의₄ 리 그룹으로부터 온다는 것을 보여주었다.

참고 항목

• 유한단순군 목록

참조

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외부 링크

• ATLAS: 리 그룹 R(27)