아벨과 타우베리아의 이론
Abelian and Tauberian theorems수학에서 아벨리안과 타우베리아의 이론은 닐스 헨릭 아벨과 알프레드 타우버의 이름을 따서 같은 결과를 내기 위해 서로 다른 시리즈를 요약하는 두 가지 방법을 위한 조건을 주는 이론이다.원래의 예는 시리즈가 어느 정도 한계에 수렴하면 그 아벨 합이 같은 한계임을 보여주는 아벨의 정리, 시리즈의 아벨 합이 존재하고 계수가 충분히 작으면 시리즈가 아벨 합으로 수렴된다는 것을 보여주는 타우버의 정리 등이다.더 일반적인 아벨리언과 타우베리안 이론은 더 일반적인 합계 방법에 대해 비슷한 결과를 제공한다.
아벨론과 타우베리아의 이론 사이에는 아직 뚜렷한 구분이 없으며, 이러한 용어들이 의미하는 것에 대해 일반적으로 받아들여지는 정의도 없다.흔히 정리는 어떤 합계법이 융합 계열에 대해 통상적인 합계를 준다는 것을 보여 준다면 "아벨리안"이라고 불리고, 통상적인 의미에서의 합계를 가능하게 하는 어떤 방법에 의해 연속적인 합계를 위한 조건을 준다면 "타우베리아"라고 불린다.
적분 변환 이론에서 아벨의 이론은 원래 함수의 특성에 기초하여 변환의 점증적 행동을 제공한다.반대로 타우베리안 이론은 변환의 특성에 기초하여 원래 함수의 점근거동을 제공하지만 대개 원래 함수에 대한 일부 제한이 필요하다.[1]
아벨의 정리
어떤 합계법 L에 대해서도, 그것의 아벨의 정리는 c = (cn)가 한계 C를 가진 수렴 순서라면 L(c) = C. N이 무한대로의 경향이 있기 때문에 c의 첫 번째 N항 산술 평균의 한계로 정의되는 Cesaro 방법에 의해 그 예가 주어진다.c가 C로 수렴하면, 그 다음 순서도N C로 수렴한다는 것을 증명할 수 있다.
이를 확인하려면 C = 0 사례로 줄이기 위해 모든 곳에서 C를 빼십시오.그런 다음 시퀀스를 초기 세그먼트와 작은 항의 꼬리로 나눈다: ε > 0의 경우, 우리는 최대 ε/2까지 c 항의N 초기 세그먼트를 평균으로 만들 수 있을 만큼 충분히 큰 N을 취할 수 있는 반면, 꼬리의 각 항은 //2로 경계하므로 평균도 반드시 경계해야 한다.
그 이름은 권력 시리즈에 대한 아벨의 정리에서 유래되었다.이 경우 L은 방사상 한계치(복합 단위 디스크 내에서 고려됨)이며, 여기서 r은 항이 있는 동력 시리즈의 실제 축을 따라 아래로부터 한계치 1을 향하도록 한다.
- anzn
그리고 z = r·e를 iθ 설정한다.그 정리는 전력 시리즈가 정확히 1의 수렴 반경을 갖는 경우에 주된 관심을 가지고 있다: 정합 반경이 1보다 크면 [0,1]에서 전력 시리즈의 수렴이 r에 대해 균일하기 때문에 합계가 자동으로 연속되고 r이 1까지의 경향에 따른 한계가 단순히 a의n 합이라는 것을 직접적으로 따른다.반경이 1일 때, 전력 시리즈는 z = 1에 대해 어떤 특이점을 가질 것이다. 그럼에도 불구하고, a의n 합이 존재한다면, r에 대한 한계와 같다는 주장이다.그러므로 이것은 추상적인 그림과 정확히 들어맞는다.
타우베리아의 정리
아벨의 이론에 대한 부분적인 대화를 타우베리아의 이론이라고 부른다.알프레드 타우버 (1897)[2]의 원본 결과는 우리가 또한 가정한다면 다음과 같이 말했다.
- an = o(1/n)
(Little o 표기법 참조)와 방사상 한계가 존재하면, z = 1을 설정하여 얻은 시리즈는 실제로 수렴된다.이것은 John Edensor Littlewood에 의해 강화되었다: 우리는 O (1/n)만 가정하면 된다.전반적인 일반화는 하디-리틀우드 타우베리안 정리다.
그러므로 추상적인 설정에서 아벨의 정리에서는 L의 영역은 수렴 시퀀스를 포함하고 있으며, 그 값이 임기능의 것과 동일하다고 기술하고 있다.타우베리아의 정리는 어떤 성장 조건 하에서 L의 영역은 정확히 수렴 시퀀스이며 그 이상은 아니라고 기술하고 있다.
만일 L을 어떤 일반화된 형태의 가중 평균으로 생각한다면, 타우베리아의 정리는 정확한 가설 하에서 가중치를 폐기할 수 있다.특히 디리클레트 시리즈를 취급하는 데 있어서, 숫자 이론에 있어서 이러한 종류의 결과의 적용이 많다.
타우베리안 이론의 분야의 발전은 노르베르트 비에너의 매우 일반적인 결과, 즉 비에너의 타우베리안 정리 및 그 방대한 코롤리 컬렉션과 함께 새로운 국면을 맞았다.[3]중심정리는 이제 바나흐 대수법에 의해 증명될 수 있으며, 전부는 아니지만 이전 이론의 많은 것을 포함하고 있다.
참고 항목
참조
- ^ Froese Fischer, Charlotte (1954). "A method for finding the asymptotic behavior of a function from its Laplace transform". doi:10.14288/1.0080631.
{{cite journal}}:Cite 저널은 필요로 한다.journal=(도움말) - ^ Tauber, Alfred (1897). "Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen" [A theorem about infinite series]. Monatshefte für Mathematik und Physik (in German). 8: 273–277. doi:10.1007/BF01696278. JFM 28.0221.02. S2CID 120692627.
- ^ Wiener, Norbert (1932). "Tauberian theorems". Annals of Mathematics. 33 (1): 1–100. doi:10.2307/1968102. JFM 58.0226.02. JSTOR 1968102. MR 1503035. Zbl 0004.05905.
외부 링크
- "Tauberian theorems", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Korevaar, Jacob (2004). Tauberian theory. A century of developments. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 329. Springer-Verlag. pp. xvi+483. doi:10.1007/978-3-662-10225-1. ISBN 978-3-540-21058-0. MR 2073637. Zbl 1056.40002.
- Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 147–167. ISBN 978-0-521-84903-6. MR 2378655. Zbl 1142.11001.
