라이트 오메가 함수

수학에서 Ω으로 표시된 ^{[note 1]}라이트 오메가 함수 또는 라이트 함수는 램버트 W 함수의 관점에서 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle \omega(z)=W_{{\big \lceil }{\frac {im}(z)-\pi }{2\pi }{\big \rceil }}}{{^{z}}}$

사용하다

이 함수의 주요 적용 중 하나는 z = ln(z) 방정식의 분해능에 있는데, 유일한 해법은 z = e에^{−ω(π i)} 의해 주어지기 때문이다.

y = Ω(z)은 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ x${\displaystyle }$± i ${\displaystyle \pi }$의 고유한 솔루션으로$,$ x { -1의 경우 y + ln$($y) = z의 $경우,$ 라이트 오메가 함수는 연속적이고 고른 분석이다.

특성.

${\displaystyle {라이트}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{오메가}}$ 함수는 W $k{\displaystyle {}_{}}$( z${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega }$(${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (z}$ ${\displaystyle )}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ i $){\displaystyle W_{k}(z)=\ln(z)+2\pi ik)}$의 관계를 만족한다$.$

그것은 또한 미분 방정식을 만족시킨다.

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dz}={\frac {\omega }{1+\omega }}}}$

Ω이 분석적인 곳이라면 어디서나(변수의 분리를 수행하고 등식 ${\displaystyle \ln }$⁡ ${\displaystyle (\Omega }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \Omega }$= ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ln(\omega)+\omega =z}$을(를) 복구하는 것으로 알 수 있으며,$$ 그 결과 그 적분은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \int w^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{if }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{if }}n=-1.\end{case}}}$

$지점{\displaystyle }$a = ${\displaystyle {\Omega }_{}}$a + ${\displaystyle \ln (}$ (${\displaystyle {\Omega }_{}}$a )$${\$displaystyle$ a$=\omega$ _${a}+\ln(\omega$_{$a}})$을 둘러싼 Taylor 시리즈는 다음과 같은 형식을 취한다$$.

${\displaystyle \omega (z)=\sum _{n=0}^{+}{n}{\frac {q_{n}(\omega _{a}}}}}{1+\omega _{a}^{n-1}}}{\frac {(z-a)^{n}{n!}}}$

어디에

${\displaystyle q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\bigg}n+1\\k\end}}{\bigg \angle }\!\!{\bigg \rangele }(1)^{k}w^{k+1}:{k+1}:{k+1}:{k}$

어떤 점에서

$\displaystyle {\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\bigg}n\k\end{bigg \angle }\!\!{\bigg \rangele}}}$

2차 오일러 번호야

가치

${\displaystyle{\begin{배열}{lll}\omega(0)&, =W_ᆭ(1)&, \approx 0.56714\\\omega(1)&, =1&,\\\omega(-1\pm i\pi)&, =-1&,\\\omega(-{\frac{1}{3}}+\ln \left({\frac{1}{3}}\right)+i\pi)&=-{\frac{1}{3}}&\\\omega(-{\frac{1}{3}}+\ln \left({\frac{1}{3}}\right)-i\pi)&=.W_ᆩ\left(-{\frac{1}{3}}e^{-{\frac{1}{3}}}\right)&.(-2.237147028\\\end{배열}}}$

플롯

• 복합 평면에서의 라이트 오메가 함수 플롯
• 

  z = Re(Ω(x + i y))

• 

  z = Im(Ω(x + i y))

• 

  Ω(x + i y)

메모들

참조

• "On the Wright Ω 함수", 로버트 코리스 및 데이비드 제프리

이 유일한 참고문헌에 대한 링크가 끊어졌다.겉보기에는 https://orcca.on.ca/TechReports/으로 보이지만, pdf: https://orcca.on.ca/TechReports/2000/TR-00-12.html으로 연결되는 명소 또한 고장난 것 같다.실행 가능한 참조가 필요하다.