가속(차이 지오메트리)

수학과 물리학에서 가속은 주어진 선형 연결에 관한 곡선의 속도 변화 속도를 의미한다. 이 작전은 우리에게 "벤드"의 속도와 방향에 대한 측도를 제공한다.^[1][2]

형식 정의

Consider a differentiable manifold ${\displaystyle M}$ with a given connection ${\displaystyle \Gamma }$. Let ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M}$ be a curve in ${\displaystyle M}$ with tangent vector, i.e. velocity, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(\tau )}$, with paramete$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$ $\}.$

${\displaystyle \gamma}$의 가속 벡터는 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma \stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\gamma }_{}\stackrel{}{}}$ γ γ ${\displaystyle \stackrel{}{\{}}$ {$$\ \ \ $\dot{\dot${\$dot{\$$nabla$ $}}}}}$에 의해$$ 정의되며$,$ 여기서 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$$${\$displaystystyle \Gamma$ \Gamma$$}}}}은$$}에 관련된 공변량마 ..

$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma$ $\}$을(를) 따르는 공변성 파생상품이며, 흔히 에 의해 표시된다.

${\displaystyle \dotla _{\dot{\dot{\dot}}}={\fracla {\dot{\dot{\dot}}}}}.}$

With respect to an arbitrary coordinate system ${\displaystyle (x^{\mu })}$, and with ${\displaystyle (\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu })}$ being the components of the connection (i.e., covariant derivative ${\displaystyle \nabla _{\mu }:=\nabla _{\partial /\partial x$$^{\mu$ $\}\}\}$에 따라 이 좌표계에 대해, 정의됨

${\displaystyle \nabla _{\partial x^{\mu }{\partial x^{\partial }{\partial x^{\partial }{\lambda }}}}=\Mamma ^{\lambda }{}}}}}}$

가속$$ 벡터 $필드$의 경우 ${\displaystyle {\mu }^{}}$:=(${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$μ : ${\displaystyle {\gamma \stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}_{}}$ ˙ ${\displaystyle {\gamma }_{}\stackrel{}{}}$ γ${\displaystyle {}^{}\stackrel{}{)}}$ ) ${\$ a$^{\mu }=(\lala$ _${\dot{\ {}}}}^{\mu }}}).$

${\displaystyle a^{\mu }=v^{\rho }\nabla _{\rho }v^{\mu }={\frac {dv^{\mu }}{d\tau }}+\Gamma ^{\mu }{}_{\nu \lambda }v^{\nu }v^{\lambda }={\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\nu \lambda }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\lambda }}{d\tau }},}$

where ${\displaystyle x^{\mu }(\tau ):=\gamma ^{\mu }(\tau )}$ is the local expression for the path ${\displaystyle \gamma }$, and ${\displaystyle v^{\rho }:=({\dot {\gamma }})^{\rho }}$.

가속도 개념은 공변량 파생 개념이다. 즉, 가속을 정의하기 $위해서$는 M ${\displaystyle M}$의 추가 구조가 제공되어야 한다$$.

추상$$ 지수 표기법을 사용하여 단위 접선 벡터 ${\$를 가진 주어진 곡선의 가속도는$$ b ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}_{}}$ a {\$displaystyle \xi ^{b}\nabla _{b}\xi ^{a}}$에 의해 주어진다$.$^[3]

참고 항목

• 가속
• 공변량 파생상품

메모들

참조

• Friedman, M. (1983). Foundations of Space-Time Theories. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-07239-6.
• Dillen, F. J. E.; Verstraelen, L.C.A. (2000). Handbook of Differential Geometry. Volume 1. Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-82240-2. volume= 추가 텍스트(도움말)
• Pfister, Herbert; King, Markus (2015). Inertia and Gravitation. The Fundamental Nature and Structure of Space-Time. The Lecture Notes in Physics. Volume 897. Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-319-15036-9. ISBN 978-3-319-15035-2.