가법정체

수학에서 덧셈의 연산을 갖춘 집합의 덧셈정체는 집합의 어떤 원소 x에 더하면 x를 산출하는 요소다. 가장 친숙한 덧셈정체 중 하나는 기초수학에서 나온 숫자 0이지만 덧셈이 정의된 다른 수학적 구조에서는 덧셈정체가 발생한다. 집단과 반지로 된 것처럼.

기본 예

초등 수학에서 익숙한 첨가제 정체성은 0으로 표시되며 0으로 표시된다. 예를 들면
$5+0=5=0+5.$
자연수 N(0을 포함하면), 정수Z, 이성수Q, 실수R, 복합수C에서 가법정체는 0이다. 이 세트에 속하는 numbern의 경우
$n+0=n=0+n.$

N은 덧셈의 운용에 의해 폐쇄되고 +로 표시된 그룹이 되게 한다. N에 대한 첨가물 ID(e로 표시됨)는 N에 있는 요소로서, N에 있는 모든 요소에 대해,

e + n = n = n + e.

그룹에서 가법정체성은 집단의 정체성 요소로서 흔히 0으로 표시되며 고유하다(증거는 아래 참조).
링 또는 필드는 덧셈의 조작을 받는 그룹이며, 따라서 이들 또한 고유한 덧셈 아이덴티티 0을 가진다. 이는 링(또는 필드)에 둘 이상의 요소가 있는 경우 승법적 정체성 1과 다른 것으로 정의된다. 첨가물 아이덴티티와 곱셈 아이덴티티가 같다면, 링은 사소한 것이다(아래에서 증명됨).
링 R에 대한 m by nmatrises의_m×n 링 M(R)에서, 첨가물 아이덴티티는 0 행렬이며, O 또는 0으로 표시되며,^[1] 항목 전체가 R에 있는 ID 요소 0으로 구성된 m by n 행렬이다. 예를 들어, 정수 M₂(Z) 위에 있는 2×2 행렬에서 첨가된 정체는
$0={\property{bmatrix}0&0\0\nd{bmatrix}$
쿼터니온에서 0은 부가적인 정체성이다.
R에서 R까지의 함수의 링에서, 모든 숫자를 0으로 매핑하는 함수는 첨가된 ID이다.
R에ⁿ 있는 벡터의 첨가물 그룹에서 원점 또는 영 벡터는 첨가물 정체성이다.

Let (G, +)는 그룹이 되고, Let (G, +)는 G에서 0과 0'은 모두 첨가된 정체성을 나타내므로, G에서 어떤 G에 대해서도,

0 + g = g = g + 0, 0' + g = g = g + 0'

그 후 상기에서 다음과 같이 한다.

0' = 0' + 0 = 0' + 0 = 0.

덧셈에 따라 분포하는 곱셈 연산이 있는 시스템에서 가법 정체는 승법 흡수 원소로서 S의 어떤 s에 대해서도 s/0 = 0을 의미한다. 그 이유는 다음과 같다.

#\displaystyle {\begin}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\Rightarrow s\cdot 0&s\s\cdot 0\\\\Rightarrow s&=0.\end{정렬}}}

R을 링으로 하고 가법적 정체성 0과 승법적 정체성 1이 동일하다고 가정한다. 즉, 0 = 1. r을 R의 어떤 요소가 되게 한다. 그러면

r = r × 1 = r × 0 = 0

R이 사소한 것임을 증명하는 것, 즉 R = {0}. 따라서 R이 비경쟁적인 경우 0이 1과 같지 않은 역추적 값이 표시된다.

^ Weisstein, Eric W. "Additive Identity". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-07.