가법 지도

대수학에서 가법 지도인 $(\displaystyle$ Z $)$ 선형 $Z$ 지도 또는 가법 함수는 가법 ^[1]연산을 보존하는 $함수$ f $(\displaystyle$ f $)$ 이다 $f$ .

f(x+y)=f(x)+f(y)

f

.

{

displaystyle

f

.}

f.

의

f.

모든

요소

x

(\displaystyle

x)와

x

y

y

(\

displaystyle

y

)

쌍에 대해 예를 들어 선형 맵은 모두 가산적입니다.정의역이 실수일 때, 이것은 코치의 함수 방정식이다.이 정의에 대한 자세한 내용은 가법 다항식을 참조하십시오.

좀 더 형식적으로, 가법 지도는 Z $\mathbb {Z}$ \ $displaystyle \mathbb {Z}$ - 모듈 $\mathbb {Z}$ 동형사상이다.아벨 군은 Z $\mathbb {Z}$ \ $displaystyle \mathbb {Z}$ -module이므로 $\mathbb {Z}$ 아벨 군 사이의 군 동형사상으로 정의할 수 있다.

2개의 인수에 각각 가산되는 V $V\times W\to X$ × $V\times W\to X$ $V\times W\to X$ $(\displaystyle$ V $\times$ W $\to$ X $)$ $V\times W\to X$ 을 $V\times W\to X$ 쌍선형 맵 또는 $\mathbb {Z}$ (\ $displaystyle \mathbb {Z})$ - 쌍선형 $\mathbb {Z}$ ^[2]맵이라고 합니다.

예

일반적인 예로는 링 간 맵, 벡터 공간 또는 가법 그룹을 유지하는 모듈 등이 있습니다.가법맵은 링의 곱 연산 등 객체의 다른 구조를 반드시 보존하는 것은 아닙니다.

f $\displaystyle$ $g$ 와 $f$ g $\displaystyle$ g가 가산 $g$ 맵인 $경우$ f $f+g$ + $f+g$ \ $displaystyle$ f $+g($ 점 단위로 정의)는 가산 맵입니다.

특성.

정수에 의한 스칼라 곱셈의 정의

$({displaystyle$ X $})$ 가 $X$ $식별$ 요소 $x\in X$ ({ $displaystyle$ 0 $0$ })을 가지는 가법 그룹이며 $x\in X$ $x\in X$ ({ $displaystyle x\in$ $x\in X$ X $x\in X$ })의 $x\in X$ 역수를 $.({displaystyle -x.})$ $x\in X$ $n\in \mathbb {Z} ,$ n $displaystyle$ x $\$ $in X})$ 로 $n\in \mathbb {Z} ,$ 나타냅니다 $.$

\displaystyle nx:=\left\{\displays {alignedat}{9}&&&0&,&&&&&~~~~&,&&&~{\text{ 때}}n=0,\\&,&&x&,&+\cdots +&, &, x&,&~~~~{\text{(}}n&, &,{\text{summands)}}&&~{\text{ 때}}n>, 0,\\&,(-&,&))&,&+\cdots +(-&,&))&,&~~~~{\text{(}}n&&,{\text{summands)}}&&일{.\text{때}}n<, 0,\\\end{alignedat}}\right.}

따라서

(-1)x=-x

( -

(-1)x=-x

) x

=

-

(-1)x=-x

{\

displaystyle

(-

1)

x=-

x}

이며

(-1)x=-x

, 모든

m,n\in \mathbb {Z}

m,

m,n\in \mathbb {Z}

Z (\

displaystyle m,n\

in

\mathbb

{Z

})

및

x\in X,

{\

X , {\

displaystyle

x

x\in X,

(m+n)x=mx+nx

(

(m+n)x=mx+nx

+

(m+n)x=mx+nx

)

=

+

displaystyle

( nx +

nx

+ nx displaym + nx + n

)

에 대해 나타낼 수 있습니다.

-(nx)=(-n)x=n(-x).

이 스칼라 곱셈 정의는

X

의

X

순환

\mathbb {Z} x

Z

\mathbb {Z} x

\

displaystyle \

mathbb

{Z}

를

\mathbb {Z} x

\mathbb {Z}

Z

(\

\mathbb

\mathbb {Z}

{Z})

모듈로

\mathbb {Z}

만듭니다.

X {\

displaystyle

X

}

이

X

가환인 경우

X {\

displaystyle

X

}

도

X

\mathbb {Z}

Z

(\mathbbb)

로

만듭니다

.} -

\mathbb {Z}

modulemodule

\mathbb {Z}

정수에 대한 균질성

f $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ {\ $displaystyle$ f $:X\to$ Y $}$ 가 $f:X\to Y$ 가법 그룹 간의 가법 맵인 $f:X\to Y$ $f(0)=0$ f ( $f(0)=0$ $=$ {\ $displaystyle$ f(0)= $0$ $}$ 이며 $f(0)=0$ $x\in X,$ , $x\in X,$ x $x\in X,$ X에 대해 $x\in X,$ {\ $displaystyle x$ \ $in$ X $f(-x)=-f(x)$ ( $f(-x)=-f(x)$ - x ) $=$ f $x)$ 는 가법 역치를 나타냅니다.

f(nx)=syslog(x)\text{모든 }}n\in \mathbb {Z}

f(x-y)=f(x)-f(y)

모든

x,y\in X

y

x,y\in X

x,y\in X

{

displaystyle

x ,

y

}(정의로는

f(x-y)=f(x)-f(y)

x-y:=x+(-y)

-

x-y:=x+(-y)

)

f(x-y)=f(x)-f(y)

=

f(x-y)=f(x)-f(y)

(

f(x-y)=f(x)-f(y)

) -

f(x-y)=f(x)-f(y)

f (

y ){

displaystyle

f ( x -

y

)=

f(x-y)=f(x)-f(y)

f

(

x

x-y:=x+(-y)

)-

f

( y )

。

즉, 모든 가법 지도는 정수에 대해 균질합니다.따라서 아벨 군 사이의 모든 가법 지도는 Z $\mathbb {Z}$ \ $displaystyle \mathbb {Z}$ -modules의 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ 이 된다.

$(\displaystyle$ \ $mathbb$ { $Q})$ - 모듈의 동형성

가법 아벨 $군$ X {\ $displaystyle$ X $}$ $및$ Y {\ $displaystyle$ Y $}$ 도 $\mathbb {Q}$ Q {\ $displaystyle$ \ $mathbb$ {Q $}$ 위의 단수 모듈(실제 또는 복소 벡터 공간 등)인 경우 $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ $f:X\to Y$ : X $→$ Y {\ $displaystyle$ f $:X\$ to $f:X\to Y$ Y}는 ^{[proof 2]}다음을 만족합니다.

f(qx)=qf(x)\display {모든}}q\in \mathbb {Q}\in \text{및 }}x\in X

즉, 모든 가법 지도는 유리수보다 균질하다.따라서

\mathbb {Q}

Q

\mathbb {Q}

{\

displaystyle \mathbb {Q}

}

-modules

\mathbb {Q}

사이의 모든 첨가물은

\mathbb {Q}

Q {\

displaystyle \mathbb {Q}

-modules의

\mathbb {Q}

\mathbb {Q}

이다.

X $X=Y=\mathbb {R} ,$ $X=Y=\mathbb {R} ,$ $=$ , {\mathbb $\mathbb {Q} ,$ ${R$ } , $\mathbb {Q} ,$ {\ $displaystyle$ X $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $Y$ =\ $mathbb$ { $R}$ , {\ $displaystyle \mathbb {R}$ } $X=Y=\mathbb {R} ,$ $\mathbb {Q} ,$ 、 $Q$ 、 $\$ $style$ \mathbb {R $}$ q $\mathbb {Q} ,$ q q q q q despite despite despite q q $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite despite $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ despite despite despite despite despite $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ Y = Y despite despite despite despite despite despite despite실수에 대한 설명입니다. 다르게 말하면 $f(x)=s_{0}x$ 어떤 $s_{0}\in \mathbb {R} .$ $s_{0}\in \mathbb {R} .$ 0 $s_{0}\in \mathbb {R} .$ . $displaystyle$ s . 0 \ $mathbb$ { r $}$ $→$ s $f(x)=s_{0}x$ x \ $displaystyle$ f $(x$ $= s_{0}x}$ 형식이 $f(x)=s_{0}x$ $f(x)=s_{0}x$ 가법 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ f : $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $→$ $f(x)=s_{0}x$ \ $displaystyle$ f $:\$ $mathbb {R$ $s_{0}\in \mathbb {R} .$ $}$ \ $mathbb$ { $R$ $}$ 이 존재한다 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ .e는 선형 맵이 아닙니다.

참고 항목

Antilinar map – 켤레 균질 적층도

메모들

^ Leslie Hogben (2013), Handbook of Linear Algebra (3 ed.), CRC Press, pp. 30–8, ISBN 9781498785600
^ N. Bourbaki (1989), Algebra Chapters 1–3, Springer, p. 243

증명서

^ $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ $f$ $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ( $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ) $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ( $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ + $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ) $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ( $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ) + $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ( $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ) $= f$ ( 0 ) $f(0)=0.$ f ( $0$ + 0 ) $-f(0)$ $= f$ ( 0 $-f(0)$ ) $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ $= f$ ( $f(0)=0.$ ) + $f$ ( 0 $-f(0)$ ) $adding$ $-f(0)$ $}$ x $f(0)=0.$ $x X$ { $style$ $x\in X$ $x$ \ $in$ X $x\in X$ }이면 $f(-x)=-f(x)$ 0 $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ( 0 ) $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ( $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ - $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ) $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ( $x$ ) + $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ( $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ - $x$ ) = $f(-x)=-f(x)$ ( x + ( - $f(-x)=-f(x)$ $x$ ) $f(-x)=-f(x)$ $= f$ ( x ) = $f(-x)=-f(x)$ ( $f(-x)=-f(x)$ + ( x ) $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ $f(-x)=-f(x)$ f ( x ) = f ( x ( x $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ) $style$ $f$ ( x ) ) $。$ } 유도는 $(-1)f(x):=-f(x).$ n $({$ {N $})$ 이 $n\in \mathbb {N}$ $f(nx)=nf(x)$ 이면 $f(nx)=nf(x)$ ( $f(nx)=nf(x)$ x $f(nx)=nf(x)$ = $x$ { $displaystyle f$ $nf(x)$ x)}의 덧셈 $nf(x)$ 가 $n(-f(x)),$ n $)$ 인 $nf(x)$ 것을 $n\in \mathbb {N}$ $n(-f(x)),$ . 이는 f $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ x) { $displaystyle nf($ x)}, { $displaystyle nf($ x)}를 $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ 합니다 $.$ $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ - $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ) $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ - ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ f ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ) $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ( - $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ) $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ) \ $displaystyle$ f ( - $n$ ) $= f$ ( $n420x$ ) $= f$ ( $f(nx)=nf(x)$ ) $= f$ $f(nx)=nf(x)$ ( x ) $f(nx)=nf(x)$ $f(nx)=nf(x)$ ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ $f(nx)=nf(x)$ ) $style$ ) $◼$
^ $x\in X$ $x\in X$ { $displaystyle$ x \ $in$ X } $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ q $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ m $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ $m,n\in \mathbb {Z}$ $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ { $displaystyle$ $n>0.$ q = $flac$ { $m$ } { $n$ $m,n\in \mathbb {Z}$ $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ \ $in$ $m,n\in \mathbb {Z}$ \ $mathbb { Z }$ $n>0.$ 0 \ $displaystyle n0$ } $。$ } $y:={\frac {1}{n}}x.$ : = $1n$ x . { $displaystyle$ y : = $flac {1} {n}$ x . } } $y:={\frac {1}{n}}x.$ $。$ $y:={\frac {1}{n}}x.$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ 으로 n $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ ( $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ x ) $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ ( $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ ) $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ ( $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ ) $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ , $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ \ $displaystyle ny =$ $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ \ left \ $frac { n$ $} x$ \ right ) = \ $left$ ( n $fr frac$ {1} ${n}$ \ $right$ ) $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ = (1 $)$ x $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ （ $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ ） $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ （ $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ ） n （ n ） ${\frac {1}{n}}$ {\ $displaystyle {1}{n}}$ 은 ${\frac {1}{n}}$ f $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ x) $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ f $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ . $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ { $displaystyle$ f $\left fac {1}{n}x\right$ } = $frac {1}{n}f(x)$ 을 증명합니다. $}$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ 으로 $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ( $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ x ) $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ( $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ x $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ) = $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ( $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ n $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ) $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ( 1 n f ( $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ x $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ) = $q$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ( $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ x $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ) . { $displaystyle f$ ( $x$ ) = f \ left f \ $frac { m$ } { $n }$ { n $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ } $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ x \ $right = mf$ \ f\ fright $left$ \ f ( x )} $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ $◼$ ${\displaystyle$ \blacksquare $}$

레퍼런스

Roger C. Lyndon; Paul E. Schupp (2001), Combinatorial Group Theory, Springer

[1] Leslie Hogben (2013), Handbook of Linear Algebra (3 ed.), CRC Press, pp. 30–8, ISBN 9781498785600

[2] N. Bourbaki (1989), Algebra Chapters 1–3, Springer, p. 243

[3] $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ $f$ $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ( $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ) $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ( $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ + $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ) $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ( $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ) + $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ( $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ ) $= f$ ( 0 ) $f(0)=0.$ f ( $0$ + 0 ) $-f(0)$ $= f$ ( 0 $-f(0)$ ) $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ $= f$ ( $f(0)=0.$ ) + $f$ ( 0 $-f(0)$ ) $adding$ $-f(0)$ $}$ x $f(0)=0.$ $x X$ { $style$ $x\in X$ $x$ \ $in$ X $x\in X$ }이면 $f(-x)=-f(x)$ 0 $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ( 0 ) $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ( $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ - $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ) $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ( $x$ ) + $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ( $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ - $x$ ) = $f(-x)=-f(x)$ ( x + ( - $f(-x)=-f(x)$ $x$ ) $f(-x)=-f(x)$ $= f$ ( x ) = $f(-x)=-f(x)$ ( $f(-x)=-f(x)$ + ( x ) $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ $f(-x)=-f(x)$ f ( x ) = f ( x ( x $0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$ ) $style$ $f$ ( x ) ) $。$ } 유도는 $(-1)f(x):=-f(x).$ n $({$ {N $})$ 이 $n\in \mathbb {N}$ $f(nx)=nf(x)$ 이면 $f(nx)=nf(x)$ ( $f(nx)=nf(x)$ x $f(nx)=nf(x)$ = $x$ { $displaystyle f$ $nf(x)$ x)}의 덧셈 $nf(x)$ 가 $n(-f(x)),$ n $)$ 인 $nf(x)$ 것을 $n\in \mathbb {N}$ $n(-f(x)),$ . 이는 f $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ x) { $displaystyle nf($ x)}, { $displaystyle nf($ x)}를 $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ 합니다 $.$ $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ - $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ) $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ - ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ f ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ) $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ( - $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ) $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ ) \ $displaystyle$ f ( - $n$ ) $= f$ ( $n420x$ ) $= f$ ( $f(nx)=nf(x)$ ) $= f$ $f(nx)=nf(x)$ ( x ) $f(nx)=nf(x)$ $f(nx)=nf(x)$ ( $f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)$ $f(nx)=nf(x)$ ) $style$ ) $◼$

[4] $x\in X$ $x\in X$ { $displaystyle$ x \ $in$ X } $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ q $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ m $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ $m,n\in \mathbb {Z}$ $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ { $displaystyle$ $n>0.$ q = $flac$ { $m$ } { $n$ $m,n\in \mathbb {Z}$ $q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q}$ \ $in$ $m,n\in \mathbb {Z}$ \ $mathbb { Z }$ $n>0.$ 0 \ $displaystyle n0$ } $。$ } $y:={\frac {1}{n}}x.$ : = $1n$ x . { $displaystyle$ y : = $flac {1} {n}$ x . } } $y:={\frac {1}{n}}x.$ $。$ $y:={\frac {1}{n}}x.$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ 으로 n $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ ( $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ x ) $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ ( $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ ) $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ ( $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ ) $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ , $ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,$ \ $displaystyle ny =$ $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ \ left \ $frac { n$ $} x$ \ right ) = \ $left$ ( n $fr frac$ {1} ${n}$ \ $right$ ) $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ = (1 $)$ x $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ （ $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ ） $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ （ $f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)$ ） n （ n ） ${\frac {1}{n}}$ {\ $displaystyle {1}{n}}$ 은 ${\frac {1}{n}}$ f $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ x) $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ f $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ . $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ { $displaystyle$ f $\left fac {1}{n}x\right$ } = $frac {1}{n}f(x)$ 을 증명합니다. $}$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ 으로 $f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ( $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ x ) $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ( $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ x $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ) = $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ( $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ n $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ) $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ( 1 n f ( $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ x $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ) = $q$ $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ( $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ x $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ ) . { $displaystyle f$ ( $x$ ) = f \ left f \ $frac { m$ } { $n }$ { n $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ } $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ x \ $right = mf$ \ f\ fright $left$ \ f ( x )} $f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).$ $◼$ ${\displaystyle$ \blacksquare $}$

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