아이트켄의 델타 제곱 공정

수치해석에서는 아이트켄의 델타-제곱 공정 또는 아이트켄 외삽법(Aitken Extrapolation)은 직렬 가속법으로, 시퀀스의 수렴 속도를 가속하는 데 사용된다. 1926년 이 방법을 도입한 알렉산더 아이트켄의 이름을 따서 지은 것이다.^[1] 그것의 초기 형태는 세키 고와(17세기 말)에게 알려졌으며 원의 교정, 즉 π의 계산에서 발견되었다. 선형적으로 수렴하는 수열의 수렴을 가속하는 데 가장 유용하다.

정의

시퀀스 $X{\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}}$) ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ N ${\$이$($가) 지정되면 이 시퀀스와 새 시퀀스를 연결한다.

${\displaystyle AX={\frac {x_{n}\,x_{n+2}-x_{n+1}^{2}}:{x_{n+2}-2\,x_{n+1}\in \mathb {Z}{Z}},}},}$

수치적 안정성이 향상되면 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle (AX)_{n}=x_{n}-{\frac {(\Delta x_{n})^{2}}:{\Delta ^{2}x_{n}}}}}$

또는 동등하게

${\displaystyle (AX)_{n}=x_{n+2}-{\frac {(\Delta x_{n+1})^{2}}{\Delta ^{2}x_{n}}}=x_{n+2}-{\frac {(x_{n+2}-x_{n+1})^{2}}{(x_{n+2}-x_{n+1})-(x_{n+1}-x_{n})}}}$

어디에

${\displaystyle \Delta x_{n}={(x_{n+1}-x_{n}}}}}\Delta x_{n+1}={(x_{n+2}-x_{n+1}}}}}}},}$

그리고

${\displaystyle \Delta ^{2}x_{n}=x_{n}-2x_{n+1}+x_{n+2}=\델타 x_{n+1}-\Delta x_{n},\ }$

$n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$, 2,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$… ${\$에 대해

${\displaystyle \mathrm{분명히}}$ $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$displaystyle $\Delta ^{2}x}$ Δ2 x {\$displaystyle$ \Delta ^{2}x}가 0 원소를 포함하고$$ 있으면 X ${\displaysty AX}$이(가) 잘못 정의되어 있고$$, 첫 번째 차이 순서에 반복적인 용어가 있으면 동등하게 정의되어 있다.

만약 그 지수 유한한 번호에 대해서만 발생한다 이론적인 견지에서.,, 쉽게 에이는 엑스{AX\displaystyle}지수 을 n을 제한하는 것들을 고려하는 것;n0{\displaystyle n>, n_{0}}들이 충분히 큰 n0{\displaystyle n_{0}과}. 실질적인 관점에서 합의할 수 있을 거 하나 gen.에reral그녀는 일반적으로 필요한 정밀도를 제공하는 시퀀스의 처음 몇 용어만을 고려한다. 더욱이 숫자적으로 시퀀스를 계산할 때 분모의 반올림 오차가 너무 커지면 Δ² 연산이 너무 많은 자릿수를 취소할 수 있으므로 계산이 중지되도록 주의해야 한다. (It would be better for numerical calculation to use ${\displaystyle \Delta x_{n+1}-\Delta x_{n}\ =(x_{n+2}-x_{n+1})-(x_{n+1}-x_{n})\ }$ rather than ${\displaystyle x_{n}-2x_{n+1}+x_{n+2}\ }$ .)

특성.

아이트켄의 델타 제곱 공정은 수렴의 가속 방법이며, 비선형 시퀀스 변환의 특정한 경우다.

${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}}$} ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\$ {N$}}}}}:{n\$in \$displaystyle \ell}}}}}}$과(와) 같은 숫자 μ(μ, 1)가 있으면$$ $선형적$으로 수렴된다$.$

${\displaystyle \lim _{n\to \flat }{\frac {x_{n+1}-\ell }{x_{n}-{n}-}}}{x_{n}-}}\mu.}$

아이트켄의 방법은 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{n}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}\frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{A}{}}$$$x${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$) n -${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ x ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{{}_{}}{}\mathrm{\ell }\frac{}{}}$= 0${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle \lim_{n\$$n$\$to \inflt$}{\$frac {(Ax)_${n$}-\ell$}{$x_{$n$}-}-\$$el }=0$$}}$의 시퀀스가 가속된다$.$$}$

${\displaystyle }$$\$ {\$displaystyle$\${\displaystyle \mathrm{ell}}$}이(가$$) 선형 연산자가 아니라$$ 상수인 경우 viz: $A{\displaystyle }$[ ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle A[x-\ell$ $]=$$Ax-\$$ell$ $\}.$ 이는 유한 차이 연산자 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$의 관점에서$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax}$의 표현에서 분명히 나타난다$.$

비록 새로운 프로세스가 일반적으로 2차적으로 수렴되지는 않지만, 고정 지점 프로세스의 경우, 즉, 고정 지점까지 수렴하는 일부 $기능{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f$에 대한$$ ${\displaystyle {\mathrm{반복}}_{}}$ 함수 시퀀스 ${\displaystyle x_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle f}$( x ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$의 경우, 수렴이 2차임을 보여줄 수 있다. 이 경우 이 기법은 스테펜센의 방법으로 알려져 있다.

경험적으로 A-operation은 "가장 중요한 오류 용어"를 제거한다. One can check this by considering a sequence of the form ${\displaystyle x_{n}=\ell +a^{n}+b^{n}}$, where ${\displaystyle 0<b<a<1}$: The sequence ${\displaystyle Ax}$ will then go to the limit like ${\displaystyle b^{n}}$ goes to zero.

Geometrically, the graph of an exponential function ${\displaystyle f(t)}$ that satisfies ${\displaystyle f(n)=x_{n}}$, ${\displaystyle f(n+1)=x_{n+1}}$ and ${\displaystyle f(n+2)=x_{n+2}}$ has an horizontal asymptote at ${\displaystyle \frac{x_n{x}_{n+2}}{}}$${\displaystyle {\frac {x_{n}x_{n+2}-x_{n+1}^{2}}{x_{n}-2x_{n+1}+x_{n+2}}}}$ (if ${\displaystyle x_{n}-2x_{n+1}+x_{n+2}\neq 0}$).

$또한{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$이(가) 극단적으로 1보다 큰 속도로$$ 한계 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$에 도달하면$$ A ${\displaystyle x}$ ${\displaysty Ax}$의 수렴 속도가 더 낫지 않음을 보여줄 수 있다. (실제로는 30개 이상의 resp를 의미하는 2차 수렴을 거의 하지 않는다. 5회 반복 후 정확한 소수점 100자리(정확한 숫자 1개로 시작), 대개 가속이 필요하지 않다.)

실제로 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax}$은(는) 아래 계산에서 보여지듯이 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$보다 훨씬 빠르게 한계치로$$ 수렴된다. 일반적으로 시퀀스 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 항을 더 많이 계산하는 것보다 ${\displaystyle A}$ x ${\displaystyle Ax}($차이, 1 곱하기, 1 나누기 계산만 포함)을 계산하는 것이 훨씬 저렴하다$.$ 단, 차이점 계산 시 정밀도가 불충분하여 오류가 발생하지 않도록 주의해야 한다.es는 표현식의 분자와 분모에 있다.

계산 예제

예 1: $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \approx }$ 1${\displaystyle .4142136}$ ${\displaystyle {\sqrt{2}}\약$ 1$.4142136}$의 값은 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대한 초기 값을 가정하고$$ 다음을 반복하여 대략적으로 추정할 수 있다$$.

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}{2}.}$

${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$: ${\displaystyle a_{0}=1:}$로 시작

여기서 주목할 점은 Aitken의 방법이 두 개의 반복 단계를 저장하지 않는다는 것이다; 처음 세 개의 Ax 값을 계산하려면 처음 다섯 개의 x 값이 필요했다. 또한 두 번째 Ax 값은 단연 4번째 x 값보다 열등하며, 대부분 에이트켄의 공정이 2차적 수렴이^{[citation needed]} 아닌 선형을 가정한다는 사실 때문이다.

예 2: $\pi {\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\$의 값은 무한 합으로 계산할 수 있다$$.

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\frac {(-1)^{n}}{n}}}{2n+1}:{n}}\ 약 0.785398}$

이 예에서 아이트켄의 방법은 선형으로 수렴하는 직렬에 적용되어 융합이 상당히 가속화된다. 그것은 여전히 하위선형이지만 원래의 수렴보다 훨씬 빠르다: 첫 번째 x 값을 계산해야 하는 첫 번째 Ax 값은 여덟 번째 x 값보다 한계에 가깝다.

Aitken 외삽에 대한 유사 코드 예제

The following is an example of using the Aitken extrapolation to help find the limit of the sequence ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$ when given some initial ${\displaystyle x_{0},}$ where the limit of this sequence is assumed to be a fixed point ${\displaystyle f}$ (say ${\displaystyle \alpha =f(\alpha )}$$\$$displaystyle \f$(\displaystyle$\f(\f$ For instance, if the sequence is given by ${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {2}{x_{n}}}\right)}$ with starting point ${\displaystyle x_{0}=1,}$ then the function will be ${\displaystyle f(x):$$={\frac{1}{2}}\좌(x+{\frac{2}}{x}\우)$$\alpha$ :${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$을 고정점으로 하는$$ 이 고정점(정사각근 계산 방법 참조); 값이 근사하게 될 고정점이다.

이 유사 코드는 또한 aitken 근사치를 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle$ f$^{\prime }(\alpha )}$에 계산한다$.$ 아이트켄 외삽자는 에 의해 증명될 것이다. aitkenX. 외삽법을 계산하는 동안 분모가 너무 작아지는지 확인하는 것이 중요하며, 이미 많은 양의 정확도를 가지고 있다면 일어날 수 있다. 이 점검이 없다면, 분업에서 많은 양의 오차가 발생할 수 있다. 이 적은 숫자는 다음과 같이 표시될 것이다. epsilon. 고정점의 이진 표현은 무한할 수 있기 때문에(또는 적어도 사용 가능한 메모리에 맞기에는 너무 클 수 있기 때문에, 근사치가 한 번 안에 있으면 계산이 중지된다. tolerance 진가의

%These choices depend on the problem being solved x0 = 1 %The initial value f(x) = (1/2)*(x + 2/x) %The function that finds the next element in the sequence tolerance = 10^-10 %10 digit accuracy is desired epsilon = 10^-16 %Do not divide by a number smaller than this maxIterations = 20 %Do not allow the iterations to continue indefinitely haveWeFouNdsolution = 잘못된 %원하는 허용 오차 내에서 솔루션을 찾을 수 있는가?아직에 나는 정도 1:maxIterations x1)f(x0)미국)f(x1)만약(x1 ~= x0)람다)absoluteValue((x2-x1)(x1-x0)#%OPTIONAL:을 계산합니다에 대한 근사치의 f'(fixedPoint)은 이 가리키람다 끝 분모)(x2-x1)-(x1-x0);만약(absoluteValue(분모)<>엡실론#%기 위해 피하급격히 늘어나는 오류 안 나누로 너무. sm번호판본의 전부.경고:분모는 너무 작은 ')방학,%=x2-((x2-x1)^2)/denominator 루프 끝 aitkenX다 만약((aitkenX-미국absoluteValue)<>관용)%값이 관용 print("그 고정된 포인트는", aitkenX)이내에 있는#%디스플레이는 에이킨 외삽 haveWeFoundSolution 돌아선 진정한 휴식의 결과이다;%완료. 그러므로 떠나는 루프 끝 x.0 aitkenX %FoundSolution == false인 경우 다시 시작하려면 x0업데이트 x0 %원하는 공차 인쇄("경고: 원하는 허용 오차 범위 내에서 솔루션을 찾을 수 없음("마지막 계산된 외삽은 ", aitkenX) 끝이었습니다. 

참고 항목

• 수렴율
• 수열의 한계
• 고정점 반복
• 리처드슨 외삽
• 시퀀스 변환
• 샨크스 변환
• 스테펜센의 방법

메모들

참조

• 윌리엄 H. 프레스 외, C의 수치적 레시피 (1987) 케임브리지 대학 출판부, ISBN0-521-43108-5(섹션 5.1 참조)
• Abramowitz and Stegun, Handbook of Matheical Functions, 섹션 3.9.7
• 켄달 E. 앳킨슨, 수치해석에 대한 소개, (1989) 존 와일리 & 선스 주식회사, ISBN 0-471-62489-6