대수 정규형

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "알지브라질 일반 양식" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2013년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

부울 대수학에서 대수 정규 형식(ANF), 링섬 정규 형식(RSNF 또는 RNF), 절갈킨 정규 형식 또는 리드-뮬러 확장(Reed-Muller expansion)은 세 가지 보조 형식 중 하나로 논리적 공식을 작성하는 방법이다.

• 전체 공식은 순전히 참이거나 거짓이다.

  1

  0

• 하나 이상의 변수가 항으로 AND로 결합되고, 그 다음 하나 이상의 항이 ANF로 XOR로 결합된다. NOT는 허용되지 않는다.

  ⊕ b ab ab abc.

또는 표준 명제 논리 기호:

$\display a\beebar b\beebar \left(a\b\right)\vebar \left(a\b\light)}$

• 순전히 참된 용어를 사용한 이전 보조양식:

  1 ⊕ a ⊕ b abc abc

Formulas written in ANF are also known as Zhegalkin polynomials (Russian: полиномы Жегалкина) and Positive Polarity (or Parity) Reed–Muller expressions (PPRM).^[1]

공통 용법

ANF는 정상형식으로, 등가공식 두 개가 동일한 ANF로 변환된다는 뜻으로, 두 공식이 자동화된 정리증명을 위해 등가공식이 맞는지 쉽게 알 수 있다. 다른 정상 형태와 달리 변수 이름의 단순한 목록으로 나타낼 수 있다. 결막 및 이절 정규 형태도 각 변수의 부정 여부를 기록해야 한다. 부정 정상 형태는 평등을 등가관계로 사용하지 않기 때문에 그러한 목적에 적합하지 않다: ∨ ¬a는 동등하더라도 1과 같은 것으로 축소되지 않는다.

공식을 ANF에 넣으면 선형 함수(예: 선형 피드백 시프트 레지스터에서 사용됨)를 쉽게 식별할 수 있다. 선형 함수는 단일 리터럴의 합이다. 비선형 피드백 시프트 레지스터의 특성은 ANF의 피드백 기능의 특정 특성에서도 추론할 수 있다.

대수 정규 형식 내에서 연산 수행

ANF 결과를 얻기 위해 ANF 입력에 대해 표준 부울 연산을 수행하는 간단한 방법이 있다.

XOR(논리적 배타적 분리)은 다음과 같이 직접 수행된다.

(1 ⊕ x) ⊕ (1 ⊕ x ⊕ y)

1 ⊕ x ⊕ 1 ⊕ x ⊕ y

1 ⊕ 1 ⊕ x ⊕ x ⊕ y

y

NOT(논리적 부정)은 XORing 1:^[2]

¬(1 ⊕ x ⊕ y)

1 ⊕(1 ⊕ x ⊕ y)

1 ⊕ 1 ⊕ x ⊕ y

x ⊕ y

AND(논리적 접속사)는 대수적으로^[3] 분포한다.

(1 ⊕ x)(1 ⊕ x ⊕ y)

1(1 ⊕ x ⊕ y) ⊕ x(1 ⊕ x ⊕ y)

(1 ⊕ x ⊕ y) ⊕ (x ⊕ x x x xy)

1 ⊕ x x x y x y y ⊕ xy

1 ⊕ x ⊕ y ⊕ xy

OR (논리적 구분)은 1 ⊕ (1 ⊕ a)(1 ⊕ a)(1 ⊕ b)^[4] 또는 ⊕ b ab ab^[5] (그렇지 않으면 더 쉽다) 중 하나를 사용한다.

(1 ⊕ x) + (1 ⊕ x ⊕ y)

1⊕(1⊕ 1⊕ x)(1⊕ 1 1 x ⊕ y)

1 ⊕ x(x ⊕ y)

1⊕ x x x x xy

대수 정규 형식으로 변환

공식의 각 변수는 이미 순수 ANF에 있으므로 전체 공식을 ANF로 가져오려면 위에 표시된 공식의 부울 연산만 수행하면 된다. 예를 들면 다음과 같다.

x + (y ⋅ ¬z)

x + (y(1 ⊕ z)

x + (y ⊕ yz)

x ⊕ (y ⊕ yz) x (y ⊕ yz)

x ⊕ y ⊕ xy ⊕ yz ⊕ xyz

형식적 표현

ANF는 때때로 동등한 방식으로 설명된다.

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})=\!}$	${\displaystyle a_{0}\oplus \!}$
	${\displaystyle a_{1}x_{1}\oplus a_{2}x_{2}\oplus \cdots \oplus a_{n}x_{n}\oplus \!}$
	${\displaystyle a_{1,2}x_{1}x_{1}x_{2}\oplus \cdots \oplus a_{n-1,n}x_{n1}x_{n}\oplus \!}$
	$\displaystyle \cdots \oplus \!}$
	${\displaystyle a_{1,2,\ldots ,n}x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\!}$

여기서 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}{a\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}}$1,${\displaystyle }$1, ${\displaystyle 2_{}}$,${\displaystyle {\dots ,}_{}}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}{n}_{}}${ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1{}^{}}$∗ ∗ {, 1 ${$ {0},$a_{1},\ldots,a_{$1,2$,\ldots,n}\in \{0,1\}^*}}$는 f ${\displaysty$ f$}$를 완전히 설명한다$.$

다중 인수 부울 함수를 반복적으로 도출

하나의 인수를 갖는 함수는 네 가지뿐입니다.

• ${\displaystyle f(x)=0}$
• ${\displaystyle f(x)=1}$
• ${\displaystyle f(x)=x}$
• ${\displaystyle f(x)=1\oplus x}$

여러 인수로 함수를 나타내기 위해 다음과 같은 동등성을 사용할 수 있다.

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(x_{2},\ldots ,x_{n})\oplus x_{1}h(x_{2},\ldots ,x_{n})}$, where

• ${\displaystyle g(x_{2},\ldots,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots,x_{n}}$
• ${\displaystyle h(x_{2},\ldots,x_{n}}=f(0,x_{2},\ldots,x_{n})\oplus f(1,x_{2},\ldots,x_{n}}}$

정말,

• ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= 0 ${\$$displaystyle$ $x_{1}=0}$이면 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle x_{1}h=0}$ 및 f (${\displaystyle 0,}$…${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{f}}$ ($0,\ldots )=f$(0$,\ldots )}$
• if ${\displaystyle x_{1}=1}$ then ${\displaystyle x_{1}h=h}$ and so ${\displaystyle f(1,\ldots )=f(0,\ldots )\oplus f(0,\ldots )\oplus f(1,\ldots )}$

$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ 및$$ $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는$)$ f {\$displaystyle f}$보다 인수가 적기 때문에$$ 이 프로세스를 반복적으로 사용하면 하나의 변수로 함수를 마칠 수 있다. 예를 들어, $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle y}${\$displaystyle f(x,y)=x\lor$ y$}($논리적 또는):

• ${\displaystyle f(x,y)=f(0,y)\oplus x(f(0,y)\oplus f(1,y)}$
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle 0}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \vee }$ y${\displaystyle }$= y ${\displaystyle$ f $(0$${\displaystyle ,}$$y)=0\lor$y=$y}$ ${\displaystyle \mathrm{및<img\; alt="f(0,y)=0\backslash lor\; y=y"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e05d6365a562942d0b587a8111ba6923b64e786a"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:18.693ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="101">}}$f (${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$y${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle y}$y = ${\displaystyle 1}$y y = 1 ${$ y = 1 ${[,y]=1\displaystyf=1}$
• ${\displaystyle 그}$ 다음에 f${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle f(x,y)=y\oplus x(y\oplus 1)}$
• 분포별로 최종 ANF:$f$( ${\displaystyle x}$, $y$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle xx}$ = x ${\displaystyle \oplus }$ $y y$ x${\displaystyle x}$ x $x$ x { x { x { x { x { x {$${ { { ${$ { { { { { { { { { { = = = = = = = { = = = { = = { { { { { { { {(

참고 항목

• 리드-뮬러 확장
• 절갈킨 정상형
• 부울 함수
• 논리 그래프
• 절갈킨다항식
• 부정 정규 형식
• 결막정상형
• 이절정규격
• 카르노 지도
• 부울 링

참조

추가 읽기

• Wegener, Ingo (1987). The complexity of Boolean functions. Wiley-Teubner. p. 6. ISBN 3-519-02107-2.
• "Presentation" (PDF) (in German). University of Duisburg-Essen. Archived (PDF) from the original on 2017-04-20. Retrieved 2017-04-19.
• Maxfield, Clive "Max" (2006-11-29). "Reed-Muller Logic". Logic 101. EETimes. Part 3. Archived from the original on 2017-04-19. Retrieved 2017-04-19.