알파-베타 변환

전기공학에서 알파-베타(α ${\displaystyle \beta }$γ {\displaystyle $\alpha \beta$\gamma}) 변환(Clarke 변환이라고도 함)은 3상 회로의 분석을 단순화하기 위해 사용되는 수학적 변환입니다. 개념적으로 dq0 변환과 유사합니다. $\alpha$ ${\displaystyle \beta }$γ {\displaystyle $\alpha \beta$\gamma} 변환의 매우 유용한 응용 중 하나는 3상 인버터의 공간 벡터 변조 제어에 사용되는 기준 신호의 생성입니다.

역사

1937년과 1938년에 에디스 클라크는 불균형한 3상 문제에 대한 계산 방법을 수정한 논문을 발표했는데, 이것은 특히 유용한 것으로 드러났습니다.^[1]

정의.

Edith Clarke가 사용한 3상 전류에 적용되는 $\alpha$ ${\displaystyle \beta }$γ {\displaystyle $\alpha \beta$\gamma} 변환은

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 i ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle i_{abc}(t)}$는 일반적인 3상 전류 시퀀스이고 ${\displaystyle i_{}}$ α ${\displaystyle {\beta }_{}}$γ (t) {\$displaystyle i_{\alpha$ \$beta \gamma$}(t)}는$변환$ T ${\displaystyle$T}에 의해 제공되는 해당 전류 시퀀스입니다. 그 역변환은 다음과 같습니다.

${\displaystyle i_{abc}(t)=T^{-1}i_{\alpha \beta \gamma }(t)={\begin{bmatrix}1&0&1\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

위의 클라크 변환은 적용되는 전기 변수의 진폭을 보존합니다. 실제로, 3상 대칭, 직접, 전류 시퀀스를 생각해 보면,

${\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \theta (t),\\i_{b}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta (t)-{\frac {2}{3}}\pi \right),\\i_{c}(t)=&{\sqrt {2}}I\cos \left(\theta(t)+{\frac {2}{3}}\pi \right),\end{aligned}}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은 ${\displaystyle i_{}t)}$ ${\displaystyle i_{a}(t$ ${\displaystyle b_{}t)}$ ${\displaystyle i_{b}(t)}$의 RMS입니다$.$ ${\displaystyle {ic}_{}t)}$ ${\displaystyle i_{c}(t$ 및$$$θ$(t) ${\displaystyle \theta$(t)}는 일반성 손${\displaystyle {실}_{}}$ 없이 ω t ${\displaystyle$ \omega t}로$$할 수 있는 일반적인${\displaystyle {\mathrm{시간-va}}_{}}$rying 각도입니다. $그런{\displaystyle }$ 다음 T ${\displaystyle$ T$}$를 $현재$ 시퀀스에$$ 적용하면 결과가 나타납니다.

${\displaystyle {\aligned}i_{\alpha} =&{\sqrt {2}}I\cos \theta(t),\i_{\ beta }=&{\sqrt {2}}I\sin \theta(t),\i_{\ gamma }=&0,\end{aligned}}}$

균형잡힌 전류를 고려한 이후로 마지막 방정식이 성립하는 곳입니다. $위$와 같이 α ${\displaystyle \beta }$γ {\displaystyle $\alpha \beta$\gamma } 기준 프레임의 전류 진폭은 자연 기준 프레임의 전류와 동일합니다.

거듭제곱 불변 변환

위에 표시된 변환으로 클라크 도메인에서 계산된 활성 및 반응 전력은 표준 참조 프레임에서 계산된 것과 동일하지 않습니다. $이{\displaystyle }$문제는 T {\$displaystyle$ T}이(가$)$ 유니트가 아니기 때문에 발생합니다. 능동적이고 반응적인 힘을 보존하기 위해, 대신 고려해야 할 것입니다.

${\displaystyle i_{\alpha \beta \gamma }(t)=Ti_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}},}$

단일체 행렬이고 그 역행렬은 전치행렬과 일치합니다.^[3] 이 경우 변환된 전류의 진폭이 표준 기준 프레임의 진폭과 동일하지 않습니다. 즉,

${\displaystyle {\aligned}i_{\alpha} =&{\sqrt {3}}I\cos \theta(t),\i_{\ beta }=&{\sqrt {3}}I\sin \theta(t),\i_{\ gamma }=&0.\end{align}}}$

마지막으로, 이 경우의 역변환은

${\displaystyle i_{abc}(t)={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\\i_{\gamma }(t)\end{bmatrix}}.}$

단순화된 변환

균형 시스템 ${\displaystyle i_{}t)}$+ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}t)}$+ ${\displaystyle i_{}}$ c${\displaystyle {}_{}t)}$ = 0${\$$displaystyle$i_${a$}(t)+${\displaystyle \mathrm{i\_}}${b}(t)+i_{c}(t)=0} 이므로 i γ(t) = 0 {\displaystyle i_{\ gamma }(t)= 0} 이므로 단순화 변환도 고려할 수 있습니다.

${\displaystyle i_{\alpha \beta }(t)={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{a}(t)\\i_{b}(t)\\i_{c}(t)\end{bmatrix}}}$

단순히 3번째 방정식을 제외한 원래의 클라크 변환입니다.

${\displaystyle i_{abc}(t)={\frac {3}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&0\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i_{\alpha }(t)\\i_{\beta }(t)\end{bmatrix}}.}$

기하학적 해석

$\alpha$ ${\displaystyle \beta }$γ {\displaystyle $\alpha \beta$\gamma } 변환은 알파 축과 베타 축의 두 고정 축에 세 가지 상량(전압 또는 전류)을 투영하는 것으로 생각할 수 있습니다. $그러나$ I ${\displaystyle a_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$+ ${\displaystyle I_{}}$ c = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle I_{a}+$와 같이 시스템이 균형을 이루면 정보가 손실되지 않습니다.$I_{b}+$$I_{c$}$=$0}는 변환에서 $I$$γ$ {\displaystyle I_${\$gamma}}에 대한 방정식과 같습니다. 시스템이 균형을 이루지 않는 경우 $I$γ {\displaystyle I_${\$gamma}} 항에 프로젝션의 오류 성분이 포함됩니다. 따라서 0의 $I$γ {\displaystyle I_${\$gamma}}는 시스템이 균형을 이루고 있음을 나타내며(따라서 완전히 알파-베타 좌표 공간에 존재함), 시스템이 균형을 이루고 있다는 가정 하에서 작동하는 두 개의 좌표 계산에 대해 무시할 수 있습니다. 이는 클라크 변환의 우아함이며, 이는 3개의 구성 요소 시스템을 2개의 구성 요소 시스템으로 축소하기 때문입니다.

이것을 이해하는 또 다른 방법은 ${\displaystyle 방정식}$ I ${\displaystyle a_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ = 0 ${\displaystyle I_{a}+$$I_{b}+$$I_{c$}$=$0}는 유클리드 3좌표 공간에서 평면을 정의합니다. 알파 beta 좌표 공간은 이 평면으로 정의되는 두 개의 좌표 공간, 즉 알파 beta 축은 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$a + I ${\displaystyle b_{}}$ + I ${\displaystyle c}$ = 0 ${\displaystyle$ I_{a}+로${\displaystyle {}_{}{정의}_{}}$되는 평면 위에 놓여 있습니다.$I_{b}+$$I_{c$}$=$0}.

이는 또한 Clarke 변환을 사용하려면 시스템의 균형이 유지되어야 하며, 그렇지 않으면 이후의 두 좌표 계산에 오류가 발생함을 의미합니다. 이것은 3상 양이 측정되는 애플리케이션에서 실제적으로 고려해야 할 사항이며, 측정 오류가 있을 수 있습니다.

dq0 변환

${\displaystyle \mathrm{dq}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle dq0}$ 변환은 $\alpha$ ${\displaystyle \beta }$γ {\displaystyle $\alpha \beta$\gamma} 변환과 개념적으로 유사합니다. ${\displaystyle \mathrm{dq}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle dq0}$ 변환이 회전하는 2축 기준 프레임에 위상 양을 투영하는 것인 반면, $\alpha$ ${\displaystyle \beta }$γ {\displaystyle $\alpha \beta$\gamma} 변환은 위상 양을 고정된 2축 기준 프레임에 투영하는 것으로 생각할 수 있습니다.

참고 항목

• 대칭 구성요소
• Y- δ 변환
• 벡터 제어(모터)

참고문헌

일반 참고문헌