교대 유한자동화

오토마타 이론에서 교대 유한자동화(AFA)는 비결정론적 유한자동화로서, 전환이 실존적 전환과 보편적 전환으로 나뉜다.예를 들어 A를 교대로 자동화하는 것으로 한다.

• 실존적 전환$({\displaystyle q}$, ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$q ${\displaystyle {}_{}{q\mathrm{}}_{}}$2 ) {\$displaystyle (q,a,q_{1$}\$vee q_{$2}})의 경우$,$ 비결정론적으로 $상태$를 ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle q_{1$} $또는$ ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystystylease q_{2$}로 전환하여 a를 읽는다$.$따라서, 일반적인 비결정론적 유한 자동화와 같이 행동한다.
• 범용 전환$({\displaystyle q}$, ${\displaystyle a}$ ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (q,a,q_{1}\wedge q_{2$의 경우 A가 ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$},$$$q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}로 이동하여 병렬 시스템의 동작을 시뮬레이션한다.

범용 계량화 때문에 런은 런 트리로 표현된다는 점에 유의하십시오.A는 w에 런 트리가 존재하여 모든 경로가 수락 상태로 끝나는 경우 w 단어를 수락한다.

기본적인 정리는 모든 AFA가 결정론적 유한자동화(DFA)에 해당하므로 AFA는 정규 언어를 정확히 수용한다고 기술하고 있다.

자주 사용되는 대안 모델은 부울 조합이 절로 표현되는 모델이다.For instance, one could assume the combinations to be in disjunctive normal form so that ${\displaystyle \{\{q_{1}\},\{q_{2},q_{3}\}\}}$ would represent ${\displaystyle q_{1}\vee (q_{2}\wedge q_{3})}$.상태 tt(true)는 이 경우$$ {${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\emptyset \}}$으로, ff(false)는 $\varnothing {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \emptysset }$로 표현된다$.$ 이 절의 표현은 대개 더 효율적이다.

교대로 유한한 오토마타는 나무 오토마타와 같은 방식으로 나무를 받아들이도록 확장될 수 있으며, 교대로 나무 오토마타가 생성된다.

형식 정의

교류 유한 자동(AFA)은 6-투플$,$ (${\displaystyle S}$ (${\displaystyle \mathrm{\exists }}$) ${\displaystyle ,}$ S (${\displaystyle \mathrm{\forall }}$) ,${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ,${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ , F${\displaystyle }$)${\displaystyle (S(\exists$ ),$S(\forall ),\Sigma ,\delta ,P_{0},F)$이다.

• ${\displaystyle S}$ (${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ) ${\displaystyle$ S$(\exists )}$은 유한한 실존적 상태의 집합이다$$.일반적으로 $S{\displaystyle }$ (${\displaystyle \vee }$) ${\displaystyle$ S$(\ve )}$로도 표시된다$.$
• ${\displaystyle S}$ (${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ) ${\displaystyle S(\forall )}$은 유한한 범용 상태 집합이다$$.일반적으로 $S{\displaystyle }$ (${\displaystyle \wedge }$) ${\displaystyle S(\wedge )}$로도 표시된다$.$
• ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$ ${\displaystyle \Sigma}$은(는$$) 입력 기호의 유한 집합이다.
• ${\displaystyle \ \delta }$ is a set of transition relations to next state ${\displaystyle (S(\exists )\cup S(\forall ))\times (\Sigma \cup \{\varepsilon \})\to 2^{S(\exists )\cup S(\forall )}}$.
• ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$\$P_{0}}$은(는) 초기 (시작) 상태로서$$, ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}s}$ S${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ )${\displaystyle P_{0}\in S(\exists )\cup$ S $(\forall$ $)\}.$
• ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle$\$F}$은(는) ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle S}$ (${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ) ${\displaystyle \cup }$ S (${\displaystyle \mathrm{}}$∀${\displaystyle }$) ${\displaystyle F\subseteq$ S $(\exists )\cup$ S $(\forall )}$와 같은 승인(최종) 상태의 집합이다$.$

이 모델은 찬드라, 코젠, 스톡마이어에 의해 소개되었다.^[1]

주의 복잡성

AFA는 정규 언어를 정확히 받아들일 수 있지만, 서술의 간결함에 있어서 다른 종류의 유한 자동 언어와는 다른데, 그 주의 수로 측정한다.

$찬드라{\displaystyle }$ 외 연구진은 최악의 경우 n ${\displaystyle n}$ -state$$ AFA를 동등한 DFA로 변환하려면 2 ${\displaystyle {{2n}^{}}^{}}$ ${\$ 상태가 필요하다는$$ 것을 증명했다.^[1]펠라, 위르겐센, 유에 의한 또 다른 공사는 NFA를 DFA로 변환하는 데 사용되는 것과 유사한 종류의 파워셋 건설을 $수행함$으로써 n$${\$displaystyle n}$ 상태의$$ AFA를 최대 ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$까지의 비결정적 유한자동화(NFA)로 변환한다.^[2]

계산 복잡성

멤버십 문제는 AFA $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $w$$}$라는 단어를 고려할 때$,$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$이(가) w ${\displaystyle w}$을(를) 받아들일지 묻는 것이다$.$ 이 문제는 P-complete이다.^[3]이것은 단톤 알파벳, 즉 오토매틱이 단일한 언어를 받아들일 때 조차도 사실이다.

비빈도 문제(입력 AFA의 언어는 비어 있지 않은가?)와 보편성 문제(입력 AFA의 언어 보완은 비어 있는가?)와 동등성 문제(입력 AFA가 동일한 언어를 인식하는지)는 AFA의^{[3]: Theorems 23, 24, 25} 경우 PSPAC-완료된다.

참조

• Pippenger, Nicholas (1997). Theories of Computability. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55380-3.